广东省广州市天河区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

高一数学期末考试 第 1 页（共 5 页） 2024 学年第一学期天河区期末考试 高一数学 本试卷共 5 页，19 小题，满分为 150 分，考试用时 120 分钟， 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相 应的位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1．已知集合, 𝐴 𝑥 ∈ 𝑁|3 𝑥 7 ,𝐵 𝑦 ∈ 𝑅|𝑦 4 ，则𝐴⋂𝐵 A.∅ B.集合 A C.{4,5,6} D.[4,7) 2．已知命题 p:sin𝜃<0，命题 q:𝜃为第三象限或第四象限的角，则 p 是 q 的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．下列正确的是 A. a0=1 B.若𝑎 -𝑎 ，𝑎 𝑎 3 C. 3 =3 D.log 3 log 4 log 5 log 2 =1 4. 集合 A，B 与对应关系𝑓如图所示，下列说法正确的是 A. 若𝑓 𝑎 1 = 𝑓 5 ，则𝑎 2 B. 𝑓:A→B 是从集合 A 到集合 B 的函数 C. 𝑥 ∈A,𝑦 ∈B 对应关系𝑓: 𝑥→𝑦=√2𝑥 1 D. 𝑓:A→B 的定义域为集合 A，值域为集合 B 高 数学期末考试 第 2 页 （共 5 页） 5．已知角 a 的终边上有一点 P 的坐标是(3t,4t)，其中 t≠0，则 A. 𝛼= B. sin𝛼= C. cos𝛼= D. tan𝛼= 6．下列正确的是 A. sin cos = B. . ° . ° = C. cos sin = D. 1 2 cos 22.5° = 7．函数𝑓 𝑥 = 𝑥2 2𝑥 零点的个数为 A．3 个 B． 2 个 C．1 个 D．0 个 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 6℃，空气的温度是𝜃0℃，那么𝑡 𝑚𝑖𝑛 后物体的温度𝜃(单位：°C)可由公式𝜃 𝜃 +(𝜃 𝜃 )e-kt 求得，其中𝑘是一个随着物体与空气 的接触状况而定的正常数，现有 75℃的物体，放在 25℃的空气中冷却，2𝑚𝑖𝑛以后物体的 温度降为 50℃，若将 68℃的物体放在 20℃的空气中冷却，则物体温度降为 32℃所需要的 冷却时间为 A. 2min B. 3min C. 4min D. 6min 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分． 9．如图，二次函数𝑦 𝑎𝑥 b𝑥 𝑐的对称轴为𝑥 1，且与𝑥轴交于点 A（-1,0）， 则 A. 𝑎>0 B. ∀𝑚 ∈ 𝑅, 𝑎 𝑏 𝑎𝑚 𝑏𝑚 C. 𝑎𝑥+𝑐 0的解集为{𝑥|𝑥 3} D. 𝑐𝑥 𝑏𝑥 𝑎 0的解集为 𝑥| 1 𝑥 高一数学期末考试 第 3 页（共 5 页） 10．函数𝑓 𝑥 𝐴𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑥 𝜑 𝐴 0,𝜔 0,0 𝜑 𝜋 在一个周期内的图象如图所示，则 A. 𝜑 B.在区间 , 单调递增 C.若方程𝑓 𝑥 𝑘在区间 0, 上有两个不相等的实数根𝑥 , 𝑥 , 则𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 √ D.将𝑦 𝑓 𝑥 图象的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平行移动 个单位长度， 得到函数𝑓 𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥 11．定义二元函数 𝑓 𝑚,𝑛 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ，其中𝑚,𝑛 ∈ 𝑁∗,且𝑚 𝑛 ，记f m, n C，如𝐶 56，则 A. 𝐶 𝐶 B. 𝐶 𝐶 ⋅⋅⋅ 𝐶 31 C. 𝐶 𝐶 𝐶 D. 𝐶 𝐶 𝐶 ⋅⋅⋅ 𝐶 𝐶 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．若扇形的半径为𝑟，面积为 𝑟 。 则扇形圆心角为 弧度. 13．已知𝑎 4 . , 𝑏 3 . ，𝑐 log 2 ,则𝑎, 𝑏, 𝑐的大小顺序为 14．已知函数ℎ 𝑥 |log 𝑥 |，若0 𝑛 𝑚，且𝑓 𝑚 𝑓 𝑛 ，𝑛 3𝑚的取值范围是 高一数学期末考试 第 4 页（共 5 页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 13 分） 设𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅,𝑃 ∈ 1,𝑎 ,𝑄 1, 𝑏 （1）当𝑃 𝑄时，求𝑎 𝑏的值： （2）已知集合𝑀 𝑥|𝑥 5𝑥 6 0 ，若𝑃 ∈ 𝑀，求实数𝑎的取值范围. 16．（本小题满分 15 分） （1）化简：𝑓 𝛼 （2）已知𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼, 𝛽是第三象限角，𝑐𝑜𝑠 𝛽 的值. 17．（本小题满分 15 分） 设函数𝑓 𝑥 1 𝑎 ∈ 𝑅 . （1）当𝑎 2时，证明：函数𝑓 𝑥 为奇函数，并求出函数𝑓 𝑥 的值域： （2）当𝑎 0时，探索函数𝑓 𝑥 的单调性，并用函数单调性的定义给予证明。 高一数学期末考试 第 5 页（共 5 页） 18．（本小题满分 17 分） 如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为𝑃,𝑄分别为边𝐴𝐵，𝐴𝐷上的点． （1）当𝐷𝑄 𝐴𝑃 时，求tan ∠PCQ的值： （2）当△ 𝐴𝑃𝑄的周长为 2 时， （i）求∠PCQ的大小： （ii）设∠BCP 𝛼，𝑆为△ 𝑃𝐶𝑄的面积，求𝑆的最小值. 19．（本小题满分 17 分） 我们知道，函数𝑦 𝑓 𝑥 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 𝑦 𝑓 𝑥 为奇函数，该性质可以将其推广为：函数𝑦 𝑓 𝑥 的图象关于点𝑃 𝑎, 𝑏 成中心 对称图形的充要条件是函数𝑦 𝑓 𝑥 𝑎 𝑏为奇函数，已知函数𝑔 𝑥 . （1）函数𝑔 𝑥 是否为中心对称图形？若是请用题设证明并求出对称中心，若不是请说明 理由： （2）已知直线𝑦 与函数𝑦 𝑔 𝑥 的图象有三个交点， 设为 𝑥 ,𝑦 , 𝑥 ,𝑦 , 𝑥 ,𝑦 ，求𝑦 𝑦 𝑦 的值： , （3）已知函数ℎ 𝑥 的图象关于点 1,1 对称，当𝑥 ∈ 0,1 时，ℎ 𝑥 𝑥 𝑚𝑥 𝑚, 若对任意𝑥 , ∈ 0,2 ，总存在 x=[𝑥 ,6]，使得ℎ 𝑥 𝑔 𝑥 ，求实数𝑚的取值范围. 高一数学参考答案 1-4.CADB 5-8:DDAC 9.BCD 10.BC 11.ABC 2号 13.b>a>c 14.(4,+0) 15.(0)解：a,b∈R,P={L,a},Q={-l,-by,P=Q, ∴.a=-1,-b=1或a=-b(舍去) ∴.a=-1,b=-1, ∴.a-b=-1-(-1)=0: (2)解：集合M={xx2-5x-6<0,∴.(x-6)(x+1)<0 -1<x<6 :PsM且P=l,a .-1<a<6,且a≠1 .a∈(-l,I)u(1,6) sin(2r-a)cos(π+a)cos(T+a）) 16.(1)解：f(a)= 9+0 os(z-a）sin(←r-a）sin( =-sin a(-cosa)-(-sina) -cosa·sina·cosa tana (2）解：'sin(a-)cosa-cos(B-am)sina=sin(a-B)cosa-cos(a-B)sina =sin (a-B-a)=-sin B sin (a-B)cosa-cos (B-a)sin a= m月=子限第三象限角 wg=号 ma+)wm号-msm号含》（引94+85 高一数学期末考试第1页（共8页） 17.解：(1)当a=2时，f)=1-2+ 2 因为f(x)定义域为R,且xeR,-xeR 所1器2 因为f)=12+1 2 所以f(-x)=-f(x) 所以函数y=f(x)在R上为奇函数 又2>0,2+1>1,0<2 2 <2, 2<0,则-1<1 -2<2+1 21 2+1 ∴.-1<f(x)<1,即f(x)的值域是(-1，I). (2)当a>0时，f(x)在R上单调递增：当a<O时，f(x)在R上单调递减 理由如下：任取x,x∈R,且x<x2, 则f)11+2+2*可 aa(2*-2) :y=2单调递增，无<x2, .2"-2<0,而25+1>0,25+1>0， .当a>0时 a(2-25） <0,f(x)-f(x)<0, (2+1)(2+1) 即f(x)<f(x),f(x)在R上单调递增： ∴.当a<0时 a(25-2） >0,f(x)-f(x)>0, (25+10(25+1 即f(x)>f(x),f(x)在R上单调递减， 高一数学期末考试第2页（共8页） I81)因为DQ=AP-则AQ=BP号 设∠DCQ=a,∠BCP=B, 在RtDC2中，tana=,anB=号 因为∠PcQ--a+m. 所以m∠P0=a写-a+例= 写a+例u+A o写-a+例 sin(a+B)tan(a+B) 2 =I-tanatanB 1-3x 3-7 tana+tan B 1 2 9 33 故tam∠PCQ= 7 (2)i)法一：设∠BCP=a,∠DCQ=B, 因为△AP的周长为2，即1-tana+1-tanB+√l-tana)'+1-tanB)=2, 化简得：ama+anB=1-tand tanp,所以am(a+)=aa+amg=L, 1-tan a tan B 又0<a+B<经，所以a+月-年所以∠c0-号-a+-号 故∠PCQ为？ ()法二：设AP=x,AQ=y,则PQ=Vx2+y2, 因为，△APQ的周长为2， D 所以x+y+Vx2+y2=2, 化简得y=2x+2y-2, :正方形ABCD的边长为1， P ∴.DQ=1-y,BP=1-x, 从而tan∠DCQ=l-y,tan∠BCP=1-x, 所以tan(∠DCO+∠BCP)=,tan∠DCO+tan∠BCP 1-tan∠DCQ·tan∠BCP 1-y+1-x=2-x-y=2-x-y =1, 1-1-y)1-x)x+y-yx+y-(2x+2y-2) 高一数学期末考试第3页（共8页） 因为0<∠DCQ+∠BCP<E 所以∠DCQ+∠BCP= 4 从而∠PC0=-(Dc0+∠BCn= ()法三（几何法）如图： :正方形ABCD的边长为1 ∴.DQ=1-AQ,PB=1-AP:即DQ+PB=2-(AQ+AP) 因为△APQ的周长为2， 所以PQ=2-(AQ+AP) 所以PQ=DQ+BP 延长QD至E使得DE=BP,连接CE, 可证明ACDE兰△CBP(SAS),得CE=CP且∠ECD=∠PCB 再证明△COE兰△CQP(SSS)得∠ECQ=∠PCQ, ∴.∠DCQ+∠BCP=∠PCQ B ∠DC0+∠BCP+∠PCQ= Γ2 ∠Dc0+∠BcP=∠PQ-4 (i)法-：设∠BCP=a,∠DCQ=BCP=1,C0=1 cosa cos B 如图过点P作PH⊥CQ,垂足为H, s-ce-PH-ce-CPin∠PcQ-cp-CPsin 1 2 4 1 SACPO= 1 4 cosa cos B 4 cosa cos 1 1 2cos'a+2sin a cosa cos 2a+sin2a+1 2sin2++ 高一数学期末考试第4页（共8页） ∴当2a+交-5即a=g时，sin2a+ D 由最大值1. 42 8 4 Q ∴.△CPQ面积的最小值为 1 ，=2-1 V2+1 法二：设∠BCP=a,∠DCQ=B由(i)知a+B=-牙 设点C到PQ的距离为h,BP=x,DQ=y ∴.AP=1-x,AQ=1-y, ,△APQ的周长为2 D ·PQ=x+y,÷(1-x)2+(1-y)2=(x+y)2即x+y=1-xy, y= Q 则Sacp0=1-x-y-(1-x(1-) B =0-列=0-x词=器=北x+1+品-2)22-1 当且仅当x+1=兵，即x=V反-1时，等号成立。 .△CPQ的面积最小值为V2-1. 法三：设∠BCP=a,∠DCQ=B,点C到PQ的距离为h,BP=x,DQ=y 由(1)法三的几何法可知h=CD=1 +小ama*m)-ma+m(任ajma 1-tana 1+tan a 1 1+tan2 a 1 sin2 a+cos2a sincosco+sin2a+sim+ 当2a+-号即a-sm2a+ 由最大值1. 8 ∴.△CPQ面积的最小值为 1=2-1. V2+1 高一数学期末考试第5页（共8页） 19.(1)法一：g(x)的图象有对称中心(1，-5)， 证明如下： 设G)=g+1+5.则Gr=-5r+》+l5+5-10 (x+1)-1 因为G(-对=10=-G,所以Gx)为奇函数 -r 由题设结论可知g(x)的图象有对称中心(L,-5): 法二：设g(x)的图象有对称中心(a,b). 则G)=gx+0)-b=5-5a+15-b为奇函数 x+a-1 于是G(x)+G(-x)=0, 即5=如+l5-+-505-)-=0. x+a-1 -x+a-1 即5r+5a-15+5x-5a+l5-2b.于是5x+5a-15r-a+)+5r=50+15+a-D=-2b. x+a-1 x-a+1 (x+a-10(x-a+1) 化简可得10x2-10a2+40a-30=-2bx2+2b(a-1)2 10=-2b 于是 -10a2+40a-30=2a-,解得a=l,b=-5. 所以g(x)的图象有(1，-5)对称中心 (2)y=lg(x与-次函数y=20x+6的 9r 9 共有三个交点，如图，理由如下 5、10 x∈(-o,1) x-1 lg(x=-5+10 x∈(1,3) x-1 10 x-1 x∈[3，+oo) ①当x∈(-o,1)U[3,+0)时，y=g(x图像关于点(1,5)对称， 同时，一次函数y=- 9 ,图像过点(（1,5) 当xe(o,UB,o)时.当x=3时.直线y=g>lg(3川=0 所以当x∈(-o,1)U[3,+0）时，直线与y=g(x)由两个交点 -g与一次活数)9x+在（国小+）有两个交点设为() 9 高一数学期末考试第6页（共8页） 且关于点(1,5)对称，由对称性有片+乃2=10 20.65 x+ 3=4 2当x∈(1,3)时， 9 9 2 解得 5(舍) 少-5+10 x-I 八=3 y2= 3 y=g(x引与一次函数y=- 9+在列有-个文点坐标为% y=g(x)与一次函数y=- C、20x+65共有三个交点.且片+乃+乃10+335 33 y=- 0.,65 x+ 9 9 书=1+3 2 132 2 法二：联立 少5、10 解得 -1 y=15-10w5 3 5=15+10w5 3 ,2∈(-o,1U[3,+∞) H(x)与一次函数y=- +智在(a)有两个交点且男+为=10同上： （g)因为国=5，xd为减播数。 且了6)=-3，f2)-5,所以函数g=5+15,x∈[2,6]的值城为-3,5) x-1 因为x∈[0，时，h(x)=x2-x+m, 所以若m≤0，即m≤0，则h(x)∈[m,: 若受>1，即m>2,则h()e[,则： 又函数g(x)的图象关于点(L,)对称，所以 ①当m≤0时，函数h(x),x∈[0,2]的值域为[m,2-m, 由[m,2-m][-3,5]可得-3≤m≤0： 高一数学期末考试第7页（共8页） ②当0<m≤1时，商数(.e0,2到的值城为m-牙2-+ 4 m2-m+]3小.可得0<s @当1m52时。菌数(.e@2到的装为m号2-+写 4 四牙2-+写]3列可得1<2 ④当m>2时，函数h(x),x∈[0,2的值域为[2-m,m], 由[2-m,m][-3,5]可得2<m≤5. 综上所述实数m的取值范围是：【-3,5] 高一数学期末考试第8页（共8页） 2024学年第一学期天河区期末考试 高一数学 本试卷共5页，19小题，满分为150分，考试用时120分钟， 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应的位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 ，则 A. B.集合A C.{4,5,6} D.[4,7) 2．已知命题p:sin<0，命题q:为第三象限或第四象限的角，则p是q的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．下列正确的是 A. a0=1 B.若-， C. =3 D. =1 4. 集合A，B与对应关系如图所示，下列说法正确的是 A. 若=，则 B. :A→B是从集合A到集合B的函数 C. A,B对应关系→= D. :A→B的定义域为集合A，值域为集合B 高一数学期末考试 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．已知角的终边上有一点P的坐标是(3t,4t)，其中t≠0，则 A. = B. = C. = D. = 6．下列正确的是 A. = B. = C. = D. = 7．函数= 2 零点的个数为 A．3个 B． 2个 C．1个 D．0个 8．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是6℃，空气的温度是0℃，那么 后物体的温度(单位：C)可由公式+()e-kt求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2以后物体的温度降为50℃，若将68℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32℃所需要的冷却时间为 A. 2min B. 3min C. 4min D. 6min 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点A（-1,0），则 A. >0 B. C. +的解集为{|} D. 的解集为 高 数学期末考试 第2页 （共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10．函数在一个周期内的图象如图所示，则 A. B.在区间单调递增 C.若方程在区间上有两个不相等的实数根, 则 D.将图象的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动个单位长度，得到函数 11．定义二元函数 ，其中且 ，记，如，则 A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若扇形的半径为，面积为。 则扇形圆心角为 弧度. 13．已知 ,则的大小顺序为 14．已知函数，若，且，的取值范围是 高一数学期末考试 第3页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 设 （1）当时，求的值： （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 16．（本小题满分15分） （1）化简： （2）已知, 是第三象限角，的值. 17．（本小题满分15分） 设函数. （1）当时，证明：函数为奇函数，并求出函数的值域： （2）当时，探索函数的单调性，并用函数单调性的定义给予证明。 高一数学期末考试 第4页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18．（本小题满分17分） 如图，正方形的边长为分别为边，上的点． （1）当时，求的值： （2）当的周长为2时， （i）求的大小： （ii）设，为的面积，求的最小值. 19．（本小题满分17分） 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，该性质可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数. （1）函数是否为中心对称图形？若是请用题设证明并求出对称中心，若不是请说明理由： （2）已知直线与函数的图象有三个交点， 设为，求的值： , （3）已知函数的图象关于点对称，当时，, 若对任意，总存在x=[,6]，使得，求实数的取值范围. 高一数学期末考试 第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$