第五章 一元函数的导数及其应用 小结教学设计-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 高中数学 年级 高二 学期 秋季 课题 导数小结1 教学目标 1.回顾并掌握导数的概念、物理和几何意义、基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、简单复合函数的导数。 2. 通过教材小结问题的提出，带领学生思维导图式复习，培养学生的数学逻辑能力。 3.利用导数求函数单调性、极值和最值。 4.整合导数所涉及的简单题型，帮助学生构建利用导数解决问题的思维导图。 教学重点： 1. 导数的概念、物理和几何意义。 2. 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、简单复合函数的导数。 3.利用导数求函数单调性、极值和最值。 4. 能够利用导数求切线问题、图象问题。 教学难点： 1. 物理和几何意义。 2. 导数的四则运算法则、简单复合函数的导数。 3. 利用导数求单调性和极值。 教学过程 【问题引入】结合教材P102-P103，并思考以下问题。 1.平均变化率与瞬时变化率之间有什么内在联系？ 2.你能从物理和几何两方面解释导数的意义吗？ 3.利用导数定义推导函数的导数时，其基本步骤是什么？ 4.导数的四则运算法则是什么？如何求简单复合函数的导数？ 5.利用导数研究函数性质的基本步骤是什么？ 6.通过本章的学习，你对“导数是研究函数性质的基本工具”有什么体会？ 【设计意图】结合教材小结内容，带领学生通过构建思维导图的方式并利用几个简单问题整体带动回顾本章知识点。 【问题分析】 问题1：平均变化率与瞬时变化率之间有什么内在联系？ 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity). 导数概念小结： 【设计意图】回顾简单的教学过程，理解平均速度在日常表述时的局限性，因而引入瞬时速度，引导学生从定义上掌握导数的概念，并引导学生思考问题或者在之后求解导数的过程中可以利用定义解决问题。 问题2：你能从物理和几何两方面解释导数的意义吗？ 【设计意图】通过对比物理问题和几何问题，可以理解为从平均变化率取极限，缩小变化空间，而求出瞬时变化率，并可以利用导数求简单的切线问题，从割线斜率到切线斜率，体会以直代曲的思想。 问题3：利用导数定义推导函数的导数时，其基本步骤是什么？ 教学活动：以“求函数的导数”为例 师生活动2：借助教材P74表5.2-1回顾基本初等函数的导数公式 【设计意图】从定义推导并总结函数的求导基本步骤，帮助学生更好地掌握运用导数的定义， 问题5：如何求简单复合函数的导数？ 复合函数 y = f( g(x) ) 的导数和函数 y = f(u), u = g(x) 的导数间的关系为：yx = yu·ux, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 师生活动： 典例示范： 【设计意图】通过示范简单复合函数的运算，让学生达到举一反三的目的，同时巩固本节课内容，回顾简单的导数问题，为下节课的导数应用奠定基础。 【问题引入】结合教材P102-P103，并思考以下问题。 1.平均变化率与瞬时变化率之间有什么内在联系？ 2.你能从物理和几何两方面解释导数的意义吗？ 3.利用导数定义推导函数的导数时，其基本步骤是什么？ 4.导数的四则运算法则是什么？如何求简单复合函数的导数？ 5.利用导数研究函数性质的基本步骤是什么？ 6.通过本章的学习，你对“导数是研究函数性质的基本工具”有什么体会？ 【设计意图】衔接上节课内容，结合教材小结，带领学生通过构建思维导图的方式并利用几个简单问题整体带动回顾本章知识点。 【问题分析】 问题1：导数与函数单调性的关系？ 师生活动：展示常见函数图象，引导学生观察函数导数与图象增减性的关联。 师生活动：从概念上回顾极大、极小值的定义概念，并结合图象认知和理解极值点的意义。 【设计意图】回顾函数增减性与导数正负之间的关系，再从具体的图象引导学生回顾和理解单调性与导数关系的概念，数形结合，培养学生的逻辑推理能力。 问题2：导数与函数最值的关系？ 教师提问：极值点就是最值点吗？ 教师活动：展示图象 预设学生小结：极值点并不一定是最值点，最值一般从端点、极值点所代表的函数值中取，所以求最值的步骤则是先判断单调性，求出极值，再求出端点所代表的函数值，比较大小。 问题3：利用导数研究函数性质的基本步骤是什么？ 师生活动：以“”为例 （1）确定函数的定义域； （2）求出导数 f′(x) 的零点（即 f′(x) = 0 时，x 的值）； （3）用 f (x) 的零点将 f (x) 的定义域划分为若干个区间，列表给出 f ′(x) 在各区间上的正负，由此得出函数 y = f (x) 在定义域内的单调性. （4）确定极值点（极值）； 【设计意图】通过示范不同函数性质，总结研究函数性质的基本思路和方法，让学生达到举一反三的目的，同时巩固本节课内容，为后续的导数应用奠定基础。 【典例分析】 一、导数应用之一——利用导数画图象 二、导数应用之二——求切线问题 三、导数应用之三——求单调性、极值、最值问题 求的单调性、极值点及在在[0，3]上的最值 【设计意图】通过具体实例作图，旨在活用导数求单调性、极值点和极限等基本性质，同时做到数形结合，通过导数求函数切线，此处应注意点是否在函数上以及是否是切点。 学科网（北京）股份有限公司 $$