第03讲 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第03讲 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 课程标准 学习目标 ①.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则。 ②理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题。 1.在认真学习复数定义的基础上，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则； 2进一步加强理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题，提升数学学科素养； 知识点01：复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： （3）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 【即学即练1】（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 知识点02：复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 【即学即练2】（2024·宁夏石嘴山·三模）在复平面内，复数与对应向量与，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 知识点03：()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 【即学即练3】（23-24高二下·江西赣州·期中）若复数z满足，则|z|的最大值为 ． 题型01 复数的加、减运算 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1） ； （2） . 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一·上海·随堂练习） ． 【变式3】（24-25高一下·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 题型02 复数的加、减运算的几何意义 【典例1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【典例3】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【变式1】（23-24高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：    （1）向量对应的复数； （2）向量对应的复数； （3）向量对应的复数． 题型03 与复数的模的几何意义有关的应用 【典例1】（24-25高二上·全国·开学考试）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东·模拟预测）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知复数满足，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型04 根据复数的加、减运算结果求参数 【典例1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【变式1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）实数x，y满足，且，则的值是 . 题型05 根据复数的加、减运算结果求复数的特征 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【典例2】（23-24高二下·河北承德·阶段练习）下面四个命题：①0比大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③的充要条件为；④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是 . 【变式1】（多选）（23-24高三上·辽宁辽阳·阶段练习）已知非零复数（a，，且），是z的共轭复数，则下列各项中，结果是实数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若复数，，，则 . A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知复数，则（    ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（23-24高一下·天津西青·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·青海海西·期中）已知为虚数单位，，复数的共轭复数为，则（    ） A．0 B．10 C． D．3 6．（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）若（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 二、多选题 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）设复数（为虚数单位），则下列结论正确的为（    ） A． B．的虚部是 C．对应的点位于第一象限 D． 10．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）已知，复数，且为纯虚数，复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D．复数的虚部为 三、填空题 11．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）i是虚数单位，若，则 . 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数，则 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）（1）计算： （2）已知复数，．若在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围． 14．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若的共轭复数与复数相等，求的值． B能力提升 15．（23-24高一下·山东菏泽·期中）复数． (1)实数取什么值时，复数是实数？纯虚数？ (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． (3)若，求的取值范围． 16．（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）已知复数，，． （1）求实数的值； （2）若，，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 课程标准 学习目标 ①.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则。 ②理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题。 1.在认真学习复数定义的基础上，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则； 2进一步加强理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题，提升数学学科素养； 知识点01：复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和： 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 （2）复数加法满足的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： （3）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 【即学即练1】（23-24高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【知识点】复数加减法的代数运算、复数加减法几何意义的运用、复数的向量表示 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 知识点02：复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）复数减法的几何意义 复数 向量 【即学即练2】（2024·宁夏石嘴山·三模）在复平面内，复数与对应向量与，则向量对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数减法的几何意义可求出结果. 【详解】设向量与对应的复数分别为和，则，， 所以对应的复数为， 所以向量对应的的复数是， 故选：C. 知识点03：()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 【即学即练3】（23-24高二下·江西赣州·期中）若复数z满足，则|z|的最大值为 ． 【答案】14 【知识点】求复数的模、复数加减法几何意义的运用 【分析】利用复数的三角不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以， 所以|z|的最大值为14. 故答案为：14 题型01 复数的加、减运算 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）计算： （1） ； （2） . 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】（1）利用复数的加法法则运算可求解； （2）利用复数的加法法则运算可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：①；②. 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】（1）（2）根据复数的加减运算求解. 【详解】（1）由题意可得：原式． （2）由题意可得：. 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】根据复数的加减法运算法则求解. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 【变式2】（24-25高一·上海·随堂练习） ． 【答案】 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】直接由复数的加减法即可求解. 【详解】. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一下·全国·课前预习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数加减法的代数运算 【分析】（1）根据复数的加法运算求得正确答案. （2）根据复数的加法、减法运算求得正确答案. 【详解】（1） （2） 题型02 复数的加、减运算的几何意义 【典例1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【典例2】（2024·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、复数加减法几何意义的运用、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 【典例3】（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为 （2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为． 【详解】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为 （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 【变式1】（23-24高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数加减法几何意义的运用 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B 【变式2】（23-24高一下·四川乐山·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是坐标原点，则向量对应的复数为 ． 【答案】 【知识点】复数加减法几何意义的运用、复数的向量表示、复数的坐标表示 【分析】运用复数几何意义，结合平面向量减法运算可解. 【详解】复数对应的向量分别是,则 .则向量对应的复数为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求：    （1）向量对应的复数； （2）向量对应的复数； （3）向量对应的复数． 【答案】（1）－3－2i；（2）5－2i；（3）1＋6i． 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、复数加减法几何意义的运用 【分析】结合复数的几何意义和向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i； （2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i； （3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i． 【点睛】本题考复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题 题型03 与复数的模的几何意义有关的应用 【典例1】（24-25高二上·全国·开学考试）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】设，依题推得，利用复数的几何意义将的最大值转化为点到圆上点的最大距离，结合图形即得. 【详解】设，则， 由， 上式可理解为点到点的距离， 而点是圆上的动点， 如图，点是圆外一点， 故的最大值即点到圆上点的最大距离， 即为．    故选：C. 【典例2】（24-25高三上·江西赣州·开学考试）已知复数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用表示以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内， 表示到点距离为1的所有复数对应的点， 即表示以为圆心，为半径的圆， 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为， 最长距离为， 则的取值范围是. 故选：D. 【变式1】（2025·广东·模拟预测）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】，根据模长公式得到，两边平方得到答案. 【详解】，则， 即，故. 故选：C 【变式2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知复数满足，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据题意，利用复数模的几何意义，得到复数在复平面内对应的轨迹，进而结合圆的性质，即可求解. 【详解】由题意知复数满足， 可得复数在复平面内对应的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则， 所以的取值范围为. 故选：C. 题型04 根据复数的加、减运算结果求参数 【典例1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【答案】 【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】利用复数的加法运算求得，再由复数相等的条件列式求解． 【详解】，，其中． 若，则， ， 则，解得． 【变式1】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】根据题意结合复数的加法运算可得，结合选项逐项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 【变式2】（2024高一下·全国·专题练习）实数x，y满足，且，则的值是 . 【答案】1 【知识点】复数的相等、根据复数的加减运算结果求参数 【分析】直接根据复数相等列式计算即可. 【详解】. 因为， 所以，解得 所以. 故答案为：. 题型05 根据复数的加、减运算结果求复数的特征 【典例1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、根据复数加减运算结果求复数特征 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的减法运算即可求解. 【详解】设，则，由可得，所以， 故z的虚部为， 故选：B 【典例2】（23-24高二下·河北承德·阶段练习）下面四个命题：①0比大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③的充要条件为；④任何纯虚数的平方都是负实数.其中错误命题的序号是 . 【答案】①②③ 【知识点】判断命题的真假、虚数单位i及其性质、复数的基本概念、根据复数加减运算结果求复数特征 【解析】利用复数基本概念和运算对①②③④逐一分析判断即可. 【详解】①实数与虚数不能比较大小，故错误； ②例如，，是实数，但和不是共轭复数，故错误； ③当，时，，所以时，不一定，故错误； ④若为纯虚数，则，故正确. 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查复数的基本概念和运算，属于基础题. 【变式1】（多选）（23-24高三上·辽宁辽阳·阶段练习）已知非零复数（a，，且），是z的共轭复数，则下列各项中，结果是实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】复数的分类及辨析、根据复数加减运算结果求复数特征、根据复数乘法运算结果求复数的特征、根据除法运算结果求复数特征 【分析】逐个代入化简，检验虚部是否为0，即可判断. 【详解】由题意可得，则，虚部为0，A项正确； ，虚部为0，B项正确； ，因为，所以，虚部不为0，C项错误； ， 因为，所以，虚部不为0，D项错误． 故选：AB. 【变式2】（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若复数，，，则 . 【答案】 【知识点】根据复数加减运算结果求复数特征 【分析】根据复数的运算，以及复数的求模公式直接求解即可. 【详解】解：由题意得， 则， 故答案为：. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知复数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】计算出后结合模长定义即可得. 【详解】，则. 故选：A. 2．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知复数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】复数的相等、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】设，由，根据复数相等求出，再利用复数模的计算公式求出. 【详解】设，则， 由，则， 化简得， 则，解得， 则， 所以. 故选：C. 3．（23-24高一下·天津西青·期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量减法的法则、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可. 【详解】复数与对应的向量分别是与， . 故选：A. 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数加减法的代数运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】将复数化为一般形式，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】复数， 由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有，解得. 故选：A. 5．（23-24高二下·青海海西·期中）已知为虚数单位，，复数的共轭复数为，则（    ） A．0 B．10 C． D．3 【答案】C 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先求复数的共轭复数，根据复数的运算规律和复数的模计算得答案； 【详解】因为，所以， 故． 故选：C. 6．（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知复数，（为虚数单位，），则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数减法运算求解，可得复平面对应点的坐标，可得结论. 【详解】因为复数，， 所以复数， 所以对应的点在第四象限. 故选：D. 7．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）若（i为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数加减法的代数运算 【分析】根据复数运算和共轭复数进行计算，求解实部虚部. 【详解】,故的虚部为2. 故选：B. 8．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知复数，若为纯虚数，则（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数、复数加减法的代数运算 【分析】计算出，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案. 【详解】由可知， ， 因为为纯虚数，所以，解得. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）设复数（为虚数单位），则下列结论正确的为（    ） A． B．的虚部是 C．对应的点位于第一象限 D． 【答案】ABC 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据共轭复数的定义判断A；根据复数虚部的定义判断B；根据复数的几何意义判断C；根据复数的模长公式判断D. 【详解】因为， 可知，的虚部是，故AB正确； 又因为，可知对应的点为，位于第一象限，故C正确； 且，则，故D错误； 故选：ABC. 10．（23-24高一下·湖南衡阳·期末）已知，复数，且为纯虚数，复数的共轭复数为，则（    ） A． B． C． D．复数的虚部为 【答案】AC 【知识点】求复数的实部与虚部、已知复数的类型求参数、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】由题意，根据为纯虚数，求得m值，根据求模公式、共轭复数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题可知， 对于A：因为为纯虚数，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：复数的虚部为，故D错误. 故选：. 三、填空题 11．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）i是虚数单位，若，则 . 【答案】/ 【知识点】复数的相等、求复数的模、复数加减法的代数运算 【分析】设，根据题意结合复数的模、复数相等及复数的运算求出即可. 【详解】设，， 则， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知复数，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的模、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先应用共轭复数得出再根据复数模长公式计算模长即可. 【详解】因为, 所以. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）（1）计算： （2）已知复数，．若在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数加减法的代数运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数的加减法即可得到答案； （2）由实部与虚部均小于得到不等式组，求出的取值范围． 【详解】（1）. （2）因为在复平面内对应的点在第三象限， 所以，解得， 故的取值范围为． 14．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，复数． (1)若对应的点在第一象限，求的取值范围； (2)若的共轭复数与复数相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】共轭复数的概念及计算、根据相等条件求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）由实部虚部均大于0，联立关于的不等式组即可求解； （2）写出的共轭复数，再由复数与复数的实部与虚部相等，列方程组求解的值. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以的取值范围是． （2）因为， 所以， 因为与复数相等， 所以，解得． B能力提升 15．（23-24高一下·山东菏泽·期中）复数． (1)实数取什么值时，复数是实数？纯虚数？ (2)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】已知复数的类型求参数、由复数模求参数、复数加减法的代数运算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念分析求解； （2）根据题意结合复数的几何意义分析求解； （3）根据题意求得，结合复数的模长公式运算求解. 【详解】（1）若复数是实数，则，解得； 若复数是纯虚数，则， 解得. （2）因为在复平面内对应的点为， 由题意可得：，解得 所以的取值范围为． （3）因为， 由题意可得：，解得 所以的取值范围为． 16．（23-24高二上·江苏苏州·开学考试）已知复数，，． （1）求实数的值； （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由复数模求参数、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数加减法的代数运算 【分析】（1）由已知求得，再由虚部为求解实数的值； （2）数形结合求解的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以． 又因为，所以， 解得或．又因为，所以． （2）由（1）知，设， 由，所以， 得，而， ∴，∴，故． ∴， ∵，∴，故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$