第一单元专项练习17：圆柱与圆锥应用综合其三·拓展版-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

第 1 页 共 7 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第一单元专项练习 17：圆柱与圆锥应用综合其三·拓展版 一、填空题。 1．如图所示，把一个高是 5厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。 拼成后的长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 30平方厘米。原来圆柱的 侧面积是( )平方厘米，拼成后的近似长方体的体积是( )立方厘 米。 2．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱如图①，表面积增加了 40平方厘米， 把它横截成两个圆柱如图②，表面积增加了 25.12平方厘米，这个圆柱的体积是 ( )立方厘米。 3．一张长方形铁皮如图所示，图中阴影部分刚好能做成一个油桶（接头处不计）， 这个油桶的容积是( )升。 4．如图是一个直角三角形，已知 =60B ， 5AB  厘米， 4AC  厘米， 3BC  厘米， A  ( )，这个三角形的面积是( )平方厘米，如果以三角形 AC 边为轴旋转一周后形成的图形的体积是( )立方厘米。 第 2 页 共 7 页 5．一个圆锥的体积是 5 12立方米，与它等底等高的圆柱体积是( )立方米， 如果圆锥的底面积是 5 8 平方米，它的高是( )米。 6．有一个容器下面是圆柱，上面是与之等底的圆锥，圆柱的高是 10cm，圆锥的 高是 6cm，容器内水深 7cm，把这个容器倒过来，从圆锥的角到水面的高度是 ( )cm。 7．一瓶装满的矿泉水，内直径是 6cm，明明喝了一些，瓶里剩下水的高度是 8cm， 把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高是 10cm，这瓶矿泉水原有( )mL。 8．如图所示，圆锥形容器中装有 4L水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这 个容器还能装( )升水。 9．看图填空。 (1)如图，一张长方形纸，分别以长和宽为轴，A和 B的体积相比，( ) 大。 (2)图中长方体标注的长、宽、高单位为厘米，一个小球的体积是( )立方 厘米，一个大球的体积是( )立方厘米。 第 3 页 共 7 页 10．赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，正好注 满。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )cm。 (3)如果上图下面的大圆柱底面积是 48cm2，那么大圆柱的体积是( )cm3， 上面小圆柱的底面积是( )cm2。 二、解答题。 11．下图是一个用硬纸板做的礼品盒，用彩带过底面圆心捆扎，打结处彩带长 25厘米。 （1）做这个礼品盒至少需要多少硬纸板？ （2）捆扎这个礼品盒，至少需要彩带多少厘米？ （3）礼品盒里装了一个三层蛋糕，直径分别是 20厘米、15厘米、10厘米，每 层高度 4厘米，蛋糕露在外面的面都涂上一层奶油巧克力酱，涂奶油巧克力酱的 面积是多少？ 第 4 页 共 7 页 12．如图，如果将一个实心的铁圆柱形零件（图①），放在一个盛有水的足够高 的圆柱形容器（图②）中，则该圆柱形容器的水位将上升多少厘米？ 13．如下图，两个圆柱体容器 A、B，其内部底面直径如图所示（单位：厘米）。 容器 A中没有水，B中水深 15厘米。 （1）要将容器 B中的水全部倒给 A，这时容器 A水深多少厘米？ （2）要将容器 B中的水倒一部分给 A，使两个容器中水的高度相同，这时水深 多少厘米？ 第 5 页 共 7 页 14．世间万物千姿百态，下图就是一个不规则的立体图形。你能计算它的体积（单 位：厘米）吗？ 15．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了 铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金 子的密度约为 19克/立方厘米，铜的密度约为 9克/立方厘米，在质量相同的情况 下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。 阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是 950克；第二步，把 这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有 70毫升。（提示：密度＝ 质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 16．把一个高 15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的 四块，它的表面积增加了 720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥 体，削去了多少立方厘米木料？ 第 6 页 共 7 页 17．如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高 15厘米的圆锥形铅锤， 圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为 5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的 水面高度将下降多少厘米？ 18．小强用橡皮泥做了一个圆锥形学具，圆锥的底面周长是 12.56厘米，高是 9 厘米。他又做一个长方体纸盒，正好能把圆锥形橡皮泥装进去。 （1）橡皮泥学具的体积是多少立方厘米？ （2）做这个纸盒至少用了多少平方厘米硬纸？ 19．现有两个等高的容器（如图），圆锥体容器的半径是 15厘米，圆柱体容器 的半径是 12厘米。现将圆锥体容器装满水倒入圆柱体容器内，这时水深比圆柱 体容器高度的 5 6 低 3厘米。问：这两个容器的高是多少厘米？ 第 7 页 共 7 页 20．现有一个圆锥形铁块和两个完全相同的圆柱形铁块，圆柱形铁块的底面半径 是 3厘米，圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少 13。（π取 3.14） （1）求圆锥形铁块底面半径是多少厘米？ （2）每个圆柱形铁块的高为 15厘米，圆锥形铁块的体积为 47.1立方厘米，求 圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的几分之几？ （3）在（2）的条件下，一个底面积是 27π平方厘米的圆柱形容器里盛有高为 83厘 米的水，将 190 3 π立方厘米的冰块化成水后全部倒入容器中，冰融化成水后体积 减少 1 10 。两个圆柱形铁块垂直放入容器中，都是铁块的部分浸入水中，其中一 个圆柱形铁块的底部与容器的底部完全接触，另一个圆柱形铁块的底部没有与容 器的底部接触，圆锥形铁块完全浸入水中，若一个圆柱形铁块露出水面的高与另 一个圆柱形铁块露出水面的高的比是 3∶7，求此时容器中水面的高是多少厘 米？ 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第一单元专项练习17：圆柱与圆锥应用综合其三·拓展版 一、填空题。 1．如图所示，把一个高是5厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。拼成后的长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了30平方厘米。原来圆柱的侧面积是( )平方厘米，拼成后的近似长方体的体积是( )立方厘米。 2．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱如图①，表面积增加了40平方厘米，把它横截成两个圆柱如图②，表面积增加了25.12平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 3．一张长方形铁皮如图所示，图中阴影部分刚好能做成一个油桶（接头处不计），这个油桶的容积是( )升。 4．如图是一个直角三角形，已知，厘米，厘米，厘米，( )，这个三角形的面积是( )平方厘米，如果以三角形AC边为轴旋转一周后形成的图形的体积是( )立方厘米。 5．一个圆锥的体积是立方米，与它等底等高的圆柱体积是( )立方米，如果圆锥的底面积是平方米，它的高是( )米。 6．有一个容器下面是圆柱，上面是与之等底的圆锥，圆柱的高是10cm，圆锥的高是6cm，容器内水深7cm，把这个容器倒过来，从圆锥的角到水面的高度是( )cm。 7．一瓶装满的矿泉水，内直径是6cm，明明喝了一些，瓶里剩下水的高度是8cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高是10cm，这瓶矿泉水原有( )mL。 8．如图所示，圆锥形容器中装有4L水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装( )升水。 9．看图填空。 (1)如图，一张长方形纸，分别以长和宽为轴，A和B的体积相比，( )大。 (2)图中长方体标注的长、宽、高单位为厘米，一个小球的体积是( )立方厘米，一个大球的体积是( )立方厘米。 10．赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，正好注满。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )cm。 (3)如果上图下面的大圆柱底面积是48cm2，那么大圆柱的体积是( )cm3，上面小圆柱的底面积是( )cm2。 二、解答题。 11．下图是一个用硬纸板做的礼品盒，用彩带过底面圆心捆扎，打结处彩带长25厘米。 （1）做这个礼品盒至少需要多少硬纸板？ （2）捆扎这个礼品盒，至少需要彩带多少厘米？ （3）礼品盒里装了一个三层蛋糕，直径分别是20厘米、15厘米、10厘米，每层高度4厘米，蛋糕露在外面的面都涂上一层奶油巧克力酱，涂奶油巧克力酱的面积是多少？ 12．如图，如果将一个实心的铁圆柱形零件（图①），放在一个盛有水的足够高的圆柱形容器（图②）中，则该圆柱形容器的水位将上升多少厘米？ 13．如下图，两个圆柱体容器A、B，其内部底面直径如图所示（单位：厘米）。容器A中没有水，B中水深15厘米。 （1）要将容器B中的水全部倒给A，这时容器A水深多少厘米？ （2）要将容器B中的水倒一部分给A，使两个容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 14．世间万物千姿百态，下图就是一个不规则的立体图形。你能计算它的体积（单位：厘米）吗？ 15．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 16．把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？ 17．如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 18．小强用橡皮泥做了一个圆锥形学具，圆锥的底面周长是12.56厘米，高是9厘米。他又做一个长方体纸盒，正好能把圆锥形橡皮泥装进去。 （1）橡皮泥学具的体积是多少立方厘米？ （2）做这个纸盒至少用了多少平方厘米硬纸？ 19．现有两个等高的容器（如图），圆锥体容器的半径是15厘米，圆柱体容器的半径是12厘米。现将圆锥体容器装满水倒入圆柱体容器内，这时水深比圆柱体容器高度的低3厘米。问：这两个容器的高是多少厘米？ 20．现有一个圆锥形铁块和两个完全相同的圆柱形铁块，圆柱形铁块的底面半径是3厘米，圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少。（π取3.14） （1）求圆锥形铁块底面半径是多少厘米？ （2）每个圆柱形铁块的高为15厘米，圆锥形铁块的体积为47.1立方厘米，求圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的几分之几？ （3）在（2）的条件下，一个底面积是27π平方厘米的圆柱形容器里盛有高为厘米的水，将π立方厘米的冰块化成水后全部倒入容器中，冰融化成水后体积减少。两个圆柱形铁块垂直放入容器中，都是铁块的部分浸入水中，其中一个圆柱形铁块的底部与容器的底部完全接触，另一个圆柱形铁块的底部没有与容器的底部接触，圆锥形铁块完全浸入水中，若一个圆柱形铁块露出水面的高与另一个圆柱形铁块露出水面的高的比是3∶7，求此时容器中水面的高是多少厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第一单元专项练习17：圆柱与圆锥应用综合其三·拓展版 一、填空题。 1．如图所示，把一个高是5厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。拼成后的长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了30平方厘米。原来圆柱的侧面积是( )平方厘米，拼成后的近似长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 94.2 141.3 【分析】观察图示，圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了左右两个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱底面半径，长方体体积＝圆柱体积，据此先求出圆柱底面半径，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱体积＝底面积×高，求出圆柱体积，即长方体的体积。 【详解】30÷2÷5＝3（厘米） 2×3.14×3×5 ＝18.84×5 ＝94.2（平方厘米） 3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝141.3（立方厘米） 原来圆柱的侧面积是94.2平方厘米，拼成后的近似长方体的体积是141.3立方厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱侧面积和圆柱体积公式，熟悉圆柱体积公式推导过程。 2．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱如图①，表面积增加了40平方厘米，把它横截成两个圆柱如图②，表面积增加了25.12平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】62.8 【分析】通过观察图1可知，把这个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径；若把这个圆柱从中间切成两个圆柱（如图2），表面积就会增加25.12平方厘米，表面积增加的是与圆柱底面相等的两个切面的面积，据此可以求出一个切面（圆柱的底面）的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，可以求出圆柱的底面半径，进而求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】25.12÷2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（厘米） 因为2×2＝4，所以圆柱的底面半径是2厘米 40÷2÷（2×2） ＝20÷4 ＝5（厘米） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 则这个圆柱的体积是62.8立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积，求出圆柱的底面半径和高是解题的关键。 3．一张长方形铁皮如图所示，图中阴影部分刚好能做成一个油桶（接头处不计），这个油桶的容积是( )升。 【答案】12.56 【分析】根据底面圆的直径是（4÷2）厘米求出圆柱的底面积，圆柱的高为4分米，最后利用“圆柱的体积＝底面积×高”求出油桶的容积。 【详解】3.14×（4÷2÷2）2×4 ＝3.14×12×4 ＝12.56（立方分米） ＝12.56（升） 即这个油桶的容积是12.56升。 【点睛】掌握圆柱展开图的特征以及圆柱的体积计算方法是解答题目的关键。 4．如图是一个直角三角形，已知，厘米，厘米，厘米，( )，这个三角形的面积是( )平方厘米，如果以三角形AC边为轴旋转一周后形成的图形的体积是( )立方厘米。 【答案】 30°/30度 6 37.68 【分析】直角三角形两锐角和是90°，90°－∠B＝∠A； 直角三角形两直角边可以看作底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，求出面积； 以三角形AC边为轴旋转一周后形成的图形是圆锥，圆锥的底面半径是BC，高是AC，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】90°－60°＝30° 3×4÷2＝6（平方厘米） 3.14×32×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝37.68（立方厘米） 30°，这个三角形的面积是6平方厘米，如果以三角形AC边为轴旋转一周后形成的图形的体积是37.68立方厘米。 【点睛】关键是熟悉直角三角形和圆锥的特征，明确三角形内角和，掌握并灵活运用三角形面积和圆锥体积公式。 5．一个圆锥的体积是立方米，与它等底等高的圆柱体积是( )立方米，如果圆锥的底面积是平方米，它的高是( )米。 【答案】 2 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，已知圆锥的体积是立方米，用×3即可求出圆柱的体积；根据圆锥的体积公式：V＝Sh，用3×÷即可求出圆锥的高。 【详解】×3＝（立方米） 3×÷ ＝÷ ＝× ＝2（米） 一个圆锥的体积是立方米，与它等底等高的圆柱体积是立方米，如果圆锥的底面积是平方米，它的高是2米。 【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系以及圆锥体积公式的灵活应用。 6．有一个容器下面是圆柱，上面是与之等底的圆锥，圆柱的高是10cm，圆锥的高是6cm，容器内水深7cm，把这个容器倒过来，从圆锥的角到水面的高度是( )cm。 【答案】11 【分析】根据题意，把这个容器倒过来时，圆锥在下面，6cm高的圆锥装满水，根据等体积等底的圆柱的高是圆锥高的，即圆锥6cm高的水的体积相当于圆柱2cm高的水的体积；再用原来的水深减去2cm，求出圆柱容器内剩下水的高度，加上圆锥容器的高度，就是从圆锥的角到水面的高度。 【详解】6×＝2（cm） 7－2＝5（cm） 6＋5＝11（cm） 从圆锥的角到水面的高度是11cm。 【点睛】根据等体积等底的圆柱和圆锥高之间的关系，明白圆锥容器内水的高度相当于圆柱容器内水高度的3倍是解题的关键。 7．一瓶装满的矿泉水，内直径是6cm，明明喝了一些，瓶里剩下水的高度是8cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高是10cm，这瓶矿泉水原有( )mL。 【答案】508.68 【分析】因为原来瓶子是装满水的，所以明明喝的水的体积就是瓶子倒置后无水部分的体积，根据圆柱体积的计算公式可求；由题意可知，这个瓶子的容积包含水的体积和无水部分的体积，也就是相当于底面直径是6cm，高是（10＋8）cm的圆柱的体积，根据公式“V＝”即可求出这瓶矿泉水的体积。 【详解】3.14×（6÷2）2×（10＋8） ＝3.14×32×18 ＝3.14×9×18 ＝28.26×18 ＝508.68（cm3） 508.68cm3＝508.68mL 即这瓶矿泉水原有508.68mL。 【点睛】解答本题的关键是要明确瓶子倒置后无水部分的体积和正放时无水部分的体积是相等的，可以直接将这两部分对换过来，这样更好理解。 8．如图所示，圆锥形容器中装有4L水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装( )升水。 【答案】28 【分析】如图，画出圆锥内部的高线与底面半径R与液面的半径r，这里组成了一个三角形，很显然r与R的比是1∶2，由此设容器中水面的底面半径为1，则容器的底面半径为2，求出水的体积与这个容器的容积之比即可解答问题。 【详解】如图： 画出圆锥内部的高线与底面半径R与液面的半径r，这里组成了一个三角形，很显然r与R的比是1∶2， 设水的底面半径是1，则圆锥容器的底面半径是2； 所以水的体积为：×π×12×h ＝π×h ＝πh 容器的容积为：×π×22×h ＝×π×4×h ＝π×4×h ＝π×h ＝πh 所以水的体积与容积之比是：πh∶πh ＝（πh×18÷3πh）∶（πh×18÷3πh） ＝1∶8 水的体积是4升，所以容器的容积是：4×8＝32（升 32－4＝28（升） 这个容器还能装水28升。 【点睛】此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据题干得出水面的底面半径与容器的底面半径之比是解决本题的关键。 9．看图填空。 (1)如图，一张长方形纸，分别以长和宽为轴，A和B的体积相比，( )大。 (2)图中长方体标注的长、宽、高单位为厘米，一个小球的体积是( )立方厘米，一个大球的体积是( )立方厘米。 【答案】(1)B (2) 30 35　 【分析】（1）根据图示可知，设长为a，宽为b，a＞b。根据点动成线，线动成面，面动成体的道理，以长为轴旋转一周形成一个底面半径为b高为a的圆柱体，以宽为轴旋转一周，形成一个底面半径为a高为b的圆柱体，利用圆柱的体积公式：V＝πr2h进行解答即可。 （2）根据图示可知，当小球的个数增加5个时，水上升（10－4）厘米，利用长方体体积公式：V＝abh计算一个小球的体积；再根据放入2个大球和一个小球时水面高度是4厘米，计算一个大球的体积即可。 【详解】（1）设长为a，宽为b，且a＞b。 以长为轴旋转一周形成的圆柱的体积：π×b2×a＝πab2。 以宽为轴旋转一周形成的圆柱的体积：π×a2×b＝πa2b。 因为a＞b，所以πa2b＞πab2 故以宽为轴旋转一周，形成的圆柱体积更大，也就是A和B的体积相比，B大。 （2）5×5×（10－4）÷5 ＝25×6÷5 ＝150÷5 ＝30（立方厘米） （5×5×4－30）÷2 ＝（25×4－30）÷2 ＝（100－30）÷2 ＝70÷2 ＝35（立方厘米） 所以，一个小球的体积是30立方厘米，一个大球的体积是35立方厘米。 【点睛】本题主要考查圆柱、长方体体积的计算，关键理解题目再运用公式计算。 10．赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，正好注满。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )cm。 (3)如果上图下面的大圆柱底面积是48cm2，那么大圆柱的体积是( )cm3，上面小圆柱的底面积是( )cm2。 【答案】(1)/ (2)30 (3) 960 16 【分析】（1）从图中可知，横轴每小格表示分钟；找到折线出现拐点的地方，即可得出大圆柱注满需要的时间。 （2）从图中可知总高度是50cm，由拐点可得出大圆柱的高度是20cm，那么小圆柱的高度是（50－20）cm。 （3）已知大圆柱底面积是48cm2，大圆柱的高是20cm，根据V柱＝Sh，求出大圆柱的体积； 因为注油的速度不变，用大圆柱的体积除以大圆柱注满油需要的时间即可求出每分钟的注油量； 再用每分钟的注油量乘小圆柱注满油需要的时间，求出小圆柱的体积；最后用小圆柱的体积除以小圆柱的高，求出小圆柱的底面积。 【详解】（1）从图中可知，把下面的大圆柱注满需分钟。 （2）50－20＝30（cm） 上面小圆柱高30cm。 （3）大圆柱的体积：48×20＝960（cm3） 每分钟注油量： 960÷ ＝960× ＝720（cm3） 小圆柱的体积： 720×（2－） ＝720× ＝480（cm3） 小圆柱的底面积： 480÷30＝16（cm2） 大圆柱的体积是960cm3，上面小圆柱的底面积是16cm2。 【点睛】本题考查圆柱体积公式的灵活运用，掌握折线统计图的特点及作用，从统计图中获取信息，并根据获取的信息解决问题。 二、解答题。 11．下图是一个用硬纸板做的礼品盒，用彩带过底面圆心捆扎，打结处彩带长25厘米。 （1）做这个礼品盒至少需要多少硬纸板？ （2）捆扎这个礼品盒，至少需要彩带多少厘米？ （3）礼品盒里装了一个三层蛋糕，直径分别是20厘米、15厘米、10厘米，每层高度4厘米，蛋糕露在外面的面都涂上一层奶油巧克力酱，涂奶油巧克力酱的面积是多少？ 【答案】（1）1570平方厘米； （2）235厘米； （3）879.2平方厘米 【分析】（1）这个礼品盒是一个圆柱体，求做这个礼品盒需要硬纸板的面积就是求圆柱的表面积，利用“”求出需要硬纸板的面积； （2）由图可知，至少需要彩带的长度＝底面直径×3×2＋高×6＋打结处彩带的长度，把图中数据代入计算； （3）由图可知，蛋糕露在外面的面包括三个圆柱的侧面积和最大圆柱的一个底面积，根据“”分别表示出三个圆柱的侧面积，最后加上最大圆柱的一个底面积，据此解答。 【详解】（1）3.14×20×15＋2×3.14×（20÷2）2 ＝3.14×20×15＋2×3.14×100 ＝62.8×15＋6.28×100 ＝942＋628 ＝1570（平方厘米） 答：做这个礼品盒至少需要1570平方厘米硬纸板。 （2）20×3×2＋15×6＋25 ＝120＋90＋25 ＝210＋25 ＝235（厘米） 答：至少需要彩带235厘米。 （3）3.14×20×4＋3.14×15×4＋3.14×10×4＋3.14×（20÷2）2 ＝3.14×20×4＋3.14×15×4＋3.14×10×4＋3.14×100 ＝3.14×（20×4＋15×4＋10×4＋100） ＝3.14×（80＋60＋40＋100） ＝3.14×280 ＝879.2（平方厘米） 答：涂奶油巧克力酱的面积是879.2平方厘米。 【点睛】掌握圆柱的侧面积、表面积计算公式，分析题意明确需要计算哪些面的面积是解答题目的关键。 12．如图，如果将一个实心的铁圆柱形零件（图①），放在一个盛有水的足够高的圆柱形容器（图②）中，则该圆柱形容器的水位将上升多少厘米？ 【答案】0.625厘米 【分析】圆柱体积＝底面积×高，图①零件的体积＝高2厘米的圆柱体积＋高（3－2）厘米圆柱体积的一半，图①零件的体积÷图②容器底面积＝水位上升高度，据此列式解答。 【详解】2÷2＝1（厘米） 3.14×12×2＋3.14×12×（3－2）÷2 ＝3.14×1×2＋3.14×1×1÷2 ＝6.28＋1.57 ＝7.85（立方厘米） 7.85÷[3.14×（4÷2）2] ＝7.85÷[3.14×22] ＝7.85÷[3.14×4] ＝7.85÷12.56 ＝0.625（厘米） 答：该圆柱形容器的水位将上升0.625厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式。 13．如下图，两个圆柱体容器A、B，其内部底面直径如图所示（单位：厘米）。容器A中没有水，B中水深15厘米。 （1）要将容器B中的水全部倒给A，这时容器A水深多少厘米？ （2）要将容器B中的水倒一部分给A，使两个容器中水的高度相同，这时水深多少厘米？ 【答案】（1）厘米 （2）4.6厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此求出水的体积，再用水的体积除以容器A的底面积即可求出容器A的水深； （2）由题意可知，设这时水深x厘米，根据容器A的水的体积＋容器B的水的体积＝水的总体积，据此列方程解答即可。 【详解】（1）3.14×（20÷2）2×15÷[3.14×（30÷2）2] ＝3.14×100×15÷[3.14×225] ＝3.14×100×15÷706.5 ＝4710÷706.5 ＝（厘米） 答：这时容器A水深厘米。 （2）解：设这时水深x厘米。 3.14×（30÷2）2×x＋3.14×（20÷2）2×x＝3.14×（20÷2）2×15 3.14×225x＋3.14×100x＝3.14×100×15 706.5x＋314x＝4710 1020.5x＝4710 1020.5x÷1020.5＝4710÷1020.5 x≈4.6 答：这时水深4.6厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。 14．世间万物千姿百态，下图就是一个不规则的立体图形。你能计算它的体积（单位：厘米）吗？ 【答案】62.8立方厘米 【分析】如下图，给不规则的立体图形补上一个完全一样的图形，转化成一个底面直径是4厘米，高（4＋6）厘米的圆柱；然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆柱的体积，再除以2，就是不规则立体图形的体积。 【详解】3.14×（4÷2）2×（4＋6） ＝3.14×4×10 ＝3.14×40 ＝125.6（立方厘米） 125.6÷2＝62.8（立方厘米） 答：它的体积是62.8立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积计算公式的运用，把不规则立体图形转化成圆柱体是解题的关键。 15．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金子的密度约为19克/立方厘米，铜的密度约为9克/立方厘米，在质量相同的情况下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是950克；第二步，把这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有70毫升。（提示：密度＝质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 【答案】（1）被掺了铜；计算说明见详解 （2）342克 【分析】（1）先通过排水法求出皇冠的体积，再计算假设皇冠是纯金时的体积，与实际体积比较判断是否掺铜。如果假设皇冠是纯金时的体积小于实际体积，说明皇冠被掺了铜。 （2）设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）克。根据体积关系列方程求解，即铜的体积加上金的体积等于实际皇冠的体积。铜的体积为x÷9，金的体积为（950－x）÷19，实际皇冠体积为70立方厘米，据此列出方程为：（950－x）÷19＋x÷9＝70，计算出结果即可。 【详解】（1）950÷19＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 因为50毫升＜70毫升，所以这顶皇冠被掺了铜。 （2）解：设皇冠被掺了x克铜，则金的质量为（950－x）÷19 （950－x）÷19＋x÷9＝70 9×（950－x）＋19×x ＝ 70×171 8550－9x＋19x ＝ 11970 8550－10x－8550＝11970－8550 10x＝3420 x＝342 答：皇冠被掺了342克铜。 【点睛】本题涉及了密度、质量、体积三者的关系，在列方程时，需要理解皇冠由纯金和铜两部分组成，同时运用三者的数量关系，有一定难度。 16．把一个高15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的四块，它的表面积增加了720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去了多少立方厘米木料？ 【答案】立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱体木料沿底面直径切成相同的四块，表面积增加720平方厘米，那么增加的表面积是8个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以8，求出一个切面的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径； 然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个圆柱体木料的体积； 如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的体积是圆柱体积的（1－），单位“1”已知，用圆柱的体积乘（1－），即可求出削去的体积。 【详解】圆柱的底面半径： 720÷8÷15 ＝90÷15 ＝6（厘米） 圆柱的体积： 3.14×62×15 ＝3.14×36×15 ＝1695.6（立方厘米） 削去的体积： 1695.6×（1－） ＝1695.6× ＝1130.4（立方厘米） 答：削去了1130.4立方厘米木料。 【点睛】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成四块时，增加的表面积是8个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面半径和高为长、宽的长方形，以此为突破口，求出圆柱的底面半径，再利用等底等高时圆锥与圆柱的体积关系解答。 17．如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高15厘米的圆锥形铅锤，圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的水面高度将下降多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】已知圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为5∶4，可知它们的底面半径之比为5∶4，底面积之比为25∶16； 因为圆锥形铅锤完全浸没在水中，从水中取出铅锤，那么容器中的水面会下降，水下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，它们的体积之比为1∶1； 根据圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，求出容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比； 已知圆锥形铅锤的高是15厘米，根据比的应用的解题方法，求出一份数，进而求出容器中水面下降的高度。 【详解】圆柱容器和圆锥铅锤的底面半径之比为5∶4； 圆柱容器和圆锥铅锤的底面积之比为52∶42＝25∶16； 圆柱容器中水面下降部分的体积与圆锥铅锤的体积之比为1∶1； 圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比为： （1÷25）∶（1×3÷16） ＝∶ ＝（×400）∶（×400） ＝16∶75 圆柱容器中的水面高度下降： 15÷75×16 ＝0.2×16 ＝3.2（厘米） 答：容器中的水面高度将下降3.2厘米。 【点睛】求出圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比是解题的关键，再根据比的应用的解题方法求解。 18．小强用橡皮泥做了一个圆锥形学具，圆锥的底面周长是12.56厘米，高是9厘米。他又做一个长方体纸盒，正好能把圆锥形橡皮泥装进去。 （1）橡皮泥学具的体积是多少立方厘米？ （2）做这个纸盒至少用了多少平方厘米硬纸？ 【答案】（1）37.68立方厘米 （2）176平方厘米 【分析】（1）已知圆锥的底面周长为12.56厘米，根据圆的半径＝底面周长÷π÷2，求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积V＝πr2h，代入数据解答即可； （2）为了节约用料，长方体的高应该等于圆锥的高，长和宽等于圆锥的底面直径；计算包装盒的面积就是计算长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】（1）12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68（立方厘米） 答：橡皮泥学具的体积是37.68立方厘米。 （2）2×2＝4（厘米） （4×4＋4×9＋4×9）×2 ＝（16＋36＋36）×2 ＝（52＋36）×2 ＝88×2 ＝176（平方厘米） 答：做这个纸盒至少用了176平方厘米硬纸。 【点睛】解答此题的关键是明白：让长方体的长和宽都等于圆锥的底面直径，高等于圆柱的高，则需要的硬纸面积最小。 19．现有两个等高的容器（如图），圆锥体容器的半径是15厘米，圆柱体容器的半径是12厘米。现将圆锥体容器装满水倒入圆柱体容器内，这时水深比圆柱体容器高度的低3厘米。问：这两个容器的高是多少厘米？ 【答案】9.6厘米 【分析】假设两个容器的高为x厘米，现将圆锥体容器装满水倒入圆柱体容器内，这时水深比圆柱体容器高度的低3厘米，则把圆柱的容器高度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，圆柱现在的水深是（x－3）厘米，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，和圆锥的体积公式：πr2h，列方程为×π×152×x＝π×122×（x－3），然后解出方程即可。 【详解】解：设两个容器的高为x厘米。 ×π×152×x＝π×122×（x－3） ×π×225×x＝π×144×（x－3） ×π×225×x÷π＝π×144×（x－3）÷π ×225×x＝144×（x－3） 75x＝120x－432 120x－75x＝432 45x＝432 x＝432÷45 x＝9.6 答：这两个容器的高都是9.6厘米。 【点睛】本题主要考查了圆柱和圆锥的灵活应用，可用列方程解决问题，掌握相应的公式是解答本题的关键。 20．现有一个圆锥形铁块和两个完全相同的圆柱形铁块，圆柱形铁块的底面半径是3厘米，圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少。（π取3.14） （1）求圆锥形铁块底面半径是多少厘米？ （2）每个圆柱形铁块的高为15厘米，圆锥形铁块的体积为47.1立方厘米，求圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的几分之几？ （3）在（2）的条件下，一个底面积是27π平方厘米的圆柱形容器里盛有高为厘米的水，将π立方厘米的冰块化成水后全部倒入容器中，冰融化成水后体积减少。两个圆柱形铁块垂直放入容器中，都是铁块的部分浸入水中，其中一个圆柱形铁块的底部与容器的底部完全接触，另一个圆柱形铁块的底部没有与容器的底部接触，圆锥形铁块完全浸入水中，若一个圆柱形铁块露出水面的高与另一个圆柱形铁块露出水面的高的比是3∶7，求此时容器中水面的高是多少厘米？ 【答案】（1）2厘米；（2）；（3）12厘米 【分析】（1）根据圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少列式计算即可； （2）根据圆锥形铁块的体积公式求出圆锥的高，然后用圆锥形铁块的高除以圆柱形铁块的高即可； （3）先求出容器中水的总体积，再设两个圆柱露在水面之上的高度分别为3x厘米和7x厘米，根据题意列出方程3.14×3×3×（15－3x＋15－7x）＋47.1＋405.06＝27×3.14×（15－3x），解方程即可。 【详解】（1）3－3× ＝3－1 ＝2（厘米） 答：圆锥形铁块底面半径是2厘米。 （2） ＝141.3÷（3.14×4） ＝141.3÷12.56 ＝11.25（厘米） 答：圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的。 （3）圆柱形容器原有水：（立方厘米） 冰化成水的体积为： ＝× ＝57π（立方厘米） 混合后圆柱形容器中水的总体积： 解：设两个圆柱露在水面之上的高度分别为3x厘米和7x厘米 3.14×3×3×（15－3x＋15－7x）＋47.1＋405.06＝27×3.14×（15－3x） 解得 所以 ＝15－3×1 ＝15－3 ＝12（厘米） 答：此时容器中水面的高是12厘米。 【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 21 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第一单元专项练习 17：圆柱与圆锥应用综合其三·拓展版 一、填空题。 1．如图所示，把一个高是 5厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。 拼成后的长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 30平方厘米。原来圆柱的 侧面积是( )平方厘米，拼成后的近似长方体的体积是( )立方厘 米。 【答案】 94.2 141.3 【分析】观察图示，圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加了 左右两个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱底面半径，长方体 体积＝圆柱体积，据此先求出圆柱底面半径，根据圆柱侧面积＝底面周长×高， 圆柱体积＝底面积×高，求出圆柱体积，即长方体的体积。 【详解】30÷2÷5＝3（厘米） 2×3.14×3×5 ＝18.84×5 ＝94.2（平方厘米） 3.14×32×5 ＝3.14×9×5 ＝141.3（立方厘米） 原来圆柱的侧面积是 94.2平方厘米，拼成后的近似长方体的体积是 141.3立方厘 米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱侧面积和圆柱体积公式，熟悉圆柱体积公式 推导过程。 2．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱如图①，表面积增加了 40平方厘米， 把它横截成两个圆柱如图②，表面积增加了 25.12平方厘米，这个圆柱的体积是 第 2 页 共 21 页 ( )立方厘米。 【答案】62.8 【分析】通过观察图 1可知，把这个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增 加的是两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的 底面直径；若把这个圆柱从中间切成两个圆柱（如图 2），表面积就会增加 25.12 平方厘米，表面积增加的是与圆柱底面相等的两个切面的面积，据此可以求出一 个切面（圆柱的底面）的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，可以求出圆柱的底 面半径，进而求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公 式解答。 【详解】25.12÷2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（厘米） 因为 2×2＝4，所以圆柱的底面半径是 2厘米 40÷2÷（2×2） ＝20÷4 ＝5（厘米） 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 则这个圆柱的体积是 62.8立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积，求出圆柱的底面半径和高是解题的关键。 3．一张长方形铁皮如图所示，图中阴影部分刚好能做成一个油桶（接头处不计）， 这个油桶的容积是( )升。 第 3 页 共 21 页 【答案】12.56 【分析】根据底面圆的直径是（4÷2）厘米求出圆柱的底面积，圆柱的高为 4分 米，最后利用“圆柱的体积＝底面积×高”求出油桶的容积。 【详解】3.14×（4÷2÷2）2×4 ＝3.14×12×4 ＝12.56（立方分米） ＝12.56（升） 即这个油桶的容积是 12.56升。 【点睛】掌握圆柱展开图的特征以及圆柱的体积计算方法是解答题目的关键。 4．如图是一个直角三角形，已知 =60B ， 5AB  厘米， 4AC  厘米， 3BC  厘米， A  ( )，这个三角形的面积是( )平方厘米，如果以三角形 AC 边为轴旋转一周后形成的图形的体积是( )立方厘米。 【答案】 30°/30度 6 37.68 【分析】直角三角形两锐角和是 90°，90°－∠B＝∠A； 直角三角形两直角边可以看作底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，求出面积； 以三角形 AC边为轴旋转一周后形成的图形是圆锥，圆锥的底面半径是 BC，高 是 AC，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，列式计算即可。 【详解】90°－60°＝30° 3×4÷2＝6（平方厘米） 3.14×32×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 第 4 页 共 21 页 ＝37.68（立方厘米） A 30°，这个三角形的面积是 6平方厘米，如果以三角形 AC边为轴旋转一周 后形成的图形的体积是 37.68立方厘米。 【点睛】关键是熟悉直角三角形和圆锥的特征，明确三角形内角和，掌握并灵活 运用三角形面积和圆锥体积公式。 5．一个圆锥的体积是 5 12立方米，与它等底等高的圆柱体积是( )立方米， 如果圆锥的底面积是 5 8 平方米，它的高是( )米。 【答案】 5 4 2 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的 3倍，已知圆锥的体积是 5 12立 方米，用 5 12 ×3即可求出圆柱的体积；根据圆锥的体积公式：V＝ 1 3 Sh，用 3× 5 12 ÷ 5 8 即可求出圆锥的高。 【详解】 5 12 ×3＝ 5 4（立方米） 3× 5 12 ÷ 5 8 ＝ 5 4 ÷ 5 8 ＝ 5 4 × 8 5 ＝2（米） 一个圆锥的体积是 5 12立方米，与它等底等高的圆柱体积是 5 4立方米，如果圆锥的 底面积是 5 8 平方米，它的高是 2米。 【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系以及圆锥体积公式的 灵活应用。 6．有一个容器下面是圆柱，上面是与之等底的圆锥，圆柱的高是 10cm，圆锥的 高是 6cm，容器内水深 7cm，把这个容器倒过来，从圆锥的角到水面的高度是 ( )cm。 【答案】11 【分析】根据题意，把这个容器倒过来时，圆锥在下面，6cm高的圆锥装满水， 第 5 页 共 21 页 根据等体积等底的圆柱的高是圆锥高的 1 3，即圆锥 6cm高的水的体积相当于圆柱 2cm高的水的体积；再用原来的水深减去 2cm，求出圆柱容器内剩下水的高度， 加上圆锥容器的高度，就是从圆锥的角到水面的高度。 【详解】6× 13＝2（cm） 7－2＝5（cm） 6＋5＝11（cm） 从圆锥的角到水面的高度是 11cm。 【点睛】根据等体积等底的圆柱和圆锥高之间的关系，明白圆锥容器内水的高度 相当于圆柱容器内水高度的 3倍是解题的关键。 7．一瓶装满的矿泉水，内直径是 6cm，明明喝了一些，瓶里剩下水的高度是 8cm， 把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高是 10cm，这瓶矿泉水原有( )mL。 【答案】508.68 【分析】因为原来瓶子是装满水的，所以明明喝的水的体积就是瓶子倒置后无水 部分的体积，根据圆柱体积的计算公式可求；由题意可知，这个瓶子的容积包含 水的体积和无水部分的体积，也就是相当于底面直径是 6cm，高是（10＋8）cm 的圆柱的体积，根据公式“V＝ 2r h ”即可求出这瓶矿泉水的体积。 【详解】3.14×（6÷2）2×（10＋8） ＝3.14×32×18 ＝3.14×9×18 ＝28.26×18 ＝508.68（cm3） 508.68cm3＝508.68mL 即这瓶矿泉水原有 508.68mL。 【点睛】解答本题的关键是要明确瓶子倒置后无水部分的体积和正放时无水部分 的体积是相等的，可以直接将这两部分对换过来，这样更好理解。 8．如图所示，圆锥形容器中装有 4L水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这 个容器还能装( )升水。 第 6 页 共 21 页 【答案】28 【分析】如图，画出圆锥内部的高线与底面半径 R与液面的半径 r，这里组成了 一个三角形，很显然 r与 R的比是 1∶2，由此设容器中水面的底面半径为 1，则 容器的底面半径为 2，求出水的体积与这个容器的容积之比即可解答问题。 【详解】如图： 画出圆锥内部的高线与底面半径 R与液面的半径 r，这里组成了一个三角形，很 显然 r与 R的比是 1∶2， 设水的底面半径是 1，则圆锥容器的底面半径是 2； 所以水的体积为： 1 3 ×π×1 2× 12 h ＝ 1 3 π× 1 2 h ＝ 1 6 πh 容器的容积为： 1 3 ×π×2 2×h ＝ 1 3 ×π×4×h ＝ 1 3 π×4×h ＝ 4 3 π×h ＝ 4 3 πh 所以水的体积与容积之比是： 1 6 πh∶ 4 3 πh 第 7 页 共 21 页 ＝（ 1 6 πh×18÷3πh）∶（ 4 3 πh×18÷3πh） ＝1∶8 水的体积是 4升，所以容器的容积是：4×8＝32（升） 32－4＝28（升） 这个容器还能装水 28升。 【点睛】此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据题干得出水面的底面 半径与容器的底面半径之比是解决本题的关键。 9．看图填空。 (1)如图，一张长方形纸，分别以长和宽为轴，A和 B的体积相比，( ) 大。 (2)图中长方体标注的长、宽、高单位为厘米，一个小球的体积是( )立方 厘米，一个大球的体积是( )立方厘米。 【答案】(1)B (2) 30 35 【分析】（1）根据图示可知，设长为 a，宽为 b，a＞b。根据点动成线，线动成 面，面动成体的道理，以长为轴旋转一周形成一个底面半径为 b高为 a的圆柱体， 以宽为轴旋转一周，形成一个底面半径为 a高为 b的圆柱体，利用圆柱的体积公 式：V＝πr2h进行解答即可。 （2）根据图示可知，当小球的个数增加 5个时，水上升（10－4）厘米，利用长 方体体积公式：V＝abh计算一个小球的体积；再根据放入 2个大球和一个小球 第 8 页 共 21 页 时水面高度是 4厘米，计算一个大球的体积即可。 【详解】（1）设长为 a，宽为 b，且 a＞b。 以长为轴旋转一周形成的圆柱的体积：π×b2×a＝πab2。 以宽为轴旋转一周形成的圆柱的体积：π×a2×b＝πa2b。 因为 a＞b，所以πa2b＞πab2 故以宽为轴旋转一周，形成的圆柱体积更大，也就是 A和 B的体积相比，B大。 （2）5×5×（10－4）÷5 ＝25×6÷5 ＝150÷5 ＝30（立方厘米） （5×5×4－30）÷2 ＝（25×4－30）÷2 ＝（100－30）÷2 ＝70÷2 ＝35（立方厘米） 所以，一个小球的体积是 30立方厘米，一个大球的体积是 35立方厘米。 【点睛】本题主要考查圆柱、长方体体积的计算，关键理解题目再运用公式计算。 10．赵师傅向下图所示的空容器（由上、下两个圆柱组成）中匀速注油，正好注 满。注油过程中，容器中油的高度与所用时间的关系如图所示。 (1)把下面的大圆柱注满需( )分钟。 (2)上面小圆柱高( )cm。 (3)如果上图下面的大圆柱底面积是 48cm2，那么大圆柱的体积是( )cm3， 上面小圆柱的底面积是( )cm2。 【答案】(1)4 3 /1 1 3 (2)30 第 9 页 共 21 页 (3) 960 16 【分析】（1）从图中可知，横轴每小格表示 13分钟；找到折线出现拐点的地方， 即可得出大圆柱注满需要的时间。 （2）从图中可知总高度是 50cm，由拐点可得出大圆柱的高度是 20cm，那么小 圆柱的高度是（50－20）cm。 （3）已知大圆柱底面积是 48cm2，大圆柱的高是 20cm，根据 V 柱＝Sh，求出大 圆柱的体积； 因为注油的速度不变，用大圆柱的体积除以大圆柱注满油需要的时间即可求出每 分钟的注油量； 再用每分钟的注油量乘小圆柱注满油需要的时间，求出小圆柱的体积；最后用小 圆柱的体积除以小圆柱的高，求出小圆柱的底面积。 【详解】（1）从图中可知，把下面的大圆柱注满需 4 3 分钟。 （2）50－20＝30（cm） 上面小圆柱高 30cm。 （3）大圆柱的体积：48×20＝960（cm3） 每分钟注油量： 960÷ 4 3 ＝960× 3 4 ＝720（cm3） 小圆柱的体积： 720×（2－ 4 3 ） ＝720× 2 3 ＝480（cm3） 小圆柱的底面积： 480÷30＝16（cm2） 大圆柱的体积是 960cm3，上面小圆柱的底面积是 16cm2。 【点睛】本题考查圆柱体积公式的灵活运用，掌握折线统计图的特点及作用，从 第 10 页 共 21 页 统计图中获取信息，并根据获取的信息解决问题。 二、解答题。 11．下图是一个用硬纸板做的礼品盒，用彩带过底面圆心捆扎，打结处彩带长 25厘米。 （1）做这个礼品盒至少需要多少硬纸板？ （2）捆扎这个礼品盒，至少需要彩带多少厘米？ （3）礼品盒里装了一个三层蛋糕，直径分别是 20厘米、15厘米、10厘米，每 层高度 4厘米，蛋糕露在外面的面都涂上一层奶油巧克力酱，涂奶油巧克力酱的 面积是多少？ 【答案】（1）1570平方厘米； （2）235厘米； （3）879.2平方厘米 【分析】（1）这个礼品盒是一个圆柱体，求做这个礼品盒需要硬纸板的面积就 是求圆柱的表面积，利用“ 2S dh 2 r = + ”求出需要硬纸板的面积； （2）由图可知，至少需要彩带的长度＝底面直径×3×2＋高×6＋打结处彩带的长 度，把图中数据代入计算； （3）由图可知，蛋糕露在外面的面包括三个圆柱的侧面积和最大圆柱的一个底 面积，根据“ S dh ”分别表示出三个圆柱的侧面积，最后加上最大圆柱的一个底 面积，据此解答。 【详解】（1）3.14×20×15＋2×3.14×（20÷2）2 ＝3.14×20×15＋2×3.14×100 ＝62.8×15＋6.28×100 第 11 页 共 21 页 ＝942＋628 ＝1570（平方厘米） 答：做这个礼品盒至少需要 1570平方厘米硬纸板。 （2）20×3×2＋15×6＋25 ＝120＋90＋25 ＝210＋25 ＝235（厘米） 答：至少需要彩带 235厘米。 （3）3.14×20×4＋3.14×15×4＋3.14×10×4＋3.14×（20÷2）2 ＝3.14×20×4＋3.14×15×4＋3.14×10×4＋3.14×100 ＝3.14×（20×4＋15×4＋10×4＋100） ＝3.14×（80＋60＋40＋100） ＝3.14×280 ＝879.2（平方厘米） 答：涂奶油巧克力酱的面积是 879.2平方厘米。 【点睛】掌握圆柱的侧面积、表面积计算公式，分析题意明确需要计算哪些面的 面积是解答题目的关键。 12．如图，如果将一个实心的铁圆柱形零件（图①），放在一个盛有水的足够高 的圆柱形容器（图②）中，则该圆柱形容器的水位将上升多少厘米？ 【答案】0.625厘米 【分析】圆柱体积＝底面积×高，图①零件的体积＝高 2厘米的圆柱体积＋高（3 第 12 页 共 21 页 －2）厘米圆柱体积的一半，图①零件的体积÷图②容器底面积＝水位上升高度， 据此列式解答。 【详解】2÷2＝1（厘米） 3.14×12×2＋3.14×12×（3－2）÷2 ＝3.14×1×2＋3.14×1×1÷2 ＝6.28＋1.57 ＝7.85（立方厘米） 7.85÷[3.14×（4÷2）2] ＝7.85÷[3.14×22] ＝7.85÷[3.14×4] ＝7.85÷12.56 ＝0.625（厘米） 答：该圆柱形容器的水位将上升 0.625厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱体积公式。 13．如下图，两个圆柱体容器 A、B，其内部底面直径如图所示（单位：厘米）。 容器 A中没有水，B中水深 15厘米。 （1）要将容器 B中的水全部倒给 A，这时容器 A水深多少厘米？ （2）要将容器 B中的水倒一部分给 A，使两个容器中水的高度相同，这时水深 多少厘米？ 【答案】（1） 26 3 厘米 （2）4.6厘米 【分析】（1）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此求出水的体积，再用水的体 积除以容器 A的底面积即可求出容器 A的水深； 第 13 页 共 21 页 （2）由题意可知，设这时水深 x厘米，根据容器 A的水的体积＋容器 B的水的 体积＝水的总体积，据此列方程解答即可。 【详解】（1）3.14×（20÷2）2×15÷[3.14×（30÷2）2] ＝3.14×100×15÷[3.14×225] ＝3.14×100×15÷706.5 ＝4710÷706.5 ＝ 26 3 （厘米） 答：这时容器 A水深 26 3 厘米。 （2）解：设这时水深 x厘米。 3.14×（30÷2）2×x＋3.14×（20÷2）2×x＝3.14×（20÷2）2×15 3.14×225x＋3.14×100x＝3.14×100×15 706.5x＋314x＝4710 1020.5x＝4710 1020.5x÷1020.5＝4710÷1020.5 x≈4.6 答：这时水深 4.6厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。 14．世间万物千姿百态，下图就是一个不规则的立体图形。你能计算它的体积（单 位：厘米）吗？ 【答案】62.8立方厘米 【分析】如下图，给不规则的立体图形补上一个完全一样的图形，转化成一个底 面直径是 4厘米，高（4＋6）厘米的圆柱；然后根据圆柱的体积公式 V＝πr2h， 求出这个圆柱的体积，再除以 2，就是不规则立体图形的体积。 第 14 页 共 21 页 【详解】3.14×（4÷2）2×（4＋6） ＝3.14×4×10 ＝3.14×40 ＝125.6（立方厘米） 125.6÷2＝62.8（立方厘米） 答：它的体积是 62.8立方厘米。 【点睛】本题考查圆柱的体积计算公式的运用，把不规则立体图形转化成圆柱体 是解题的关键。 15．2000多年前，古希腊国王让人做了一顶纯金的皇冠，但他怀疑皇冠被掺了 铜，所以请数学家阿基米德来帮忙。阿基米德用“排水法”来鉴别皇冠的真伪：金 子的密度约为 19克/立方厘米，铜的密度约为 9克/立方厘米，在质量相同的情况 下金子的体积比较小；如果掺了铜后，密度减小，体积增大，排出的水就多了。 阿基米德做了如下的实验：第一步，称出这顶皇冠的质量是 950克；第二步，把 这顶皇冠浸没在装满水的容器中，测量出排出的水有 70毫升。（提示：密度＝ 质量÷体积） （1）这顶皇冠是否被掺了铜？请计算说明理由。 （2）如果有掺铜，请你算出皇冠被掺了多少克铜？ 【答案】（1）被掺了铜；计算说明见详解 （2）342克 【分析】（1）先通过排水法求出皇冠的体积，再计算假设皇冠是纯金时的体积， 与实际体积比较判断是否掺铜。如果假设皇冠是纯金时的体积小于实际体积，说 明皇冠被掺了铜。 （2）设皇冠被掺了 x克铜，则金的质量为（950－x）克。根据体积关系列方程 求解，即铜的体积加上金的体积等于实际皇冠的体积。铜的体积为 x÷9，金的体 积为（950－x）÷19，实际皇冠体积为 70立方厘米，据此列出方程为：（950－x） ÷19＋x÷9＝70，计算出结果即可。 第 15 页 共 21 页 【详解】（1）950÷19＝50（立方厘米） 50立方厘米＝50毫升 因为 50毫升＜70毫升，所以这顶皇冠被掺了铜。 （2）解：设皇冠被掺了 x克铜，则金的质量为（950－x）÷19 （950－x）÷19＋x÷9＝70 9×（950－x）＋19×x ＝ 70×171 8550－9x＋19x ＝ 11970 8550－10x－8550＝11970－8550 10x＝3420 x＝342 答：皇冠被掺了 342克铜。 【点睛】本题涉及了密度、质量、体积三者的关系，在列方程时，需要理解皇冠 由纯金和铜两部分组成，同时运用三者的数量关系，有一定难度。 16．把一个高 15厘米的圆柱体木料沿着两条互相垂直的直径纵切成完全相同的 四块，它的表面积增加了 720平方厘米。如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥 体，削去了多少立方厘米木料？ 【答案】1130.4立方厘米 【分析】根据题意，把一个圆柱体木料沿底面直径切成相同的四块，表面积增加 720平方厘米，那么增加的表面积是 8个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的 高，每个切面的宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以 8，求出一个切面 的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径； 然后根据圆柱的体积公式 V＝πr2h，求出这个圆柱体木料的体积； 如果把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，那么这个圆锥和圆柱等底等高，圆锥 的体积是圆柱体积的 1 3，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去的体积是圆柱体积 的（1－ 13），单位“1”已知，用圆柱的体积乘（1－ 1 3），即可求出削去的体积。 第 16 页 共 21 页 【详解】圆柱的底面半径： 720÷8÷15 ＝90÷15 ＝6（厘米） 圆柱的体积： 3.14×62×15 ＝3.14×36×15 ＝1695.6（立方厘米） 削去的体积： 1695.6×（1－ 13） ＝1695.6× 2 3 ＝1130.4（立方厘米） 答：削去了 1130.4立方厘米木料。 【点睛】本题考查圆柱切割的特点，明确圆柱沿底面直径切成四块时，增加的表 面积是 8个切面的面积，每个切面是以圆柱的底面半径和高为长、宽的长方形， 以此为突破口，求出圆柱的底面半径，再利用等底等高时圆锥与圆柱的体积关系 解答。 17．如图，圆柱玻璃容器里面装有水，水中浸没着一个高 15厘米的圆锥形铅锤， 圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为 5∶4，如果把铅锤取出，那么容器中的 水面高度将下降多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】已知圆柱容器和圆锥铅锤的底面直径之比为 5∶4，可知它们的底面半 径之比为 5∶4，底面积之比为 25∶16； 因为圆锥形铅锤完全浸没在水中，从水中取出铅锤，那么容器中的水面会下降， 水下降部分的体积等于圆锥形铅锤的体积，它们的体积之比为 1∶1； 第 17 页 共 21 页 根据圆柱的高 h 柱＝V÷S，圆锥的高 h 锥＝3V÷S，求出容器中水面下降高度和圆 锥铅锤的高之比； 已知圆锥形铅锤的高是 15厘米，根据比的应用的解题方法，求出一份数，进而 求出容器中水面下降的高度。 【详解】圆柱容器和圆锥铅锤的底面半径之比为 5∶4； 圆柱容器和圆锥铅锤的底面积之比为 52∶42＝25∶16； 圆柱容器中水面下降部分的体积与圆锥铅锤的体积之比为 1∶1； 圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比为： （1÷25）∶（1×3÷16） ＝ 1 25∶ 3 16 ＝（ 1 25 ×400）∶（ 3 16 ×400） ＝16∶75 圆柱容器中的水面高度下降： 15÷75×16 ＝0.2×16 ＝3.2（厘米） 答：容器中的水面高度将下降 3.2厘米。 【点睛】求出圆柱容器中水面下降高度和圆锥铅锤的高之比是解题的关键，再根 据比的应用的解题方法求解。 18．小强用橡皮泥做了一个圆锥形学具，圆锥的底面周长是 12.56厘米，高是 9 厘米。他又做一个长方体纸盒，正好能把圆锥形橡皮泥装进去。 （1）橡皮泥学具的体积是多少立方厘米？ （2）做这个纸盒至少用了多少平方厘米硬纸？ 【答案】（1）37.68立方厘米 （2）176平方厘米 【分析】（1）已知圆锥的底面周长为 12.56厘米，根据圆的半径＝底面周长÷π÷2， 求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积 V＝ 13 πr 2h，代入数据解答即可； （2）为了节约用料，长方体的高应该等于圆锥的高，长和宽等于圆锥的底面直 第 18 页 共 21 页 径；计算包装盒的面积就是计算长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋ 长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】（1）12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 3.14×22×9× 13 ＝3.14×4×9× 13 ＝12.56×9× 13 ＝113.04× 13 ＝37.68（立方厘米） 答：橡皮泥学具的体积是 37.68立方厘米。 （2）2×2＝4（厘米） （4×4＋4×9＋4×9）×2 ＝（16＋36＋36）×2 ＝（52＋36）×2 ＝88×2 ＝176（平方厘米） 答：做这个纸盒至少用了 176平方厘米硬纸。 【点睛】解答此题的关键是明白：让长方体的长和宽都等于圆锥的底面直径，高 等于圆柱的高，则需要的硬纸面积最小。 19．现有两个等高的容器（如图），圆锥体容器的半径是 15厘米，圆柱体容器 的半径是 12厘米。现将圆锥体容器装满水倒入圆柱体容器内，这时水深比圆柱 体容器高度的 5 6 低 3厘米。问：这两个容器的高是多少厘米？ 【答案】9.6厘米 第 19 页 共 21 页 【分析】假设两个容器的高为 x厘米，现将圆锥体容器装满水倒入圆柱体容器内， 这时水深比圆柱体容器高度的 5 6 低 3厘米，则把圆柱的容器高度看作单位“1”， 根据分数乘法的意义，圆柱现在的水深是（ 5 6 x－3）厘米，根据圆柱的体积公式： V＝πr2h，和圆锥的体积公式：13 πr 2h，列方程为 13 ×π×15 2×x＝π×122×（ 5 6 x－3）， 然后解出方程即可。 【详解】解：设两个容器的高为 x厘米。 1 3 ×π×15 2×x＝π×122×（ 5 6 x－3） 1 3 ×π×225×x＝π×144×（ 5 6 x－3） 1 3 ×π×225×x÷π＝π×144×（ 5 6 x－3）÷π 1 3 ×225×x＝144×（ 5 6 x－3） 75x＝120x－432 120x－75x＝432 45x＝432 x＝432÷45 x＝9.6 答：这两个容器的高都是 9.6厘米。 【点睛】本题主要考查了圆柱和圆锥的灵活应用，可用列方程解决问题，掌握相 应的公式是解答本题的关键。 20．现有一个圆锥形铁块和两个完全相同的圆柱形铁块，圆柱形铁块的底面半径 是 3厘米，圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少 13。（π取 3.14） （1）求圆锥形铁块底面半径是多少厘米？ （2）每个圆柱形铁块的高为 15厘米，圆锥形铁块的体积为 47.1立方厘米，求 圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的几分之几？ （3）在（2）的条件下，一个底面积是 27π平方厘米的圆柱形容器里盛有高为 83厘 米的水，将 190 3 π立方厘米的冰块化成水后全部倒入容器中，冰融化成水后体积 减少 1 10 。两个圆柱形铁块垂直放入容器中，都是铁块的部分浸入水中，其中一 第 20 页 共 21 页 个圆柱形铁块的底部与容器的底部完全接触，另一个圆柱形铁块的底部没有与容 器的底部接触，圆锥形铁块完全浸入水中，若一个圆柱形铁块露出水面的高与另 一个圆柱形铁块露出水面的高的比是 3∶7，求此时容器中水面的高是多少厘 米？ 【答案】（1）2厘米；（2） 3 4 ；（3）12厘米 【分析】（1）根据圆锥形铁块底面半径比圆柱形铁块底面半径少 13列式计算即 可； （2）根据圆锥形铁块的体积公式求出圆锥的高，然后用圆锥形铁块的高除以圆 柱形铁块的高即可； （3）先求出容器中水的总体积，再设两个圆柱露在水面之上的高度分别为 3x 厘米和 7x厘米，根据题意列出方程 3.14×3×3×（15－3x＋15－7x）＋47.1＋405.06 ＝27×3.14×（15－3x），解方程即可。 【详解】（1）3－3× 13 ＝3－1 ＝2（厘米） 答：圆锥形铁块底面半径是 2厘米。 （2）  247.1 3 3.14 2   ＝141.3÷（3.14×4） ＝141.3÷12.56 ＝11.25（厘米） 311.25 15 4  ＝ 答：圆锥形铁块的高是圆柱形铁块的高的 3 4 。 （3）圆柱形容器原有水： 827π 72π3  ＝ （立方厘米） 冰化成水的体积为： 190π 11 3 10       ＝ 190 3  × 9 10 ＝57π（立方厘米） 第 21 页 共 21 页 混合后圆柱形容器中水的总体积：72π 57π 129π 405.06＋ ＝ 立方厘米 立方厘米 解：设两个圆柱露在水面之上的高度分别为 3x厘米和 7x厘米 3.14×3×3×（15－3x＋15－7x）＋47.1＋405.06＝27×3.14×（15－3x） 解得 x 1＝ 所以15 3x ＝15－3×1 ＝15－3 ＝12（厘米） 答：此时容器中水面的高是 12厘米。 【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式。