第一单元专项练习12：八种问题其八·圆柱圆锥中的注水运动问题-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

第 1 页 共 11 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第一单元专项练习 12： 八种问题其八·圆柱圆锥中的注水运动问题 1．一个圆柱体的容器的底部放着一块正方体铅块，现在打开水龙头向容器内注 水。15秒时恰好没过铅块的上表面，又过了 1分半钟，水注满了容器。若容器 的高度是 24厘米，铅块高度是 6厘米，则容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】72平方厘米 【分析】根据题意可知，水龙头往容器内的每秒钟的注水量是一定的，因此可得 到等量关系式：15秒钟的注水量÷15秒＝1分半钟的注水量÷1分半钟，已知正方 体的高度是 6厘米，容器内注入与正方体等高的水用 15秒钟，此时的注水高度 是 6厘米，注水底面积是容器的底面积减去正方体的底面积，用底面积乘高可得 到此时的注水量；又过了 1分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（24－6） 厘米，注水底面积是即是圆柱的底面积，因此可设圆柱的底面积是 x平方厘米， 把未知数代入等量关系式进行解答即可得到答案。 【详解】解：设容器底面积为 x平方厘米。 6（x－6²）÷15＝（24－6）x÷90 6（x－6²）÷15×90＝（24－6）x÷90×90 6（x－6²）×6＝18x 36x－1296＝18x 18x÷18＝1296÷18 x＝72 答：容器的底面积是 72平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是利用圆柱的体积公式 V＝sh确定两次分别注入的水 量，然后再利用每秒钟的注水量相等进行解答即可 2．水平桌面上放着高度都为 10厘米的两个圆柱形容器 A和 B，在它们高度的 一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器 A、B底面直径分别为 10厘米和 16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器 B，如果打开连通管，水管 向 B容器注水 6秒钟后，容器 A中水的高度是多少呢？（π取 3.14） 第 2 页 共 11 页 【答案】2.56厘米 【分析】根据圆柱的体积公式 V＝Sh，求出 B容器的容积是：3.14×（16÷2）2×10 ＝2009.6（立方厘米），A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2＝78.5（平方厘米）， 5秒钟后 B中的水流到 A容器了，用流到 A容器中水的体积除以 A容器的底面 积，即为容器 A中水的高度，据此解答即可。 【详解】B容器的容积是：：3.14×（16÷2）2×10＝3.14×64×10＝2009.6（立方厘 米） A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 流到 A容器的体积是：2009.6× 6 510 10 （ ）＝2009.6× 1 10 ＝200.96（立方厘米） 容器 A中水的高度是：200.96÷78.5＝2.56（厘米） 答：容器 A中水的高度是 2.56厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答本题的关键是求出流到 A容器中水的体积。 3．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中 注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了 18分钟，水灌满容器．已 知容器的高度是 50厘米．长方体的高度是 20厘米，那么长方体底面积与容器底 面面积的比等于多少？ 【答案】3：4 【详解】已知长方体的高度是 20厘米，容器内注入与长方体等高的水用 3分钟， 又过了 18分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（50-20）厘米；这样就可以 求出两次注水所用时间的比．由于长方体占据了圆柱体容器的部分空间，由此可 以推导出长方体底面积与容器底面积的比． 解：注满容器 20厘米高的水与 30厘米高的水所用时间之比为 20：30=2：3． 注 20厘米的水的时间为 18×2 3 =12（分），这说明注入长方体铁块所占空间的 水要用时间为 12-3=9（分）． 已知长方体铁块高为 20厘米，因此它们底的面积比等于它们的体积之比，而它 们的体积比等于所注入时间之比，故长方形底面面积：容器底面面积=9：12=3： 4． 答：长方体底面积与容器底面面积的比是 3：4． 第 3 页 共 11 页 考点：长方体、正方体表面积． 点评：1、求出两次注水时间的比． 2、再求出长方体铁块所占容器空间的注水时间是几分钟． 4．在一个数学实验活动中。先往一个长方体的容器中注水，水深 4.4厘米（如 下图）；然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，于是水的高度上升到 5.5厘米， 这时刚好有 1 3冰柱浸没在水里，如图。 （1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰化成水，体积减少原来的 1 10 ，这根冰柱融化后将变成多少毫升水？ 【答案】（1）330立方厘米； （2）297毫升 【分析】（1）由题意可知：水面上升了 5.5－4.4＝1.1厘米，且上升的水的体积 等于 1 3冰柱的体积，用长方体容器的底面积×水面上升的高度求出 1 3冰柱的体积， 再乘 3即可得解； （2）将冰柱的体积看成单位“1”，冰化成水体积减少原来的 1 10 ，则化成的水的体 积是冰柱体积的（1－ 1 10 ），求水的体积用冰柱的体积×（1－ 1 10 ）即可。 【详解】（1）10×10×（5.5－4.4） ＝100×1.1 ＝110（立方厘米） 110×3＝330（立方厘米） 答：整根冰柱的体积是整根冰柱的体积是 330立方厘米。 （2）330×（1－ 1 10 ） ＝330× 9 10 第 4 页 共 11 页 ＝297（立方厘米） 297立方厘米＝297毫升 答：这根冰柱融化后将变成 297毫升水。 【点睛】明确“上升的水的体积等于 13冰柱的体积”是解答本题的关键。 5．如图 30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥 内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为 6厘米，底面半径为 3厘米。已知水的流速 是 1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图 30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 【答案】（1）36分钟；（2）见详解 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝ 21 3 πr h，代入公式求出圆锥容器内水的 体积，然后用水的体积除以水的流速，即可求出圆锥内漏完水需要的时间。 （2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的 3倍，所以当圆柱与圆锥的体积 相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的 1 3，据此解答即可。 【详解】（1） 13 ×3.14×3 2×6÷1.57 ＝ 1 3 ×3.14×9×6÷1.57 ＝56.52÷1.57 ＝36（分钟） 答：圆锥内漏完水需要 36分钟。 （2）根据分析得，6× 13＝2（厘米） 所以圆柱容器内水深 2厘米。 作图如下： 第 5 页 共 11 页 【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之 间的关系及应用。 6．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺 寸如图所示（单位：分米）。若用甲容器取水来注满乙容器，至少要注水多少次？ （球体体积： 3 4V r 3  ＝ ） 【答案】8次 【分析】根据球体体积公式，半球形容器的体积： 3 4V r 3  ＝ ÷2，圆锥体积＝底 面积×高÷3，分别计算出两个容器的容积，用半球形容器的容积÷圆锥形容器的 容积即可。 【详解】    3 2 4 2 2 2 1 2 1 3 3                  3 24 1 2 0.5 1 3 3                 4 1 2 0.25 1 3 3             4 1 1 11 1 3 2 4 3                   2 1 3 12    2 12 3   8 （次） 答：至少要注水 8次。 第 6 页 共 11 页 7．如图①，在底面积为 100平方厘米，高为 20厘米的长方体水槽内放一个圆柱 烧杯，以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水 槽为止，此过程中，烧杯本身的质量，体积忽略不计，烧杯在长方体水槽中的位 置始终不改变，水槽中水面上升的高度 h（厘米）与注水时间 t（秒）之间的关 系如图②所示。 （1）图②中，点（ ）表示烧杯中刚好注满水，点（ ）表示水槽中水面恰好 与烧杯中水面平齐。 （2）烧杯的高是（ ）厘米。 （3）烧杯的底面积是多少平方厘米？ （4）注满水槽所用的时间是多少秒？ 图① 图② 【答案】（1）A；B （2）10 （3）20平方厘米 （4）180秒 【分析】（1）烧杯注满水之前水槽中没有水，因此烧杯注满水之前水槽内水的 高度是 0，当水槽内水的高度开始上升时，表示烧杯中刚好注满水；因为烧杯占 据了一定空间，水槽中水面开始上升比较快，即折线坡度较陡，当水槽中水面恰 好与烧杯中水面平齐时，水面上升速度开始下降，即折线坡度变缓，据此分析。 （2）水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时的高度是烧杯的高度。 （3）通过观察图②发现：注满烧杯用 18秒，注满和烧杯同高的水槽用 90秒， 即烧杯的底面积是水槽底面积的 18 90。用水槽的底面积× 18 90即可求出烧杯的底面积。 （4）通过观察图②发现：90秒能注满高度是 10厘米的水槽。先用水槽的底面 积×10求出 90秒注入的水的体积，再用 90秒注入的水的体积÷90求出注水的速 度。 第 7 页 共 11 页 用水槽的底面积×水槽的高求出水槽的容积，再用水槽的容积÷注水的速度求出 注满水槽所用的时间。 【详解】（1）图②中，点 A表示烧杯中刚好注满水，点 B表示水槽中水面恰好 与烧杯中水面平齐。 （2）烧杯的高是 10厘米。 （3）100× 1890＝20（平方厘米） 答：烧杯的底面积是 20平方厘米。 （4）100×10÷90 ＝1000÷90 ＝ 100 9 （立方厘米） 100×20÷1009 ＝2000× 9100 ＝180（秒） 答：注满水槽所用的时间是 180秒。 8．科学课上，李老师与同学们一块做实验。 一个无水的长方体水槽（如图）。有一个水龙头从 9：00开始向水槽内注水，水 的流量为 1200立方厘米/分。9：05关闭水龙头停止流水。接着在水槽内放入一 个高为 9厘米的圆锥铁块，全部浸没于水中。 （1）9：05时水槽的水面高度为多少厘米？ （2）水槽的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。点 的位置表示停 止注水。（从 A、B、C中选择） （3）圆锥铁块的底面积是多少？ 【答案】（1）10厘米 （2）B 第 8 页 共 11 页 （3）400平方厘米 【分析】（1）用每分钟的注水量乘时间等于总的注水量，注水量除以长方体底 面积等于高。 （2）从时间与注水量的变化对应关系可得 B的位置是停止注水点。 （3）圆锥的底面积等于上升水的体积乘 3除以圆锥高。 【详解】（1）1200×5÷（40×15） ＝6000÷600 ＝10（厘米） 答：9：05时水槽的水面高度为 10厘米。 （2）水槽的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。 点 B的位置表示停止注水。 （3）40×15×（12－10）×3÷9 ＝600×2×3÷9 ＝1200×3÷9 ＝3600÷9 ＝400（平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是 400平方厘米。 【点睛】熟悉长方体与圆锥体体积计算公式是解决本题的关键。 9．一个无盖的长方体玻璃缸，长 48厘米，宽 25厘米，高 30厘米，有一个水龙 头从 8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为 8立方分米/分。8：03关闭水管停 止注水，接着在玻璃缸内缓缓放入一个高为 16厘米的圆锥铁块，全部浸没在水 中。玻璃缸的水面高度从注水到放入圆锥铁块的变化情况如图所示。 （1）上图中，点（ ）的位置表示停止注水。（填“A”“B”或“C”） 第 9 页 共 11 页 （2）8：03时玻璃缸水面的高度为多少厘米？ （3）求圆锥铁块的底面积。 【答案】（1）B；（2）20厘米；（3）900平方厘米 【分析】（1）根据图中右半部分，从 B的位置开始，线段的倾斜度开始变化， 代表水面高度上升的速度变化，表示停止注水； （2）先计算出注水的时间，乘水的流速，可得到注水量的体积，再利用长方体 的体积公式：V＝abh，用体积除以玻璃缸的长和宽，即可求出此时玻璃缸水面 的高度。 （3）圆锥铁块全部浸没在水中，水面上升的体积等于圆锥铁块的体积，用玻璃 缸的底面积乘上升的高度，计算出体积后，再利用圆锥的体积公式：V＝ 13 Sh， 可得 S＝V÷ 13 ÷h代入即可求出圆锥铁块的底面积。 【详解】（1）根据分析得，在图中，点 B的位置表示停止注水； （2）注水时间为：8时 3分－8时＝3（分钟） 注水量：3×8＝24（立方分米）＝24000（立方厘米） 24000÷48÷25 ＝500÷25 ＝20（厘米） 答：8：03时玻璃缸水面的高度为 20厘米。 （3）48×25×（24－20） ＝1200×4 ＝4800（立方厘米） 4800÷ 13 ÷16 ＝14400÷16 ＝900（平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是 900平方厘米。 【点睛】此题的解题关键是根据折线统计图的特点，从图中获取数据，灵活运用 长方体和圆锥的体积公式解决问题。 10．在学习圆柱体积公式时，老师会用到下图 1，其中圆柱底面半径为 r，圆柱 第 10 页 共 11 页 的高为 h。 （1）请用字母表示长方体中的长是（ ），宽是（ ），体积是（ ）。 （2）请根据上述解决问题的方法探究出图 2中四棱柱（上、下底面为等腰梯形， 该梯形的上底为 b，下底为 a，高为 h1）的体积公式，请写出你的探究理由（或 画图说明）。 （3）如图 2，a＝20厘米，b＝12厘米， h1＝5厘米，h2＝15厘米往该容器里注 水，水深 13厘米，若将一个底面是正方形且边长为 4厘米，高为 12厘米的长方 体铁块放入水中，此时容器里的水深是多少厘米？ 【答案】（1）πr；r；πr2h （2）V 四棱柱＝ 1 2 （a＋b）h1h2；说明见详解 （3）15厘米 【分析】（1）将圆柱拼插成长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方 体的宽＝圆柱底面半径，长方体的高＝圆柱的高，根据圆周长的一半＝圆周率× 半径，长方体体积＝长×宽×高，据此分别用字母表示出长方体的长、宽和体积 即可。 （2）这个四棱柱也可以拼成一个长方体，拼成的长方体的体积＝四棱柱的体积， 长方体的底面积＝四棱柱的底面积，长方体的高＝四棱柱的高，根据长方体体积 ＝底面积×高，即可推导出四棱柱的体积公式。 （3）根据长方体体积＝底面积×高，求出铁块体积，铁块体积÷容器底面积＋原 来水深＝放入铁块后的水深，与容器的高比较一下，如果大于容器的高，说明水 会溢出，水深最多就是容器的高，据此列式解答。 【详解】（1）长方体中的长是πr，宽是 r，体积是πr2h。 第 11 页 共 11 页 （2）拼成的长方体的底面积： 12 （a＋b）h1 拼成的长方体的高：h2 拼成的长方体的体积公式：V 长方体＝S 底h＝ 1 2 （a＋b）h1h2 这个四棱柱的体积公式：V 四棱柱＝ 1 2 （a＋b）h1h2 （3）4×4×12＝192（立方厘米） 192÷[ 12 ×（20＋12）×5] ＝192÷[ 12 ×32×5] ＝192÷80 ＝2.4（厘米） 2.4＋13＝15.4（厘米） 15.4＞15 答：此时容器里的水深是 15厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，熟悉圆柱体积公式推导过程。 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第一单元专项练习12： 八种问题其八·圆柱圆锥中的注水运动问题 1．一个圆柱体的容器的底部放着一块正方体铅块，现在打开水龙头向容器内注水。15秒时恰好没过铅块的上表面，又过了1分半钟，水注满了容器。若容器的高度是24厘米，铅块高度是6厘米，则容器的底面积是多少平方厘米？ 2．水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器A和B，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器A、B底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器B，如果打开连通管，水管向B容器注水6秒钟后，容器A中水的高度是多少呢？（π取3.14） 3．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器．已知容器的高度是50厘米．长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积与容器底面面积的比等于多少？ 4．在一个数学实验活动中。先往一个长方体的容器中注水，水深4.4厘米（如下图）；然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，于是水的高度上升到5.5厘米，这时刚好有冰柱浸没在水里，如图。 （1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰化成水，体积减少原来的，这根冰柱融化后将变成多少毫升水？ 5．如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 6．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示（单位：分米）。若用甲容器取水来注满乙容器，至少要注水多少次？（球体体积：） 7．如图①，在底面积为100平方厘米，高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量，体积忽略不计，烧杯在长方体水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点（    ）表示烧杯中刚好注满水，点（    ）表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）烧杯的高是（    ）厘米。 （3）烧杯的底面积是多少平方厘米？ （4）注满水槽所用的时间是多少秒？ 图①              图② 8．科学课上，李老师与同学们一块做实验。 一个无水的长方体水槽（如图）。有一个水龙头从9：00开始向水槽内注水，水的流量为1200立方厘米/分。9：05关闭水龙头停止流水。接着在水槽内放入一个高为9厘米的圆锥铁块，全部浸没于水中。 （1）9：05时水槽的水面高度为多少厘米？ （2）水槽的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。点 的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （3）圆锥铁块的底面积是多少？ 9．一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米，有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为8立方分米/分。8：03关闭水管停止注水，接着在玻璃缸内缓缓放入一个高为16厘米的圆锥铁块，全部浸没在水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入圆锥铁块的变化情况如图所示。 （1）上图中，点（    ）的位置表示停止注水。（填“A”“B”或“C”） （2）8：03时玻璃缸水面的高度为多少厘米？ （3）求圆锥铁块的底面积。 10．在学习圆柱体积公式时，老师会用到下图1，其中圆柱底面半径为r，圆柱的高为h。    （1）请用字母表示长方体中的长是（    ），宽是（    ），体积是（    ）。 （2）请根据上述解决问题的方法探究出图2中四棱柱（上、下底面为等腰梯形，该梯形的上底为b，下底为a，高为h1）的体积公式，请写出你的探究理由（或画图说明）。    （3）如图2，a＝20厘米，b＝12厘米， h1＝5厘米，h2＝15厘米往该容器里注水，水深13厘米，若将一个底面是正方形且边长为4厘米，高为12厘米的长方体铁块放入水中，此时容器里的水深是多少厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第一单元专项练习 12： 八种问题其八·圆柱圆锥中的注水运动问题 1．一个圆柱体的容器的底部放着一块正方体铅块，现在打开水龙头向容器内注 水。15秒时恰好没过铅块的上表面，又过了 1分半钟，水注满了容器。若容器 的高度是 24厘米，铅块高度是 6厘米，则容器的底面积是多少平方厘米？ 2．水平桌面上放着高度都为 10厘米的两个圆柱形容器 A和 B，在它们高度的 一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器 A、B底面直径分别为 10厘米和 16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器 B，如果打开连通管，水管 向 B容器注水 6秒钟后，容器 A中水的高度是多少呢？（π取 3.14） 3．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中 注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了 18分钟，水灌满容器．已 知容器的高度是 50厘米．长方体的高度是 20厘米，那么长方体底面积与容器底 面面积的比等于多少？ 第 2 页 共 5 页 4．在一个数学实验活动中。先往一个长方体的容器中注水，水深 4.4厘米（如 下图）；然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，于是水的高度上升到 5.5厘米， 这时刚好有 1 3冰柱浸没在水里，如图。 （1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰化成水，体积减少原来的 1 10 ，这根冰柱融化后将变成多少毫升水？ 5．如图 30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥 内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为 6厘米，底面半径为 3厘米。已知水的流速 是 1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图 30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 第 3 页 共 5 页 6．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺 寸如图所示（单位：分米）。若用甲容器取水来注满乙容器，至少要注水多少次？ （球体体积： 3 4V r 3  ＝ ） 7．如图①，在底面积为 100平方厘米，高为 20厘米的长方体水槽内放一个圆柱 烧杯，以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水 槽为止，此过程中，烧杯本身的质量，体积忽略不计，烧杯在长方体水槽中的位 置始终不改变，水槽中水面上升的高度 h（厘米）与注水时间 t（秒）之间的关 系如图②所示。 （1）图②中，点（ ）表示烧杯中刚好注满水，点（ ）表示水槽中水面恰好 与烧杯中水面平齐。 （2）烧杯的高是（ ）厘米。 （3）烧杯的底面积是多少平方厘米？ （4）注满水槽所用的时间是多少秒？ 图① 图② 第 4 页 共 5 页 8．科学课上，李老师与同学们一块做实验。 一个无水的长方体水槽（如图）。有一个水龙头从 9：00开始向水槽内注水，水 的流量为 1200立方厘米/分。9：05关闭水龙头停止流水。接着在水槽内放入一 个高为 9厘米的圆锥铁块，全部浸没于水中。 （1）9：05时水槽的水面高度为多少厘米？ （2）水槽的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。点 的位置表示停 止注水。（从 A、B、C中选择） （3）圆锥铁块的底面积是多少？ 9．一个无盖的长方体玻璃缸，长 48厘米，宽 25厘米，高 30厘米，有一个水龙 头从 8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为 8立方分米/分。8：03关闭水管停 止注水，接着在玻璃缸内缓缓放入一个高为 16厘米的圆锥铁块，全部浸没在水 中。玻璃缸的水面高度从注水到放入圆锥铁块的变化情况如图所示。 （1）上图中，点（ ）的位置表示停止注水。（填“A”“B”或“C”） （2）8：03时玻璃缸水面的高度为多少厘米？ （3）求圆锥铁块的底面积。 第 5 页 共 5 页 10．在学习圆柱体积公式时，老师会用到下图 1，其中圆柱底面半径为 r，圆柱 的高为 h。 （1）请用字母表示长方体中的长是（ ），宽是（ ），体积是（ ）。 （2）请根据上述解决问题的方法探究出图 2中四棱柱（上、下底面为等腰梯形， 该梯形的上底为 b，下底为 a，高为 h1）的体积公式，请写出你的探究理由（或 画图说明）。 （3）如图 2，a＝20厘米，b＝12厘米， h1＝5厘米，h2＝15厘米往该容器里注 水，水深 13厘米，若将一个底面是正方形且边长为 4厘米，高为 12厘米的长方 体铁块放入水中，此时容器里的水深是多少厘米？ 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第一单元专项练习12： 八种问题其八·圆柱圆锥中的注水运动问题 1．一个圆柱体的容器的底部放着一块正方体铅块，现在打开水龙头向容器内注水。15秒时恰好没过铅块的上表面，又过了1分半钟，水注满了容器。若容器的高度是24厘米，铅块高度是6厘米，则容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】72平方厘米 【分析】根据题意可知，水龙头往容器内的每秒钟的注水量是一定的，因此可得到等量关系式：15秒钟的注水量÷15秒＝1分半钟的注水量÷1分半钟，已知正方体的高度是6厘米，容器内注入与正方体等高的水用15秒钟，此时的注水高度是6厘米，注水底面积是容器的底面积减去正方体的底面积，用底面积乘高可得到此时的注水量；又过了1分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（24－6）厘米，注水底面积是即是圆柱的底面积，因此可设圆柱的底面积是x平方厘米，把未知数代入等量关系式进行解答即可得到答案。 【详解】解：设容器底面积为x平方厘米。 6（x－6²）÷15＝（24－6）x÷90 6（x－6²）÷15×90＝（24－6）x÷90×90 6（x－6²）×6＝18x 36x－1296＝18x 18x÷18＝1296÷18 x＝72 答：容器的底面积是72平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是利用圆柱的体积公式V＝sh确定两次分别注入的水量，然后再利用每秒钟的注水量相等进行解答即可 2．水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器A和B，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器A、B底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器B，如果打开连通管，水管向B容器注水6秒钟后，容器A中水的高度是多少呢？（π取3.14） 【答案】2.56厘米 【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出B容器的容积是：3.14×（16÷2）2×10＝2009.6（立方厘米），A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2＝78.5（平方厘米），5秒钟后B中的水流到A容器了，用流到A容器中水的体积除以A容器的底面积，即为容器A中水的高度，据此解答即可。 【详解】B容器的容积是：：3.14×（16÷2）2×10＝3.14×64×10＝2009.6（立方厘米） A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 流到A容器的体积是：2009.6×＝2009.6×＝200.96（立方厘米） 容器A中水的高度是：200.96÷78.5＝2.56（厘米） 答：容器A中水的高度是2.56厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答本题的关键是求出流到A容器中水的体积。 3．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器．已知容器的高度是50厘米．长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积与容器底面面积的比等于多少？ 【答案】3：4 【详解】已知长方体的高度是20厘米，容器内注入与长方体等高的水用3分钟，又过了18分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（50-20）厘米；这样就可以求出两次注水所用时间的比．由于长方体占据了圆柱体容器的部分空间，由此可以推导出长方体底面积与容器底面积的比． 解：注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20：30=2：3． 注20厘米的水的时间为18×2 3 =12（分），这说明注入长方体铁块所占空间的水要用时间为12-3=9（分）． 已知长方体铁块高为20厘米，因此它们底的面积比等于它们的体积之比，而它们的体积比等于所注入时间之比，故长方形底面面积：容器底面面积=9：12=3：4． 答：长方体底面积与容器底面面积的比是3：4． 考点：长方体、正方体表面积． 点评：1、求出两次注水时间的比． 2、再求出长方体铁块所占容器空间的注水时间是几分钟． 4．在一个数学实验活动中。先往一个长方体的容器中注水，水深4.4厘米（如下图）；然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，于是水的高度上升到5.5厘米，这时刚好有冰柱浸没在水里，如图。 （1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？ （2）已知冰化成水，体积减少原来的，这根冰柱融化后将变成多少毫升水？ 【答案】（1）330立方厘米； （2）297毫升 【分析】（1）由题意可知：水面上升了5.5－4.4＝1.1厘米，且上升的水的体积等于冰柱的体积，用长方体容器的底面积×水面上升的高度求出冰柱的体积，再乘3即可得解； （2）将冰柱的体积看成单位“1”，冰化成水体积减少原来的，则化成的水的体积是冰柱体积的（1－），求水的体积用冰柱的体积×（1－）即可。 【详解】（1）10×10×（5.5－4.4） ＝100×1.1 ＝110（立方厘米） 110×3＝330（立方厘米） 答：整根冰柱的体积是整根冰柱的体积是330立方厘米。 （2）330×（1－） ＝330× ＝297（立方厘米） 297立方厘米＝297毫升 答：这根冰柱融化后将变成297毫升水。 【点睛】明确“上升的水的体积等于冰柱的体积”是解答本题的关键。 5．如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。 （1）圆锥内漏完水需要多少时间？ （2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。 【答案】（1）36分钟；（2）见详解 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝，代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后用水的体积除以水的流速，即可求出圆锥内漏完水需要的时间。 （2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。 【详解】（1）×3.14×32×6÷1.57 ＝×3.14×9×6÷1.57 ＝56.52÷1.57 ＝36（分钟） 答：圆锥内漏完水需要36分钟。 （2）根据分析得，6×＝2（厘米） 所以圆柱容器内水深2厘米。 作图如下： 【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。 6．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示（单位：分米）。若用甲容器取水来注满乙容器，至少要注水多少次？（球体体积：） 【答案】8次 【分析】根据球体体积公式，半球形容器的体积：÷2，圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出两个容器的容积，用半球形容器的容积÷圆锥形容器的容积即可。 【详解】 （次） 答：至少要注水8次。 7．如图①，在底面积为100平方厘米，高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量，体积忽略不计，烧杯在长方体水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点（    ）表示烧杯中刚好注满水，点（    ）表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）烧杯的高是（    ）厘米。 （3）烧杯的底面积是多少平方厘米？ （4）注满水槽所用的时间是多少秒？ 图①              图② 【答案】（1）A；B （2）10 （3）20平方厘米 （4）180秒 【分析】（1）烧杯注满水之前水槽中没有水，因此烧杯注满水之前水槽内水的高度是0，当水槽内水的高度开始上升时，表示烧杯中刚好注满水；因为烧杯占据了一定空间，水槽中水面开始上升比较快，即折线坡度较陡，当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，水面上升速度开始下降，即折线坡度变缓，据此分析。 （2）水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时的高度是烧杯的高度。 （3）通过观察图②发现：注满烧杯用18秒，注满和烧杯同高的水槽用90秒，即烧杯的底面积是水槽底面积的。用水槽的底面积×即可求出烧杯的底面积。 （4）通过观察图②发现：90秒能注满高度是10厘米的水槽。先用水槽的底面积×10求出90秒注入的水的体积，再用90秒注入的水的体积÷90求出注水的速度。 用水槽的底面积×水槽的高求出水槽的容积，再用水槽的容积÷注水的速度求出注满水槽所用的时间。 【详解】（1）图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）烧杯的高是10厘米。 （3）100×＝20（平方厘米） 答：烧杯的底面积是20平方厘米。 （4）100×10÷90 ＝1000÷90 ＝（立方厘米） 100×20÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：注满水槽所用的时间是180秒。 8．科学课上，李老师与同学们一块做实验。 一个无水的长方体水槽（如图）。有一个水龙头从9：00开始向水槽内注水，水的流量为1200立方厘米/分。9：05关闭水龙头停止流水。接着在水槽内放入一个高为9厘米的圆锥铁块，全部浸没于水中。 （1）9：05时水槽的水面高度为多少厘米？ （2）水槽的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。点 的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择） （3）圆锥铁块的底面积是多少？ 【答案】（1）10厘米 （2）B （3）400平方厘米 【分析】（1）用每分钟的注水量乘时间等于总的注水量，注水量除以长方体底面积等于高。 （2）从时间与注水量的变化对应关系可得B的位置是停止注水点。 （3）圆锥的底面积等于上升水的体积乘3除以圆锥高。 【详解】（1）1200×5÷（40×15） ＝6000÷600 ＝10（厘米） 答：9：05时水槽的水面高度为10厘米。 （2）水槽的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。 点B的位置表示停止注水。 （3）40×15×（12－10）×3÷9 ＝600×2×3÷9 ＝1200×3÷9 ＝3600÷9 ＝400（平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是400平方厘米。 【点睛】熟悉长方体与圆锥体体积计算公式是解决本题的关键。 9．一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米，有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为8立方分米/分。8：03关闭水管停止注水，接着在玻璃缸内缓缓放入一个高为16厘米的圆锥铁块，全部浸没在水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入圆锥铁块的变化情况如图所示。 （1）上图中，点（    ）的位置表示停止注水。（填“A”“B”或“C”） （2）8：03时玻璃缸水面的高度为多少厘米？ （3）求圆锥铁块的底面积。 【答案】（1）B；（2）20厘米；（3）900平方厘米 【分析】（1）根据图中右半部分，从B的位置开始，线段的倾斜度开始变化，代表水面高度上升的速度变化，表示停止注水； （2）先计算出注水的时间，乘水的流速，可得到注水量的体积，再利用长方体的体积公式：V＝abh，用体积除以玻璃缸的长和宽，即可求出此时玻璃缸水面的高度。 （3）圆锥铁块全部浸没在水中，水面上升的体积等于圆锥铁块的体积，用玻璃缸的底面积乘上升的高度，计算出体积后，再利用圆锥的体积公式：V＝Sh，可得S＝V÷÷h代入即可求出圆锥铁块的底面积。 【详解】（1）根据分析得，在图中，点B的位置表示停止注水； （2）注水时间为：8时3分－8时＝3（分钟） 注水量：3×8＝24（立方分米）＝24000（立方厘米） 24000÷48÷25 ＝500÷25 ＝20（厘米） 答：8：03时玻璃缸水面的高度为20厘米。 （3）48×25×（24－20） ＝1200×4 ＝4800（立方厘米） 4800÷÷16 ＝14400÷16 ＝900（平方厘米） 答：圆锥铁块的底面积是900平方厘米。 【点睛】此题的解题关键是根据折线统计图的特点，从图中获取数据，灵活运用长方体和圆锥的体积公式解决问题。 10．在学习圆柱体积公式时，老师会用到下图1，其中圆柱底面半径为r，圆柱的高为h。    （1）请用字母表示长方体中的长是（    ），宽是（    ），体积是（    ）。 （2）请根据上述解决问题的方法探究出图2中四棱柱（上、下底面为等腰梯形，该梯形的上底为b，下底为a，高为h1）的体积公式，请写出你的探究理由（或画图说明）。    （3）如图2，a＝20厘米，b＝12厘米， h1＝5厘米，h2＝15厘米往该容器里注水，水深13厘米，若将一个底面是正方形且边长为4厘米，高为12厘米的长方体铁块放入水中，此时容器里的水深是多少厘米？ 【答案】（1）πr；r；πr2h （2）V四棱柱＝（a＋b）h1h2；说明见详解 （3）15厘米 【分析】（1）将圆柱拼插成长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱底面半径，长方体的高＝圆柱的高，根据圆周长的一半＝圆周率×半径，长方体体积＝长×宽×高，据此分别用字母表示出长方体的长、宽和体积即可。 （2）这个四棱柱也可以拼成一个长方体，拼成的长方体的体积＝四棱柱的体积，长方体的底面积＝四棱柱的底面积，长方体的高＝四棱柱的高，根据长方体体积＝底面积×高，即可推导出四棱柱的体积公式。 （3）根据长方体体积＝底面积×高，求出铁块体积，铁块体积÷容器底面积＋原来水深＝放入铁块后的水深，与容器的高比较一下，如果大于容器的高，说明水会溢出，水深最多就是容器的高，据此列式解答。 【详解】（1）长方体中的长是πr，宽是r，体积是πr2h。 （2）拼成的长方体的底面积：（a＋b）h1 拼成的长方体的高：h2 拼成的长方体的体积公式：V长方体＝S底h＝（a＋b）h1h2 这个四棱柱的体积公式：V四棱柱＝（a＋b）h1h2 （3）4×4×12＝192（立方厘米） 192÷[×（20＋12）×5] ＝192÷[×32×5] ＝192÷80 ＝2.4（厘米） 2.4＋13＝15.4（厘米） 15.4＞15 答：此时容器里的水深是15厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，熟悉圆柱体积公式推导过程。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$