第16章 二次根式单元检测卷（拔尖篇）2024-2025学年人教版数学八年级下册

第16章 二次根式单元检测卷 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D．2b 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，根据实数a和b在数轴上的位置得出，，，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故选A． 2．计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，首先利用同底数幂的乘法逆运算，再利用积的乘方的逆运算法则变形为，根据平方差公式可得：原式，再根据乘方的定义进行计算可得结果． 【详解】解： 故选： D． 3．已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，即可求解； 【详解】解： ， ， ； 故答案为：B 4．若，，则a与b的大小关系是（    ） A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定 【答案】B 【分析】先利用二次根式的混合运算化简a和b，再根据二次根式的估算比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 5．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 6．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案． 【详解】解：∵+是整数，m、n是正整数， ∴m=2，n=5或m=8，n=20， 当m=2，n=5时，原式=2是整数； 当m=8，n=20时，原式=1是整数； 即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20）， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算，估算无理数的大小的应用，题目比较好，有一定的难度． 7．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用分母有理化进行计算即可. 【详解】由原式得： 所以，因为，, 所以. 故选C 【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化. 8．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数， ∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a只能等于0，代入等式得 =0， 所以有x=-y， 即：y=-x， 由于x，y，a是两两不同的实数， ∴x＞0，y＜0． 将x=-y代入原式得： 原式=． 故选B． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键． 9．若化简-的结果为5-2x，则x的取值范围是（ ） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 【答案】B 【分析】根据完全平方公式和=|a|,先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可． 【详解】解：原式=-=|x-4|-|1-x|， 当x≤1时， 此时1-x≥0，x-4＜0， ∴（4-x）-（1-x）=3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1-x≤0，x-4≤0， ∴（4-x）-（x-1）=5-2x，符合题意， 当x≥4时， 此时x-4≥0，1-x＜0， ∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意， ∴x的取值范围为：1≤x≤4 故选B． 【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论． 10．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99． 【详解】∵ = =， ∴S=+++ …+ = = =100-， ∴不大于S的最大整数为99． 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．当时， ；若，则 ． 【答案】 1或2 【分析】此题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质进行化简和求值即可． 【详解】解：当时，， 若，则或， 解得，1或2， 故答案为：，1或2 12．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 13．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意、理解材料中提供的公式是解题的关键． 根据a、b、c的值求得，然后将其代入三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．实数、、满足条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于的形式，从而可以分别求出、、的值，即可求解． 【详解】将题中等式移项并将等号两边同乘4得 ， ， ， ，，， ，，， ． 故答案为：． 15．当时，多项式的值为 【答案】 【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 16．若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，得出,符合题意，代入验证即可求解． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵正整数是“阿二数” ∴能被整除 ∴能被13整除， 设 ∵是正整数，则是9的倍数， ∴,符合题意， ∵是有理数 ∴是平方数， 当，时，符合题意， ∴ 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，二元一次方程组的应用，根据题意分析，掌握整除的应用解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握二次根式的性质，运算法则，以及掌握平方差公式，和完全平方公式进行计算是解题关键． （1）先分母有理化，再进行减法计算； （2）先利用完全平方公式展开，再合并，再利用二次公式的性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 【答案】(1)a：；b： (2) (3) 【分析】（1）参照③式，④式，进行计算即可解答； （2）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：a：参照③式得， 故答案为：； b：参照④式得， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（6分）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2023 【分析】（1）由①②③的规律写出式子即可； （2）根据题目中的规律计算即可得到结论． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． （2）解：① ； ② ； ③ ， ，…… ， 故． 故不超过的最大整数是2023． 20．（8分）【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质： （1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值2. 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. ∴， ∴， ∴的最小值为． 21．（8分）阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： (1)=______； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）仿照题目给定的方法解答即可； （2）设，结合，解答即可． 本题考查了分母有理化，平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， 解得． 故． 22．（9分）读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 【答案】(1)； (2)6 【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根据表格数据发现的规律是关键． （1）根据表格中的数据确定出，的值即可； （2）根据表格中数据得出，代入不等式计算可得的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格中的数据得：； ， ∴, 故答案为：；． （2）解：， ， ， 又 ， ∴ 解得：， 可以取得最小正整数是6, 故答案为：6． 23．（9分）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 24．（10分）若三个实数x，y，z满足，且，则有：． 例如：．请解决下列问题： (1)求的值． (2)设，求的整数部分． (3)已知（，），且，当取得最小值时，求的取值． 【答案】(1)； (2)整数部分为2019； (3)． 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将原式进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为 ，再根据 取最小值时，确定的取值范围． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 故整数部分为2019； （3）解：由题意得， ， ， 又， 原式 ， 因为 取最小值， 所以 ，而， 因此，， 答：的取值范围为． 【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算． 25．（10分）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用凑平方差公式的方法找根式的有理化因式； （2）利用有理化因式变形，再计算即可； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积求高即可；②将等式左边变形，得到，再根据有理系数和无理系数分别相等，可得方程，解之可得a，b值． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴的有理化因式为； 故答案为：． （2） ； （3）①过点分别作边、、的垂线段、、，     中，与的角平分线相交于点， 线段， ， 的周长为，面积为3， ， 解得， 即点P到边的距离为； ② ∴，解得：． 【点睛】本题考查了因式分解、分母有理化、二次根式的混合运算、角平分线的性质，知识点较多，能够灵活运用，熟练掌握题干中涉及的定义是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式单元检测卷 【人教版】 考试时间：90分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D．2b 2．计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 3．已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 4．若，，则a与b的大小关系是（    ） A．a>b B．a<b C．a=b D．不能确定 5．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 6．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　） A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是 7．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 8．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 9．若化简-的结果为5-2x，则x的取值范围是（ ） A．为任意实数 B．1≤x≤4 C．x≥1 D．x≤4 10．设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A．98 B．99 C．100 D．101 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．当时， ；若，则 ． 12．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 13．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦－秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在中，所对的边分别记为a、b、c，若，则的面积为 ． 14．实数、、满足条件，则的值是 ． 15．当时，多项式的值为 16．若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17．（6分）化简： (1)； (2)． 18．（6分）在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 19．（6分）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设，求不超过的最大整数是多少？ 20．（8分）【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 21．（8分）阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： (1)=______； (2)已知，求的值． 22．（9分）读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 23．（9分）材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 24．（10分）若三个实数x，y，z满足，且，则有：． 例如：．请解决下列问题： (1)求的值． (2)设，求的整数部分． (3)已知（，），且，当取得最小值时，求的取值． 25．（10分）【阅读材料】 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与，与，与⋯，等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． (1)的有理化因式为 ； (2)化简：； (3)①如图，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，则点P到边的距离为 ．    ②已知有理数a、b满足，求a、b的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$