第02讲 7.1.2 复数的几何意义（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第02讲 7.1.2 复数的几何意义 课程标准 学习目标 ①理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 ②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。 ③.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。 1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法； 知识点01：复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 知识点02：复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点03：复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 【即学即练1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 知识点04：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 【即学即练2】（23-24高一下·河南郑州·期末）已知复数z满足，则复数z的共轭复数为 . 题型01 复数的坐标表示 【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，求点D的坐标和向量所对应的复数． 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与．求点B的坐标． 题型02 在各象限内点对应复数的特征 【典例1】（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【典例2】（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【变式1】（23-24高一下·山东临沂·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【变式2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 题型03 实轴，虚轴上点对应复数 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【典例2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件． (1)位于虚轴上； (2)位于第二象限； (3)位于直线上． 【变式1】（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）实数取什么值时，复平面内表示复数的点 （1）在虚轴上； （2）位于第四象限. 【变式2】（23-24高一下·陕西西安·期中）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 题型04 求复数的模 【典例1】（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，则（    ） A．-13 B．0 C． D．13 【典例2】（24-25高三上·广东·开学考试）若，则（    ） A． B．13 C．5 D．25 【变式1】（24-25高二上·上海·开学考试）已知复数的实部与虚部相等，则 ． 【变式2】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）设是虚数单位，，则 ． 题型05 根据复数的模求参数 【典例1】（河北省部分地区2025届高三上学期10月摸底考试数学试卷）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数的模为1，求的值． 【变式1】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·广东·期中）已知复数的模为，实部为，则（    ） A． B． C． D． 题型06判断复数对应点所在象限 【典例1】（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2024高二下·安徽·学业考试）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25高二上·湖北·开学考试）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于第 象限. 题型07根据复数的坐标写出复数 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数与在复平面上所对应的向量分别为与（为坐标原点），求向量及所对应的复数． 【变式1】（23-24高一下·北京顺义·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 题型08根据复数对应坐标的特点求参数 【典例1】（24-25高二上·云南大理·开学考试）复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 （用区间表示）. 【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）复数，在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围. 题型09共轭复数 【典例1】（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知复数满足，则共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·浙江温州·开学考试）复数满足 （为虚数单位）， 则的共轭复数所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·宁夏固原·开学考试）已知复数为虚数单位，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知复数（），且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知复数，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024高一·全国·专题练习）设，其中x，y是实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）复数的模为（    ） A． B．2 C． D．3 6．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知复数，则（    ） A． B．7 C．5 D．25 7．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 10．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 三、填空题 11．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为 ． 12．（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）在复平面内正方形的顶点对应的复数中有三个是1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个复数是 . 四、解答题 13．（24-25高二·宁夏银川·期中）设，复数. (1)求m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 14．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 15．（23-24高一下·天津·期末）已知是虚数单位，复数，. (1)当时，求； (2)若z是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. B能力提升 16．（24-25高一·全国·课后作业）在复平面内三点对应的复数分别为1，，． (1)求，，对应的复数； (2)判断的形状，并求的面积． 17．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 7.1.2 复数的几何意义 课程标准 学习目标 ①理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系。 ②掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念。 ③.掌握用向量的模来表示复数的模的方法。 1..理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系； 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念； 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法； 知识点01：复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 知识点02：复数的几何意义 （1）复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 （2）复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 知识点03：复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 【即学即练1】（2024·吉林·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】先求的共轭复数，再利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】由，则， 则， 故选：C. 知识点04：共轭复数 （1）定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. （2）表示方法 表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，则. 【即学即练2】（23-24高一下·河南郑州·期末）已知复数z满足，则复数z的共轭复数为 . 【答案】/ 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】利用共轭复数的定义计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 题型01 复数的坐标表示 【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数、、、、． (1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E； (2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量． 【答案】(1)图象见详解 (2)图象见详解 【知识点】复数的向量表示、共轭复数的概念及计算、复数的坐标表示 【分析】（1）根据复数的几何意义求点的坐标，进而可得图象； （2）根据共轭复数以及复数的几何意义可得相应点的坐标，进而可得图象. 【详解】（1）因为复数、、、、， 则， 在复平面上分别作出这些复数所对应的点，如图所示： （2）因为复数、、、、， 则复数、、、、， 这些复数所对应的点分别为， 这些复数的共轭复数所对应的向量分别为， 在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量，如图所示： 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）设在复平面上的点A与点B所对应的复数分别为与，对于下列各组复数，分别求向量和向量所对应的复数： (1)，； (2)，． 【答案】(1)向量对应的复数为，向量所对应的复数为. (2)向量对应的复数为向量所对应的复数为. 【知识点】复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何意义及向量的运算法则即可求解 . 【详解】（1）因为 所以, 所以, 对应复数为 ; , 对应复数为 . （2）因为 所以， 所以, 对应复数为 ， , 对应复数为 . 【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的坐标表示 【分析】根据向量、复数的坐标表示等知识求得正确答案. 【详解】依题意，向量所对应的复数是，对应坐标为， 所以向量对应的坐标为，对应的复数为. 故选：A 【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是、、，求点D的坐标和向量所对应的复数． 【答案】点D的坐标为，向量所对应的复数为 【知识点】复数的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】根据题意结合向量相等求点D的坐标，再根据复数的几何意义可得结果. 【详解】设，则， 由题意可知：，即，解得， 所以点D的坐标为，且向量所对应的复数为. 【变式3】（23-24高一·上海·课堂例题）已知复平面上有点A和点B，向量与向量所对应的复数分别为与．求点B的坐标． 【答案】 【知识点】复数的向量表示、复数的坐标表示 【分析】设，根据复数的向量表示结合向量相等的坐标运算，即可求得答案. 【详解】设，由题意知， 可得，即. 题型02 在各象限内点对应复数的特征 【典例1】（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】由复数的几何意义可得，从而求出a的取值范围． 【详解】∵复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴，解得， 即实数a的取值范围是． 故答案为：． 【典例2】（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征、判断复数对应的点所在的象限、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据复数的类型特征求参； （2）应用复数对应象限的特征列不等式组即可求参数范围. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以 解得. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限， 所以 解得. 【变式1】（23-24高一下·山东临沂·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】在各象限内点对应复数的特征 【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 故答案为： 【变式2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知复数，其中是实数． (1)若，求的值； (2)若在复平面上所对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或. 【知识点】已知复数的类型求参数、在各象限内点对应复数的特征 【分析】（1）结合复数为实数的等价条件建立方程进行求解即可． （2）结合复数的几何意义建立不等式关系进行求解即可． 【详解】（1）由题意，， 则，解得或. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得或. 题型03 实轴，虚轴上点对应复数 【典例1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数，. (1)表示的复数对应的点在实轴上的有几个？ (2)表示的复数对应的点在虚轴上的有几个？ 【答案】(1)10个 (2)10个 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数 【分析】（1）利用点的特征确定复数个数即可. （2）利用点的特征确定复数个数即可. 【详解】（1）若点在实轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. （2）若点在虚轴上，则，此时， 均满足题意，故共有10个这样的复数. 【典例2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）当实数m取何值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件． (1)位于虚轴上； (2)位于第二象限； (3)位于直线上． 【答案】(1)或. (2). (3)或. 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、实轴、虚轴上点对应的复数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据实部为0可求实数m的值. （2）根据实部为负，虚部为正可求实数m的取值范围. （3）根据复数对应的点在直线上可求实数m的值. 【详解】（1）因为表示复数的点在虚轴上，故， 故或. （2）因为表示复数的点位于第二象限，故， 故. （3）因为表示复数的点位于位于直线上， 故即 故或. 【变式1】（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）实数取什么值时，复平面内表示复数的点 （1）在虚轴上； （2）位于第四象限. 【答案】(1)或；(2). 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、实轴、虚轴上点对应的复数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】(1)由复数在复平面内对应点在虚轴上的特点列方程计算即可； (2)根据复数在复平面内对应点在第四象限的特点列不等式求解即得. 【详解】(1)因复数在复平面内对应点在虚轴上，则有，解得或， 所以或时，复平面内表示复数的点在虚轴上； (2)因复数在复平面内对应点在第四象限，则，解得， 所以时，复平面内表示复数的点位于第四象限. 【变式2】（23-24高一下·陕西西安·期中）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第三象限时，其实部小于0，虚部小于0，列式即可解出答案； 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或； （2）由题意，得，解得. 题型04 求复数的模 【典例1】（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知，则（    ） A．-13 B．0 C． D．13 【答案】D 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】先得到，再利用模长公式求解, 【详解】，故. 故选：D 【典例2】（24-25高三上·广东·开学考试）若，则（    ） A． B．13 C．5 D．25 【答案】C 【知识点】复数的相等、求复数的模 【分析】先根据复数相等得出,再应用复数的模的公式计算． 【详解】由，得且，解得， 则. 故选:C. 【变式1】（24-25高二上·上海·开学考试）已知复数的实部与虚部相等，则 ． 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】根据题意，得到，结合复数模的运算法则，即可求解. 【详解】由复数的实部与虚部相等，可得，即， 则，所以. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）设是虚数单位，，则 ． 【答案】 【知识点】虚数单位i及其性质、求复数的模 【分析】由虚数的定义及复数模的定义计算即可． 【详解】，所以， 故答案为：． 题型05 根据复数的模求参数 【典例1】（河北省部分地区2025届高三上学期10月摸底考试数学试卷）若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由复数模求参数 【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，得到，即可求解. 【详解】因为，所以，得到， 所以或，解得或， 故选：A. 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数的模为1，求的值． 【答案】或 【知识点】由复数模求参数 【分析】利用复数的模长公式，得到，解出即可. 【详解】的模为1， ，即 ， 或. 【变式1】（23-24高二下·江苏南京·期中）已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由复数模求参数 【分析】根据模长公式计算得出实部. 【详解】复数的实部为正数，虚部为1，故， 又因为可得，故，． 故选：A． 【变式2】（23-24高二下·广东·期中）已知复数的模为，实部为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由复数模求参数 【分析】设，，根据条件得到，即可求解. 【详解】设，，由，得， 所以. 故选：D. 题型06判断复数对应点所在象限 【典例1】（24-25高三上·北京丰台·阶段练习）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】直接计算出负数，找到实部虚部即可得到在复平面对应的点的坐标，得出对应象限。 【详解】∵， ∴该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 【典例2】（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知为纯虚数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、判断复数对应的点所在的象限 【分析】首先根据复数的特征求，再根据复数的几何意义求解. 【详解】复数为纯虚数，则，则， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B 【变式1】（2024高二下·安徽·学业考试）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义得解. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·湖北·开学考试）已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于第 象限. 【答案】四 【知识点】已知复数的类型求参数、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据纯虚数的概念求出的值，再确定对应的点所在的象限. 【详解】因为是纯虚数，且， 所以. 所以，对应的点位于第四象限. 故答案为：四 题型07根据复数的坐标写出复数 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的坐标表示、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据复数的几何意义结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为复数对应的点为， 所以点A关于虚轴的对称点为， 所以对应的复数为. 故选：C 【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）设复数与在复平面上所对应的向量分别为与（为坐标原点），求向量及所对应的复数． 【答案】 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数的向量表示 【分析】根据复数的向量表示，结合向量的坐标运算求出向量及的坐标，即可得答案. 【详解】由题意知， 故， 故向量及所对应的复数分别为. 【变式1】（23-24高一下·北京顺义·期中）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】根据复数的几何意义即可得解. 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以. 故选：D. 【变式2】（24-25高一下·全国·随堂练习）在复平面内，复数，对应的点分别为A，B，若为线段的中点，则点对应的复数是 ． 【答案】 【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】写出复数所对应点的坐标，有中点坐标公式求出的坐标，则答案可求． 【详解】因为复数，对应的点分别为，． 且为线段的中点，所以． 则点对应的复数是． 故答案为：． 题型08根据复数对应坐标的特点求参数 【典例1】（24-25高二上·云南大理·开学考试）复数表示的点在复平面的第二象限内，则实数的取值范围是 （用区间表示）. 【答案】 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】根据复平面上的点与复数实部、虚部关系列出不等式即可求解. 【详解】因为复数表示的点在复平面的第二象限内， 所以，解得，所以实数的取值范围是， 故答案为： 【典例2】（24-25高一上·上海·课后作业）求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）利用虚轴上点的性质建立方程，求解参数即可. （2）利用第四象限上点的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）根据题意得，解得或. （2）根据题意得，解得或， 所以实数的取值范围是. 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）复数在复平面上对应的点在虚轴上，则 ， ． 【答案】 2或0 【知识点】求复数的模、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】由复数在复平面上对应的点在虚轴上得，从而可求出，进而可求出复数的模. 【详解】由题意知，解得， 则当时，，； 当时，，． 故答案为：，2或0 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）复数，在复平面上所对应的点在第四象限，求m的取值范围. 【答案】. 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】利用第四象限点的特征建立不等式，求解参数即可. 【详解】根据题意，得，解得. 所以实数m的取值范围是. 题型09共轭复数 【典例1】（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知复数满足，则共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数得到共轭复数，即可得到虚部. 【详解】已知复数满足，则， ∴的虚部为. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·浙江温州·开学考试）复数满足 （为虚数单位）， 则的共轭复数所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用共轭复数的定义及复数的几何意义判断即得. 【详解】依题意，在复平面内对应点在第二象限. 故选：B 【变式1】（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得. 【详解】因为，所以. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·宁夏固原·开学考试）已知复数为虚数单位，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算 【分析】利用共轭复数的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知复数（），且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模 【分析】利用复数的模的定义即可求解. 【详解】因为，，所以，解得， 因为，所以. 故选：D, 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知复数，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的相等、求复数的模、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的模和共轭复数的概念即可判断. 【详解】对A，，，则，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，显然，故C错误； 对D，，则，故D错误. 故选：A. 3．（2024高一·全国·专题练习）设，其中x，y是实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的相等 【分析】根据复数相等求出的值，根据复数的几何意义，即可求得答案 【详解】因为，所以 所以，得， 故 故选：B 4．（23-24高一下·江苏南京·期末）设，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、在各象限内点对应复数的特征 【分析】根据复数的几何意义求出复数所对应的点的坐标即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）复数的模为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】求复数的模 【分析】根据复数的运算，结合复数的模长计算公式，可得答案. 【详解】，． 故选:C 6．（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知复数，则（    ） A． B．7 C．5 D．25 【答案】C 【知识点】求复数的模 【分析】利用复数的模的公式计算即可. 【详解】因为复数，所以. 故选：C. 7．（23-24高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示 【分析】根据复数的几何意义判断即可. 【详解】在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 8．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是，0，则点D对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的相等、复数的坐标表示 【分析】设点D的坐标为，然后由题意得，从而可求出的值，进而可求得点D对应的复数. 【详解】由题知，点，设点D的坐标为， 则有，. 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 即，得，所以点D对应的复数为. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）已知复数，则（    ） A．z的共轭复数为 B．z是纯虚数 C．z的模是5 D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算、求复数的模、求复数的实部与虚部 【分析】根据共轭复数的定义判断A选项，根据复数类型判断B选项，应用模长公式判断C选项，根据复数对应点判断D选项. 【详解】对于A，由共轭复数定义知的共轭复数为，故A正确； 对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：AD． 10．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若复数（为虚数单位），则下列结论正确的有（    ） A． B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第二象限 【答案】AC 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算、求复数的模、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的模判断A，根据复数的定义判断B，根据共轭复数判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 的虚部为，故B错误； ，所以，故C正确； 在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误. 故选：AC 三、填空题 11．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、复数的坐标表示 【分析】把复数用坐标表示再结合向量的夹角公式计算即可； 【详解】由题知，， ，∴， 所以与夹角为， 故答案为：． 12．（23-24高一下·内蒙古通辽·期中）在复平面内正方形的顶点对应的复数中有三个是1＋2i，－2＋i，－1－2i，那么第四个复数是 . 【答案】2－i 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的坐标表示、向量夹角的计算、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用复数与向量的一一对应关系，借助向量的运算来求第四个复数即可. 【详解】设正方形四个顶点对应的复数分别为 O为复平面的原点，则， 所以则， ∴，又四边形ABCD为正方形，∴， 即， ∴， 即第四个复数是. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二·宁夏银川·期中）设，复数. (1)求m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可； （2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可. 【详解】（1）由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. （2）因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 14．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1)且 (2) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、已知复数的类型求参数 【分析】（1）由虚数的概念列方程求解即可； （2）由复数的几何意义得，解不等式即可得解. 【详解】（1）因为复数虚数，所以 解得，且 （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解之得，得． 所以实数的取值范围为 15．（23-24高一下·天津·期末）已知是虚数单位，复数，. (1)当时，求； (2)若z是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据复数对应坐标的特点求参数、求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】（1）先写出复数再根据模长公式求解； （2）根据复数是纯虚数求参即可； （3）根据复数对应的点位于第三象限列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，. 所以，. （2） 若复数是纯虚数，则， 解得，所以. （3）复数在复平面内对应的点位于第三象限， 则即， 解得. 所以，实数的取值范围是. B能力提升 16．（24-25高一·全国·课后作业）在复平面内三点对应的复数分别为1，，． (1)求，，对应的复数； (2)判断的形状，并求的面积． 【答案】(1)，， (2)直角三角形，2 【知识点】复数的向量表示、求复数的模 【分析】（1）求出对应的点的坐标，再根据向量的坐标运算求出结果； （2）分别求出对应的线段的长，再根据勾股定理即可判断，利用直角三角形的面积公式计算即可. 【详解】（1）三点对应的复数分别为 对应的复数分别为， ，对应的复数为， ，对应的复数为， ，对应的复数为， （2），， ，为直角三角形 . 17．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知复数，， (1)若，求角； (2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围； (3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)角 (2) (3) 【知识点】复数的向量表示、复数的坐标表示、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】(1)利用复数相等的性质和特殊角的三角函数值，结合角度的范围即可求解 (2)由向量的数量积运算结合两角差的正弦整理，再由角度的范围求出相位范围后即可求出的取值范围 (3)利用向量数量积的坐标运算进行化简等式，转化为和三角函数的表达式，求出三角函数的整体范围后再计算表达式的范围，进而求出最后结果 【详解】（1），，由，得，， 又， （2）由复数的坐标表示得，，， 则，又， ，当时，取最大值为4， 当时，取最小值为， 所以的取值范围为 （3）由题意得，，，， 又，， 化简得，，由小问2的结论可得，， 当，得 恒成立， 当，得，或， 综合所述，的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$