几何体内切球问题专项训练-2025届高三数学二轮复习

几何体内切球问题 ①内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径) ②对称的几何体考虑使用截面法 1． 已知圆锥的底面半径为6，侧面积为，则该圆锥的内切球（圆锥的侧面和底面都与球相切）的体积为 ． 2．如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的交点，平面，，则四棱锥的内切球的体积为（    ）    A． B． C． D． 3，（永州市2025届二模）正三棱台上下底边长分别为6，18，该正三棱台内有一个内切球，求正三棱台的高 ． 4，已知圆台上、下两底面与侧面都与球相切，圆台的侧面积为，则该圆台上、下两个底面圆的周长之和为 ． 5，一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的体积为 6．各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为 能力提升 7，（2024·四川德阳·模拟预测）圆锥的表面积为，其内切球的表面积为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2020·湖北武汉·模拟预测）已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为 9．（23-24高二下·北京海淀·期末）边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 1，【详解】作轴截面图如图，设截面的圆心为， 由已知，，，则，， 在中，． 设内切球半径为，由等面积法，, 所以， 得， 所以内切球体积． 故答案为：. 2，【详解】因为四边形为菱形，，所以是正三角形， 则. 因为平面平面，所以. 设，则，. 在中，由， 可得，解得， 所以. 因为为的中点，，所以.又，， 所以，同理可证，， 所以. 设四棱锥的内切球的半径为，则， 所以， 所以四棱锥的内切球的体积， 故选：C. 3，如左图所示作截面,得到右图,由勾股定理可得高为６ 4，【详解】 设圆台上底面半径为，下底面半径为，圆台的轴截面如图所示， 则圆台的母线长为，圆台的侧面积：， ， 上下两个底面的周长之和为. 故答案为：． 5，【详解】设球的半径为， 则由球的体积，∴， ∴正三棱柱的高. 设正三棱柱的底面边长为， ∵球的半径等于底面正三角形内切圆半径， ，， ∴底面正三角形的面积. ∴正三棱柱的体积. 6，【详解】易知正四面体的内切球球心与外接球球心重合， 设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，四面体各面面积为S， 则由四面体的体积得， 所以四面体的内切球和外接球的体积之比为， 故选:A. 7，【答案】B 【分析】选择（角）与内切球半径为变量，可表示出圆锥底面半径和母线，由圆锥和球的表面积公式可得，再由换元，转化为求解二次函数值域，进而得的取值范围. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内切球半径为， 如图作出圆锥的轴截面，其中设为外接圆圆心，为切点，为圆锥母线， 连接. 设，，. ，，，又， ，， ， 则圆锥表面积，圆锥内切球表面积， 所求比值为， 令，则， 则，且当时，取得最大值， 故，即的取值范围是. 故选：B. 8，【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到的最大值． 【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球 设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：则，因为，故可得：；所以为等边三角形，故是的中心，连接，则平分，所以；所以，即， 即四面体的外接球的半径为． 另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球， 所以，所以．即的最大值为． 9，【分析】作图，根据二面角的定义，余弦定理，可得是两腰为1，底边为的等腰三角形，从而可得旋转体为两个同底面的圆锥组合体，将该旋转体的内切球的半径再转化为其轴截面菱形的内切圆的半径，最后根据等面积求出，即可得到该旋转体的内切球的表面积. 【详解】由边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角， 则可得，，，，平面平面， 又平面平面，平面，平面，又为的中点，为的中点，为的中点，则可得,,过作于点，连接， 则，平面，又平面， 又，，，, ， 在中，，又， ，将绕直线旋转一周得到一个旋转体为两个同底面的圆锥组合体，作出其轴截面，如图，则该轴截面中和为边长为1的等边三角形，该旋转体的内切球的半径即为菱形的内切圆的半径，由等面积法，则，即，则， 因此该旋转体的内切球的表面积为.故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $$