第9章 中心对称图形——平行四边形 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第9章 中心对称图形——平行四边形 单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第9章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题； 故选： D． 2．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．首先根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得x、y的值，进而得到答案． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 3．如图，绕点A逆时针旋转得到，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得到旋转角即可求解． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，于点E，于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及四边形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．根据四边形内角和可得的度数，再根据平行四边形的性质即可得的度数． 【详解】解：，， ， ∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． 故选C． 5．如图，在菱形中，，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， 故选：D． 6．用反证法证明真命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（   ） A．四边形中至多有一个角是钝角或直角 B．四边形中至少有两个角是钝角或直角 C．四边形中四个角都是钝角或直角 D．四边形中没有一个角是钝角或直角 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，熟练掌握反证法证明中的假设是解题的关键．在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可解答． 【详解】解：用反证法证明真命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设“四边形中没有一个角是钝角或直角”． 故选：D． 7．大家都折过纸玩吗？如图所示，把矩形纸片沿折叠，使点恰好落在处，已知，，的长为（    ） A．3 B．4 C．17 D．5 【答案】D 【分析】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键．由矩形的性质得，，，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得的长是，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， 由折叠得， ， ， ，且，， ， 解得， 的长是， 故选：D． 8．如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等，构造全等三角形是解题的关键．由四边形是正方形得，，，再将绕点逆时针旋转得到，在上取一点，使，根据旋转的性质及证明，然后根据全等三角形的性质判断①②③；再证明，可得，，，然后说明，最后根据全等三角形的面积相等判断④即可． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，，． 将绕点逆时针旋转得到，则共线，在上取一点，使．    根据旋转的性质可知，，． ∵，， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∴， ∴的周长． 故①②③正确； ∵，，， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 所以④不正确． 正确的有①②③． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．如图所示的图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 【答案】 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转4次所组成， 故绕其中心至少旋转度后能与原图案完全重合． 故答案为：． 10．如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的判定，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可添加条件． 【详解】解：添加条件，则可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    【答案】120 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质， 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 故答案为：120． 12．菱形的两条对角线分别长、，则这个菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用菱形的性质求面积，熟练掌握菱形的对角线互相垂直的性质是解题的关键． 根据菱形面积的计算公式“菱形的面积等于对角线乘积的一半”解答即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线互相垂直， ∴菱形的面积等于对角线乘积的一半， 则这个菱形的面积为， 故答案为：． 13．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确识图，灵活运用所学知识解决问题．根据七巧板的特点和平行四边形及等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为， ∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为， ∴平行四边形的边长为， ∴正方形的边长为， 故答案为： 14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，过点B作于点D，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的解析式求得的坐标，过点D作轴于点F，过点B作于点E，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示， ， 过点D作轴于点F，过点B作于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 直线分别与x轴，y轴相交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的性质与判定． 15．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．过点C作于点E，连接，证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，由面积求得，当M运动到E位置时，，取得最小值，得的最小值为． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点E， ∵于点P，于点Q， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当M运动到E位置时，，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 16．如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 ． 【答案】 【分析】过作于点，过作于点，根据等腰三角形的性质可得，又四边形是正方形，可得，，通过同角的余角相等得，即可证明，根据性质得，过作交于点，设与交于点，再证明，则，由勾股定理得出，最后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过作交于点， ∴， ∴， ∴， 设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，同角的余角相等，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．    (1)画出关于轴对称的（点，，分别为，，的对应点）； (2)将绕原点逆时针旋转得到，画出（点，，分别为，，的对应点）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求．    【点睛】本题考查作图—旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，轴对称变换的性质． 18．正方形的花坛内准备种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴，把图3补成只是中心对称图形，并把对称中心标上字母．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．） 【答案】作图见详解 【分析】轴对称，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称．中心对称，是指如果一个图形绕着一个点旋转180度后，所得的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心．根据定义即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求图形． 第一个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴为图中虚线的位置，有条对称轴，任意取一条均为对称轴，对称中心是条对称轴的交点，即点位置； 第二个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴为图中虚线的位置，有条对称轴，任意取一条均为对称轴，对称中心是条对称轴的交点，即点位置； 第三个图形是中心对称图形，对称中心是点的位置． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的绘制，中心对称图形的绘制，理解轴对称、中心对称的定义是解题的关键 19．如图，在中，，分别是，边上的中点，连接、、． 求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】要证四边形是平行四边形，易证出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出． 【详解】证明：在平行四边形中，，， 又，， ，． 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 20．如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)10 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质得到，推出，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据已知条件且结合勾股定理得到，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴ ∴ 平分， ∴ ∴ 四边形是菱形； （2）解：在菱形中，，， ，，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 21．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理， （1），根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2），根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案. 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴. ∵， ∴. ∵四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴． 22．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质、勾股定理、三角形全等的判断和性质等知识点，是正确做出辅助线、构成全等三角形是解题的关键． （1）如图：过点E作于点Q，作于点P，证明得到，可说明为菱形，根据，即可证明结论； （2）根据正方形性质得出，，，根据勾股定理求出，再证明可得、，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图：过点E作于点Q，作于点P，则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为菱形， ∵， ∴四边形为正方形． （2）解：如图：连接， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∴． 23．如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． (1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； (2)在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10； (3)在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； (4)在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 (4)画图见解析 【分析】（1）利用网格特点画一个面积为的平行四边形即可； （2）利用网格特点画以为对称轴的两个全等三角形，且两个三角形的面积和为即可； （3）利用网格特点画一个四边不相等，且面积为的四边形即可； （4）利用网格特点画一个边长为的正方形即可； 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，， ∴四边形即为所求． （2）解：如图，四边形即为所求； 理由：连接， ∵，， 而， ∴，， ∴四边形即为所求； （3）解：如图，四边形即为所求； 理由：由勾股定理可得：， ， ∴四边形即为所求； （4）解：如图，四边形即为所求； 理由：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，， ∴四边形即为所求． 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，图形面积的计算，掌握基础图形的性质是解本题的关键． 24．【特例分析】 （1）如图1，中，，点，分别为，的中点，，相交于点，，分别为，的中点，连接，，，，请判断：四边形的形状为_______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点为上方平面内一点，为一般三角形，（1）中的结论是否变化？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下， ①当_______时，四边形为矩形 ②在①的条件下，当_______时，四边形为正方形； ③当_______时，四边形为菱形． 【答案】（1）平行四边形，（2）不变，理由见解析，（3）①；②；③ 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，三角形中位线定理，熟练掌握四边形的判定和性质是解题的关键； （1）根据三角形中位线定理，平行四边形的判定即可求解； （2）根据三角形中位线定理即可得出结论； （3）根据四边形的判定即可求解； 【详解】（1）解：点，分别为，的中点， ， ， ，分别为，的中点， ，， ，， 四边形的形状为平行四边形； （2）若点为上方平面内一点，为一般三角形， 根据三角形中位线定理，可得，， 故四边形的形状为平行四边形； 结论不变； （3）①四边形为平行四边形， 对角线相等的平行四边形是矩形； 当时，此时四边形为矩形； ②根据对角线互相垂直的矩形是正方形， 可得当，四边形为正方形； ③根据邻边相等的平行四边形是菱形， 当时，四边形为菱形． 25．小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】，；【问题解决】（1）13，40；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 中心对称图形——平行四边形 单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第9章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C． D．8 3．如图，绕点A逆时针旋转得到，若，则（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，于点E，于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，，则（） A． B． C． D． 6．用反证法证明真命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（   ） A．四边形中至多有一个角是钝角或直角 B．四边形中至少有两个角是钝角或直角 C．四边形中四个角都是钝角或直角 D．四边形中没有一个角是钝角或直角 7．大家都折过纸玩吗？如图所示，把矩形纸片沿折叠，使点恰好落在处，已知，，的长为（    ） A．3 B．4 C．17 D．5 8．如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，，连接交于点，交于点．下列结论：①；②的周长为；③；④．正确的有（    ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．如图所示的图案绕其中心至少旋转 度后能与原图案完全重合． 10．如图，四边形是平行四边形，对角线与交于点，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是： ．（写出一个即可） 11．如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    12．菱形的两条对角线分别长、，则这个菱形的面积是 ． 13．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，过点B作于点D，则点D的坐标为 ． 15．如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为 ． 16．如图，把正方形的对角线绕着顶点旋转到，以为一边作正方形，过，作直线，过作，垂足为，连接，则的值是 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．    (1)画出关于轴对称的（点，，分别为，，的对应点）； (2)将绕原点逆时针旋转得到，画出（点，，分别为，，的对应点）． 18．正方形的花坛内准备种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴，把图3补成只是中心对称图形，并把对称中心标上字母．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．） 19．如图，在中，，分别是，边上的中点，连接、、． 求证：四边形是平行四边形．    20．如图，平行四边形的对角线、相交于点，平分，过点作，过点作，、交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 21．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于F，若，，求的长． 22．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以，为邻边作平行四边形，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)连接，若，，求的长． 23．如图方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上． (1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8； (2)在图2中画：是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10； (3)在图3中画：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10； (4)在图4中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10． 24．【特例分析】 （1）如图1，中，，点，分别为，的中点，，相交于点，，分别为，的中点，连接，，，，请判断：四边形的形状为_______； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点为上方平面内一点，为一般三角形，（1）中的结论是否变化？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下， ①当_______时，四边形为矩形 ②在①的条件下，当_______时，四边形为正方形； ③当_______时，四边形为菱形． 25．小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$