寒假新课衔接：专题10 比例的应用-六年级下册数学（人教版）

2024-2025学年人教版数学六年级寒假新课衔接 专题10 （四 比例） *比例的应用 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：比例尺的意义 在绘制地图和其他平面图时，需要把实际距离按一定的比例缩小或扩大。一幅图的 和 的比，叫做这幅图的比例尺。 图上距离:实际距离=比例尺 或 =比例尺 一个圆柱形零件的高是5mm,画在图纸上的高是5cm。这幅图纸的比例尺是( )。 A.1:1 B.10:1 C.1:10 D.10 【答案】B 【分析】分析题目，先根据1cm=10mm把图上距离化成以mm为单位，再根据比例尺=图上距离：实际距离求出比例尺即可。 【详解】5cm=50mm 图上距离：实际距离 =50mm:5mm =(50÷5):(5÷5) =10:1 一个圆柱形零件的高是5mm,画在图纸上的高是5cm。这幅图纸的比例尺是10:1。 故答案为：B AB两地实际距离为80km,在图上标出AB的距离为8cm,这幅图的比例尺是（ ）练2 练1 一个零件的长是5mm,在图纸上的长是8cm。这幅图纸的比例尺是( )。 一幅图的比例尺，则图上1厘米表示实际距离( )千米，把这个线段比例尺改写成数值比例尺是( )。练3 知识点二：比例尺的应用 村犀路长3.2千米，如果把它画在比例尺为1:5000的地图上，这条路长是( )厘米。 【答案】64 【分析】根据实际距离×比例尺=图上距离，代数据计算即可，单位转化为厘米再计算。 【详解】3.2千米=320000厘米 320000×=64(厘米) 这条路长是64厘米。 在比例尺为1:000000的地图上，量得A、B两地的距离是6.6cm。如果小明早上9时从A地乘坐平均时速为220km的高铁出发，那么他( )小时可以到达B地。练1 丝绸之路是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点，在一幅比例尺为1:700000的地图上约长92厘米，若画在另一幅比例尺是1:50000000的地图上，它们之间的图上距离是多少?练2 知识点三：应用比例尺画图 乐乐家在学校正东方向，距学校400米；明明家在学校北偏东30°方向，距学校300米。在下图中先填空，再画出他们两家和学校的位置平面图(比例尺1:10000)。 【答案】见详解 【分析】依据比例尺可知，图上1厘米代表实际距离10000厘米，即10000厘米=100米；再根据图上距离=实际距离×比例尺，计算出乐乐家与学校，明明家与学校的图上距离，然后利用平面图上方向规定上北下南左西右东，依据题意结合图示去解答即可。 【详解】400米=40000厘米；300米=30000厘米 乐乐家图上距离：40000×=4(厘米) 明明家图上距离：3000×=3(厘米) 小红家的正东方向1千米是书店，书店西偏北45°方向600米是科技馆，科技馆正东方向800米是图书馆，图书馆正南方向400米是影剧院，根据1:20000的比例尺，画出上述地点的平面图。练1 北 小红家 知识点四：图形的放大与缩小 升入中学，我们将会学习这样的知识：“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。”在小学，我们可以看作是‘图形的放大和缩小”。根据你的理解，下图中( )两个三角形相似。 A.①和② B.①和③ C.①和④ D.②和④ 【答案】C 【分析】把图形按照n:1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n:1;把图形按照1:n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的,缩小后图形与原图形对应边长的比是1:n。 【详解】①和④高：2:4=1:2;底：1:2,所以①和④两个三角形相似。升入中学，我们将会学习这样的知识：“三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。”在小学，我们可以看作是“图形的放大和缩小”。①和④两个三角形相似。故答案为：C练1 将一个正方形按2:1的比缩小，缩小后正方形的边长与原正方形边长的比是( ),周长之比是( ),面积之比是( )。练2 按要求在方格纸上画图并完成填空。 (1)把图①绕M点逆时针旋转90°画出旋转后的图形，旋转后P点的位置用数对表示是( )。 (2)把图②按2:1的比放大，画出放大后的图形，放大后的图形与原来图形的面积比是( )。 (3)图③中直角三角形ABC的斜边BC是圆的直径，0是圆心，AO=AC。如果每个小方格表示边长2厘米的小正方形，则点A在点O( )偏( )( )°方向( )厘米处。 知识点五：用比例解决问题 兰兰家距离外婆家460千米，汽车每100千米耗油8升，按这个耗油量，出发时加满40升汽油，能到外婆家吗?(用比例知识解答) 【答案】能到。 【分析】耗油量：汽车行驶的路程=汽车每行驶1千米的耗油量(一定),因为耗油量和汽车行驶的路程的比值是一个定值，所以耗油量和汽车行驶的路程成正比例关系。设460千米耗油x升，根据这个列比例解答。 【详解】解：设460千米耗油x升。 = 100x=8×460 100x=3680 x=36.8 40>36.8 答：能到达外婆家。 甲乙两个工程队合修一条公路，计划每天修60米，30天修完，实际每天多修20%,实际多少天可以修完?(用比例解)练1 要给一间教室铺地砖，用边长15厘米的方砖，需要2000块，如果用边长25厘米的方砖，需要多少块?(用比例解)练2 三、课后巩固 1.欢欢一家“五一”劳动节准备从漳平到宁德白水洋游玩，他在一幅比例尺是1:6000000的地图上量出漳平与白水洋之间的距离是6厘米，漳平与白水洋之间的实际距离是( )千米。 2.一种精密零件长1.8毫米，画在图纸上长18厘米。这幅零件图的比例尺是( )。 3.在比例尺是1:6000000的地图上，量得AB两地的距离是8厘米，一架飞机下午一点钟从A地飞往B地，下午五点到达。这架飞机平均每小时飞行( )。 4.某学校教学楼的长为66米，宽12米，把它画在比例尺是1:300的学校平面图上，教学楼的宽在图上距离是( )厘米。 5.已知一个数与的比等于最大的一位数与最小的质数的比，则这个数是( )。 6.在1:5000的地图上，超市在学校的东偏南40°方向，距离学校3cm,那么学校实际在超市的( )。 A.北偏西40°方向，距离学校150m B.北偏西50°方向，距离学校3cm C.南偏东50°方向，距离学校150m D.西偏北40°方向，距离学校150m 7. 某张地图上的线段比例尺 ，把它改写成数值比例尺是（        ）。 A．1∶45 B．1∶45000 C．1∶4500000 D．4500000∶1 8.下列说法正确的是( )。 A.从8个同样大小的小正方体拼成的大正方体中，任意拿走一个小正方体，表面积不变。 B.如果9a=7b(a≠0,b≠0),那么a与b成反比例。 C.把一个长方形按照3:1放大，形状不变，周长和面积都扩大到原来的3倍。 D.把一根木料锯成3段要6分钟，锯成5段要10分钟。(每段所需时间一样) 9.把一个圆按3:1的比例放大，原来的图形与放大后的图形的面积比是( )。 A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1 10.2023年5月，在干山举办了“鞍山干山半程马拉松”长跑比赛，人们都踊跃报名参加。王叔叔在32分钟时就跑完了全程的照这样的速度，王叔叔跑完全程21千米需要多少分钟?(用比例方法解答) 11.一辆火车从甲地开往乙地，每小时行200千米，4.8小时可以到达。如果速度提高，可以提前几个小时到达?(用比例解) 参考答案 知识点一：比例尺的意义 图上距离 实际距离 【答案】1:1000000练1 【分析】先统一单位，80km=800000cm,再根据“图上距离：实际距离=比例尺”求出图上距离与实际距离的比即可判断。 【详解】8cm:80km =8cm:8000000cm =8:8000000 =1:1000000 这幅图的比例尺是1:1000000 【答案】16:1练2 【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比。注意统一单位。 【详解】8cm:5mm =80mm:5mm =80:5 =(80÷5):(5÷5) =16:1 这幅图纸的比例尺是16:1。 练3 【答案】5 1:500000 【分析】观察线段比例尺可知，图上1厘米表示实际距离5干米；根据图上距离：实际距离=比例尺，将线段比例尺改写成数值比例尺即可。 【详解】1厘米：5千米=1厘米：500000厘米=1:500000 一幅图的比例尺是 ,则图上1厘米表示实际距离5千米，把这个线段比例尺改写成数值比例尺是1:500000。 知识点二：比例尺的应用 【答案】3练1 【分析】根据实际距离=图上距离：比例尺，求出实际距离，即路程，根据1km=10000cm把单位转化为km,再根据路程÷速度=时间，代入数据计算，即可得解。 【详解】66÷=66×10000000=66000000(cm)=660(km) 660÷220=3(小时) 他3小时可以到达B地。 【答案】12.88厘米练2 【分析】在一幅比例尺为1:700000的地图上约长92厘米，先根据实际距离=图上距离-比例尺，求出丝绸之路的实际全长，再根据图上距离=实际距离×比例尺，即可求出若画在另一幅比例尺是1:50000000的地图上，它们之间的图上距离是多少，据此解答。 【详解】92÷=92×700000=6440000(厘米) 644000×=12.88(厘米) 答：若画在另一幅比例尺是1:50000000的地图上，它们之间的图上距离是12.88厘米。 知识点三：应用比例尺画图 【答案】见详解练1 【分析】根据图上距离=实际距离×比例尺，算出各位置间的图上距离，再根据图中方向的规定，上北下南，左西右东，分别以小红家、书店、科技馆、图书馆为观测点，结合每个对应位置的方向、角度和距离，画出平面图。 【详解】1千米=1000米=100000厘米，小红家到书店的图上距离：100000×=5(厘米) 1600米=60000厘米，书店到科技馆的图上距离：60000×=3(厘米) 800米=80000厘米，科技馆到图书馆的图上距离：80000×=4(厘米) 400米=40000厘米，图书馆到影剧院的图上距离：40000×=2(厘米) 如图： 知识点四：图形的放大与缩小练1 【答案】1:2 1:2 1:4 【分析】正方形的周长C=4a,面积S=a×a。先假设正方形边长为2,按照2:1缩小后边长是1,根据正方形的周长和面积公式分别计算缩小前后的周长与面积，再求比即可解答。 【详解】假设正方形边长为2,按2:1缩小后边长是2÷2=1。 (4×1):(4×2)=4:8=(4÷4):(8÷4)=1:2 (1×1):(2×2)=1:4 故缩小后正方形的边长与原正方形边长的比是1:2,周长之比是1:2,面积之比是1:4。 【答案】(1)画图见详解；(4,2)练2 (2)画图见详解；4:1 (3)东；北；60;6 【分析】(1)根据题意，以三角形其中一个顶点M,将图①逆时针旋转90°,大小保持不变，画出三角形即可。根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出旋转后P点的位置。 (2)把图②按2:1的比放大，画出放大后的图形(图中绿色部分),放大后的图形与原来图形的面积比是(6×4):(3×2)=24:6=4:1。 (3)根据题意，A点在0点的右上方，依据上北下南左西右东，A点在O点的东偏北的位置，因为△AOC是等边三角形，依据三角形内角和180°,180°÷3=60°,因为0点距离A点3个小格，所以，距离为2×3即可。 【详解】(1)旋转后P点的位置用数对表示是(4,2)。 (2)放大后的图形与原来图形的面积比是4:1。 (3)因为AO=AC,OA=OC,所以三角形AOC为等边三角形。所以∠AOC=60°。 OA=OB=3格，2×3=6(厘米)，即点A在点0东偏北60°方向6厘米处。或点A在点O北偏东30°方向6厘米处。 知识点五：用比例解决问题练1 【答案】25天 【分析】将计划每天修的长度看作单位“1”,实际每天修的是计划的(1+20%),计划每天修的长度×实际每天修的对应百分率=实际每天修的长度，设实际x天可以修完，根据每天修的长度×相应天数=总长度(一定),列出反比例算式解答即可。 【详解】解：设实际x天可以修完。 60×(1+20%)×x=60×30 60×1.2×x=1800 72x=1800 72x÷72=1800÷72 x=25 答：实际25天可以修完。练2 【答案】720块 【分析】根据题意，一块方砖的面积×方砖的块数=教室的面积(一定),乘积一定，则方砖的面积和方砖的块数成反比例关系，其中方砖的面积=边长×边长，由此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设需要x块边长为25厘米的方砖。 (25×25)x=(15×15)×2000 625x=225×2000 625x=450000 x=450000÷625 x=720 答：如果用边长25厘米的方砖，需要720块。 三、课后巩固 1.【答案】360 【分析】实际距离=图上距离-比例尺，据此代入数据解答即可。 【详解】6÷ =6×6000000=36000000(厘米) 36000000厘米=360千米 所以漳平与白水洋之间的实际距离是360千米。 2.【答案】100:1 【分析】根据比例尺的意义：比例尺=图上距离：实际距离，代入数据，求出比例尺；注意单位名数的统一。 【详解】1.8毫米=0.18厘米 18:0.18 =(18×100):(0.18×100) =1800:18 =(1800÷18):(18÷18) =100:1 一种精密零件长1.8毫米，画在图纸上长18厘米。这幅零件图的比例尺是100:1。 3.【答案】1200千米 【分析】先根据比例尺计算实际距离，已知地图比例尺为1:6000000,图上距离是8厘米，根据实际距离=图上距离-比例尺可算出AB两地的实际距离。接着计算飞机飞行时间，飞机下午一点起飞，下午五点到达，用到达时间减去起飞时间，可得出飞行时间。最后计算飞机速度，速度=路程·时间，路程为AB两地的实际距离，时间为飞行时间，由此可算出飞机平均每小时飞行的距离。 【详解】8÷=8×60000000=480000000(厘米) 480000000厘米=4800千米 下午1时到下午5时经过了4个小时，4800÷4=1200(千米/时);这架飞机平均每小时飞行1200千米。 4.【答案】4 【分析】根据图上距离=实际距离×比例尺，代入数据解答即可。注意单位要统一。 【详解】12米=1200厘米 1200×300=4(厘米) 所以教学楼的宽在图上距离是4厘米。 5.【答案】 【分析】最大的一位数是9,最小的质数是2,设这个数是x,根据题意可以列出比例：x:=9:2,根据比例的基本性质，先写成2x=×9的形式，两边同时÷2,求出x的值即可。 【详解】解：设这个数是x。 x:=9:2 2x=×9 2x= 2x÷2=÷2 x=× x= 这个数是 6.【答案】D 【分析】已知在1:5000的地图上，超市距离学校3cm,根据“实际距离=图上距离+比例尺”,以及进率“1m=100cm”,求出超市与学校的实际距离；超市在学校的东偏南40°方向上，是以学校为观测点；学校在超市的方向是以超市为观测点；观测点不同，方向相反，夹角的度数相同，距离相同；据此得解。 【详解】3÷ =3×5000 =15000(cm) 15000cm=150m 那么学校在超市的西偏北40°(或北偏西50°)方向，距离学校150m。 故答案为：D 7.【答案】C 【分析】从线段比例尺可知，图上1厘米的距离相当于实际距离45千米，1千米=10000厘米，则45千米=450000厘米。即把它改写成数值比例尺是1厘米：45千米=1厘米：4500000厘米=1:4500000,据此解答。 【详解】1厘米：45千米 =1厘米：4500000厘米 =1:4500000 把它改写成数值比例尺是1:4500000。 故答案为：C 8.【答案】A 【分析】将几个正方体拼成一个长方体或者正方体，将角落的正方体拿掉，拼成的长方体的表面积不变。判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。将一个图形按照n:1放大，对应的边和对应的周长都扩大到原来的n倍，面积扩大到原来的n²倍。锯成3段要6分钟，则锯一次就是3分钟。锯成5段需要4次，根据锯木头的时间=锯的次数×每次花的时间可知，需要12分钟。 【详解】A.8个同样大小的小正方体拼成的大正方体中，将八个顶点的小正方体拿掉表面积不变。故选项正确。9=2,则a和b的比值是一个定值，则a与b成正比例。故选项错误。 B.根据比例的基本性质：内项积=外项积。a:b=7: C.一个长方形按照3:1放大，形状不变，周长扩大原来的3倍，面积扩大原来的9倍。故选项错误。 D.将一根木头锯成3段需要2次，为6分钟，锯一次就是3分钟。锯成5段需要4次，需要12分钟。故选项错误。 故答案为：A 9.【答案】C 【分析】根据图形放大与缩小的意义，把一个圆按3:1的比放大，则圆的半径放大到原来的3倍，放大后的图形的面积是原来图形的9倍，据此解答。 【详解】解：设圆的半径为r,放大后圆的半径为3r。 (π×r²):[π×(3r)²] =(πr²):[π×9r²] =(πr²):[9πr²] =1:9 把一个圆按3:1的比例放大，原来的图形与放大后的图形的面积比是1:9。 故答案为：C 10.【答案】72分钟 【分析】把全程看作单位“1”,根据题意可知，王叔叔跑步的速度不变，即路程：时间=速度(一定),比值一定，则路程与时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设王叔叔跑完全程需要x分钟。 :32=1:x x=1×32 x=32 x=32÷ x=32× x=72 答：王叔叔跑完全程需要72分钟。 11.【答案】0.8小时 【分析】根据题意知两地间的路程一定，根据路程一定，速度和时间成反比例，据此可列出比例式进行解答。 【详解】解：设可以提前x个小时到达。 200×(1+)×(4.8-x)=200×4.8 200××(4.8-x)=960 240×(4.8-x)=960 4.8-x=960÷240 4.8-x=4 x=4.8-4 x=0.8 答：可以提前0.8个小时到达。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$