数学（全国通用）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

2025年中考第一次模拟考试（全国通用） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C C D B A A C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13． 14．108 15．或 16． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【详解】解：原式（6分） ．（8分） 18．【详解】解：依题意，，且为整数，又，则，（2分） ；（7分） 当，时，原式．（8分） 19．【详解】（1）解：本次抽取的学生人数为：（人； ， 故答案为：50，30；（2分） （2）解：组人数为：（人， 补全条形统计图如下： （4分） （3）解：；（6分） （4）解： （人，（8分） 估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有500人． 20．【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，， ；（2分） （2）解：过点D作，交延长线于点H， ， ， ，（4分） 设，则， 在中， ， ， 解得：，（6分） ， ， 四边形是矩形， ， ， 答：慈氏塔的高度为．（8分） 21．【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵D 是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线；（4分） （2）解：在 中，∵，， ∴，， 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴的半径为5， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得．（8分） 22．【详解】（1）解：设甲快递公司每千克的运费为元，乙快递公司每千克的运费为元， 则，解得， 即甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元．（4分） （2）解：设生产量千克时，获得的利润为元， ①由题意得：， 解得， ， ∴，即当日生产5千克时，盈利为180元． ②当时，利润， 即当时，利润最大，最大利润为196元， 当时，利润， ∴随x的增大而减小， 即时，元， ， 则每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．（6分） 23．【详解】解：（1）四边形为菱形．理由如下： ∵四边形为菱形， ∴， ∵将菱形沿折叠，点的对应点与点重合， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形；（3分） （2）如下图，过点作于点，    ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 解得， ∴；（7分） （3）如下图，过点作，交延长线于点，    ∵点为的一个三等分点，且， ∴，， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴在中，， ， 设，则，， 由折叠的性质可得，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴．（10分） 24．【详解】（1）解：点是一次函数的图象上的“梅岭点”， ， ， ， 解得：； 点是函数的图象上的“梅岭点”， ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，，是此方程的根； 或； 故答案：；或．（4分） （2）解：点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”， 二次函数与直线有唯一的交点， 方程的根为：， 即：， ， 解得：， 二次函数的表达式．（7分） （3）解：二次函数的图象过点， ， ， 图象上存在两个不同的“梅岭点”，， ，， ，， 、是方程的根， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， 或， 或， ， 或， 解得：或， ， ， ， ， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，， ．（12分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图．数轴上的点A、B分别表示实数a、b、则（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，是真命题的是（    ） A．若 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．平行四边形是中心对称图形 D．在中，若，则是直角三角形 5．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   6．如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 7．某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（  ）． A． B． C． D． 9．如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则（   ） A．3 B． C． D． 10．如图是二次函数图象的一部分，且经过点，对称轴是直线，给出下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则．其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．比较大小： （填“”“”或“”）． 13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为 ． 14．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 15．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 16．如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是 ． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    19．（8分）劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的学生人数为________人，扇形统计图中的值为________； (2)补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数） (3)请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数； (4)已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ 20．（8分）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离； (2)求慈氏塔的高度． 21．（8分）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，，求的长． 22．（10分）牧民在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由牧民付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式经过核算发现客户订购相同重量的奶食品，选择甲快递公司需付费30元，选择乙快递公司需付费50元．已知每千克货物甲快递公司运费比乙快递公司运费少4元． (1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； (2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，牧民当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 23．（10分）问题情境： 在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点分别是边上的点，将菱形沿折叠． 猜想证明： （1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决： （2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上的点处，若，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，求的面积（用含的式子表示）． 24．（12分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”． (1)若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则________；若点是函数的图象上的“梅岭点”，则________； (2)若点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式； (3)若二次函数是常数，的图象过点，且图象上存在两个不同的“梅岭点”，，且满足，，如果，求的取值范围． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（全国通用） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：数据27600000用科学记数法表示为， 故选：C． 2．如图．数轴上的点A、B分别表示实数a、b、则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴表示数的方法得到，，根据有理数的加减法、乘法和除法进行分析解答即可 【详解】解：由数轴可知：， A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D正确； 故选：D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 4．下列命题中，是真命题的是（    ） A．若 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．平行四边形是中心对称图形 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行四边形的性质，正方形的判定，中垂线的判定，三角形的内角和定理以及三角形的分类，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当c为负数时，a＞b，故原命题为假命题； B、对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形，故原命题为假命题； C、平行四边形是中心对称图形，故原命题为真命题； D、在中，若，则，故是锐角三角形，故原命题为真命题； 故选C． 5．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即    故选：D． 6．如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列举法求概率；由题意可知有235、253、325、352、523、532，共6种可能，然后问题可求解． 【详解】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为； 故选：B． 7．某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为实际每天种植比原计划多，设原计划每天植树万棵，则实际每天种植棵，直接利用种植树木提前5天完成任务，表示出所有时间即可得出等式．此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键． 【详解】解：设原计划每天植树万棵， 依题意可列方程是：． 故选：A． 8．如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求出，利用矩形的性质得到，求出，进而求出，即可得到点B的坐标． 【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴在中， ， ∴在中， ， ∴在中， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∵点B在第二象限， ∴点B的坐标为: 故选：A． 9．如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，含30度角直角三角形特征，等腰三角形的判定与性质，由圆周角定理得到，由，求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故选：C． 10．如图是二次函数图象的一部分，且经过点，对称轴是直线，给出下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则．其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系： ①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与轴交点位置求得、、的符号即可判断； ②根据二次函数的对称性即可判断； ③求得点关于直线的对称点的坐标，根据二次函数的性质即可判断； 熟知二次函数的性质是关键． 【详解】解：①二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象交轴的正半轴于一点， ， 对称轴是直线， ， ， ，故①正确； ②对称轴为直线，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 是关于的方程的一个根，故②正确； ③点关于直线的对称点的坐标是，， 又当时，随的增大而减小，， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③共3个． 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，先取、的绝对值，再平方，比较大小即可得到答案，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：，且， ，则， 故答案为：． 13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出AD． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8， ∴AC===4， 由作图可知，PQ垂直平分线段AC， ∴AD=DC=AC=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 14．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：108 15．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故答案为：或． 16．如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，根据题意证明出 即可得到，设，则，表示出，过点作，证明出四边形是正方形，得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，则，，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴设，则， ∵， ∴，， ∴， 如图所示，过点作， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角度三角函数，绝对值化简，再计算即可． 【详解】解：原式． 18．（8分）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 19．（8分）劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的学生人数为________人，扇形统计图中的值为________； (2)补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数） (3)请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数； (4)已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ 【答案】(1)50，30 (2)见解析 (3) (4)500人 【分析】本题主要考查条形统计图，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）将组的人数除以其所占百分比即可求出本次抽取的学生人数；将组人数除以本次抽取的学生人数，再乘以100即可求出； （2）先求出组的人数，再补全条形统计图即可； （3）拿乘以C组的占比即可； （4）用样本估计总体的思想可估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生人数； 【详解】（1）解：本次抽取的学生人数为：（人； ， 故答案为：50，30； （2）解：组人数为：（人， 补全条形统计图如下： （3）解：； （4）解： （人， 估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有500人． 20．（8分）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离； (2)求慈氏塔的高度． 【答案】(1) (2)慈氏塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于常考题型． （1）先根据题意可求出，，再根据中，即可解答； （2）过点D作，交延长线于点H，设，则，解直角三角形求出x的值，证明四边形是矩形，得到，由即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，， ； （2）解：过点D作，交延长线于点H， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 答：慈氏塔的高度为． 21．（8分）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数解直角三角形、勾股定理等： （1）连接，根据等边对等角得出，根据D 是弧的中点，可得，等量代换得出，推出，结合得出，即可证明是的切线； （2）先利用三角函数和勾股定理解求出，再证，求出，再证，根据对应边成比例列式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵D 是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：在 中，∵，， ∴，， 如图，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴的半径为5， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 解得． 22．（10分）牧民在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由牧民付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式经过核算发现客户订购相同重量的奶食品，选择甲快递公司需付费30元，选择乙快递公司需付费50元．已知每千克货物甲快递公司运费比乙快递公司运费少4元． (1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； (2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，牧民当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 【答案】(1)甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元 (2)①能达到，日生产5千克；②每天生产量为7千克，最大利润为196元 【分析】考查了分式方程的应用，一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型． （1）设甲快递公司每千克的运费为元，乙快递公司每千克的运费为元，根据题意列方程即可得到结论； （2）设生产量千克时，获得的利润为元，①根据生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能180元，列出方程求解即可，②当时，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲快递公司每千克的运费为元，乙快递公司每千克的运费为元， 则，解得， 即甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元． （2）解：设生产量千克时，获得的利润为元， ①由题意得：， 解得， ， ∴，即当日生产5千克时，盈利为180元． ②当时，利润， 即当时，利润最大，最大利润为196元， 当时，利润， ∴随x的增大而减小， 即时，元， ， 则每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元． 23．（10分）问题情境： 在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点分别是边上的点，将菱形沿折叠． 猜想证明： （1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决： （2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上的点处，若，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，求的面积（用含的式子表示）． 【答案】（1）四边形为菱形；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据折叠的性质可知，，易得，进而证明四边形为平行四边形，然后根据“邻边相等的平行四边形为菱形”，即可获得答案； （2）过点作于点，首先证明为等边三角形，进而可得，，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由三角函数解得，的值，进而可得的长度，然后在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （3）过点作，交延长线于点，根据题意可得，，在中，由三角函数解得，的值，设，则，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）四边形为菱形．理由如下： ∵四边形为菱形， ∴， ∵将菱形沿折叠，点的对应点与点重合， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （2）如下图，过点作于点，    ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 解得， ∴； （3）如下图，过点作，交延长线于点，    ∵点为的一个三等分点，且， ∴，， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴在中，， ， 设，则，， 由折叠的性质可得，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和折叠的性质是解题关键． 24．（12分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”． (1)若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则________；若点是函数的图象上的“梅岭点”，则________； (2)若点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式； (3)若二次函数是常数，的图象过点，且图象上存在两个不同的“梅岭点”，，且满足，，如果，求的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) (3) 【分析】（1）可求，代入即可求解；可得，即可求解； （2）可得二次函数与直线有唯一的交点， 可求，从而可得，即可求解； （3）可求，可得、是方程的根，从而可求，可求，可得，可求或，从而可求或，可求，即可求解． 【详解】（1）解：点是一次函数的图象上的“梅岭点”， ， ， ， 解得：； 点是函数的图象上的“梅岭点”， ， 整理得：， 解得：，， 经检验：，，是此方程的根； 或； 故答案：；或． （2）解：点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”， 二次函数与直线有唯一的交点， 方程的根为：， 即：， ， 解得：， 二次函数的表达式． （3）解：二次函数的图象过点， ， ， 图象上存在两个不同的“梅岭点”，， ，， ，， 、是方程的根， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， 或， 或， ， 或， 解得：或， ， ， ， ， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，， ． 【点睛】本题考查了次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义“梅岭点”是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025年中考第一次模拟考试（全国通用） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 18分） 11．_________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题（本大题共 8 题，第 17-21 每题 8分，第 22-23 每题 10分，第 24题 12分，共 72分。解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 11 2025年中考第一次模拟考试（全国通用） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11． _________________ 12．___________________ 13. __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分） 18.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（全国通用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．如图．数轴上的点A、B分别表示实数a、b、则（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，是真命题的是（    ） A．若 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．平行四边形是中心对称图形 D．在中，若，则是直角三角形 5．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（   ）    A．   B．   C．   D．   6．如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 7．某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树30万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树万棵，可列方程是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（  ）． A． B． C． D． 9．如图，是的直径且，点在圆上且，的平分线交于点，连接并过点作，垂足为，则（   ） A．3 B． C． D． 10．如图是二次函数图象的一部分，且经过点，对称轴是直线，给出下列说法：①；②是关于x的方程的一个根；③若点）是函数图象上的两点，则．其中正确的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式： ． 12．比较大小： （填“”“”或“”）． 13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为 ． 14．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 15．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 16．如图，已知正方形，点是的中点，连接．交于点，且，连接交于点．交的延长线于点．求的值是 ． 三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    19．（8分）劳动是一切幸福的源泉．为了初步了解学生的劳动教育情况，某校对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次抽取的学生人数为________人，扇形统计图中的值为________； (2)补全条形统计图；（要求在条形图上方表明人数） (3)请计算扇形统计图中“C”组所在扇形的圆心角的度数； (4)已知该校九年级有1000名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？ 20．（8分）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离； (2)求慈氏塔的高度． 21．（8分）如图，为的直径，是的一条弦，D为弧的中点，过点D作，垂足为的延长线上的点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于F，若，，求的长． 22．（10分）牧民在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由牧民付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式经过核算发现客户订购相同重量的奶食品，选择甲快递公司需付费30元，选择乙快递公司需付费50元．已知每千克货物甲快递公司运费比乙快递公司运费少4元． (1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； (2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，牧民当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 23．（10分）问题情境： 在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点分别是边上的点，将菱形沿折叠． 猜想证明： （1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决： （2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上的点处，若，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，求的面积（用含的式子表示）． 24．（12分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”． (1)若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则________；若点是函数的图象上的“梅岭点”，则________； (2)若点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式； (3)若二次函数是常数，的图象过点，且图象上存在两个不同的“梅岭点”，，且满足，，如果，求的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$