精品解析：山西省运城市运运康中学、毋村中学、铁路中学、东康中学2024-2025学年上学期九年级数学期末联考试卷

山西2024-2025学年度运康中学、毋村中学、铁路中学、东康中学九年级数学期末联考试卷 考试范围：北师大版9上、9下1--2章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题30分） 一、选择题（共30分） 1. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 2. 《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 12米 D. 16米 3. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（ ） A. 7米 B. 14米 C. 21米 D. 28米 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 6. 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（ ）平方米 A. B. C. D. 8. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③ （实数）； ④若方程有一根为 ，则不等式 的解集是 ； ⑤若，且，则． 其中结论错误的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题90分） 二、填空题（共15分） 11. 如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是________． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的A、B、C三个点都在横线上，若线段，则线段的长是______． 13. 在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度和时间的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高，达到后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度是时间的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为，同学们通过查阅资料得知，当温度满足时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为________分钟． 14. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式，则“火箭”升空的最大高度为______米． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、、在轴上，、、在直线上，若，且、都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、．则可表示为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算或解方程 （1） （2） （3） （4） 17. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． （1）在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标； （2）若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标． 18. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀． （1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是________． （2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率． 19. 城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神．某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下： 【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪．其中测高仪（如图②）为正方形木板，在顶点处用细线挂一个铅锤． 【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点，与“摇橹人”最高点在同一条直线上．通过测量得到，，，． 【步骤四】计算“摇橹人”高度．（结果精确到） （参考数据：，，） 现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】． 20. 为了促进大蒜产业发展，某村成立了大蒜产业合作社．今年大蒜丰收，为了取得较高利润，该合作社对本地市场进行调查．调查发现：当售价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，若每吨每涨0.2万元，每天的销量将减少1吨；据合作社测算，每吨平均投入种植等成本1万元．为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于2.4万元/吨，不高于4.5万元/吨．设大蒜的批发价为（万元/吨），每天获得的利润为（万元），请解答下列问题： （1）用含的代数式表示每天大蒜的销售量为_____（吨），并求出每天获得的利润（万元）与批发价（万元/吨）之间的函数关系式：_______． （2）若该村每天批发大蒜要盈利15万元，求大蒜的批发价应定为多少万元/吨? （3）当大蒜的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润． 21. 【探究发现】探究函数的图象与性质 （1）函数的自变量的取值范围是________； （2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是________； A. B. C. D. （3）对于函数，求当时，的取值范围． 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：∵ ∴ ________． ∵， ∴________． 【拓展应用】 （4）若函数，求当时，的取值范围． 22. 如图，在坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为． （1）求点，，的坐标及对称轴； （2）为上一动点，为抛物线上一动点，是否存在这样的点，，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西2024-2025学年度运康中学、毋村中学、铁路中学、东康中学九年级数学期末联考试卷 考试范围：北师大版9上、9下1--2章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题30分） 一、选择题（共30分） 1. 某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表． 根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：D ． 2. 《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（ ） A. 4米 B. 8米 C. 12米 D. 16米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设旗杆的高度为x米，由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，由题意得： ， 解得：； 故选D． 3. 如图，一个中号唢呐的长约为，点是唢呐上的一个黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点．根据黄金分割点得，进而可得出． 【详解】解：∵点P为靠近点B的黄金分割点， ∴，即， ∴， 故选：A． 4. 1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（ ） A. 7米 B. 14米 C. 21米 D. 28米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数的解析式求解即可． 【详解】解：根据题意：设与之间的函数表达式为， ， ， 与之间的函数表达式为； 当时，米， 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米． 故选：D 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x，则x满足方程（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为x， 则根据题意可得：， 故选：D． 6. 学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 根据图形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似． 故选：A． 7. 如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（ ）平方米 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得． 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键． 【详解】解：由题意，在中，， 故地毯的长度为， 故地毯的面积至少需要（平方米）， 故选：A． 8. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 9. 某校计划举办九年级毕业典礼，想在现场设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求与地面平行，且，抛物线最高点的五角星（点）到的距离为，如图2所示，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， 故设抛物线的解析式为， 将点的坐标代入上式，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 点的横坐标为2， 点的纵坐标为， 点到的距离为． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论： ①； ②； ③ （实数）； ④若方程有一根为 ，则不等式 的解集是 ； ⑤若，且，则． 其中结论错误的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值的计算等方法是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴，与轴的交点可得，判定①②；根据二次函数最值的计算方法判定③；根据二次函数图象的对称轴可判定④；将变形得，则有，可判定⑤，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上，与轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴直线为， ∴， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； 根据图示可得，当时，， ∴，即，故②错误，符合题意； ∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，二次函数有最小值，最小值为， ∴实数（）时，，故③错误，符合题意； 由二次函数图示可得，时，二次函数， ∵对称轴直线为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∴不等式 的解集是 ，故④正确，不符合题意； 若，且， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确，不符合题意； 综上所述，错误的有②③，共2个， 故选：B ． 第II卷（非选择题90分） 二、填空题（共15分） 11. 如图，第24届国际数学家大会会徽的设计是1700多年前的中国古代数学家赵爽的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12，直角三角形的较小的锐角为，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦值，根据“弦图”已知数据求得每个直角三角形的斜边长为，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵每个直角三角形的两条直角边长分别为5，12， ∴每个直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形的较小的锐角为，即边长为5所对的直角三角形的锐角． ∴． 故答案为：． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的A、B、C三个点都在横线上，若线段，则线段的长是______． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出的长即可．熟练运用“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于， 则， 即， 解得：， 故答案为：1.5． 13. 在一次研学活动中，张老师带领同学们利用落叶堆烤红薯，首先将红薯埋在落叶堆中，在确保消防安全的前提下将落叶点燃，落叶堆点燃后徐徐燃烧，经测算落叶堆内部温度和时间的函数关系如图，首先落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高，达到后，温度维持不变一段时间，然后落叶堆熄灭，温度缓缓降低，直至冷却，已知在落叶堆熄灭后，温度是时间的反比例函数，且在第108分钟时，温度降为，同学们通过查阅资料得知，当温度满足时，红薯中的淀粉可以在淀粉酶的作用下更快的被分解为麦芽糖，增加了红薯的甜度，此过程称为糖化过程．则在这次烤红薯的过程中，糖化过程时长为________分钟． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，求出反比例函数的解析式，求出温度上升至和下降到时的时间，进行求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 由图象，把点代入，得：， ∴， 当时，， ∵刚燃烧时，落叶堆内部温度以每分钟上涨的速度匀速升高， ∴当温度上升到时，所需时间为：， ∴糖化过程时长为； 故答案为：． 14. 在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式，则“火箭”升空的最大高度为______米． 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 将二次函数解析式化为顶点式，再根据抛物线的开口方向、顶点坐标即可得出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，米， 故答案为：37． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、、在轴上，、、在直线上，若，且、都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、．则可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知正切求角度，一次函数图象点的坐标特征和等边三角形的性质，根据等边三角形的性质找出函数函数图象上点的坐标规律是解题的关键． 根据等边三角形的性质，得出直线与x轴的夹角，，可得出，，，⋯，，，，⋯，因为，根据勾股定理可知，则，同理即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵在上，设，则， ∴， ∴， ∴直线与x轴的夹角，， ， ， ， ， 同理，⋯，， ，，⋯， 可知，⋯，， ，，⋯，， ， ，⋯， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算或解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）0 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据，代入计算即可． （2）根据，代入计算即可． （3）利用因式分解法解方程即可． （4）利用因式分解法解方程即可． 本题考查了特殊角的三角函数计算，因式分解法解方程，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活选择解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． ． 【小问3详解】 解： ∴， 解得． 【小问4详解】 解：∵， ∴ ∴， 解得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为、． （1）在第一象限内画出，并直接写出点、的坐标； （2）若线段上有一点，请写出点P在上的对应点的坐标． 【答案】（1） 如图所示：即为所求， 、； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换及位似图形的性质，掌握位似图形性质是解题的关键． （1）直接利用位似图形性质得出对应点坐标，顺次连接即可； （2）根据题意放大到原来的2倍即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以原点O为位似中心，将放大到原来的2倍后得到，P在线段上， 点P在上的对应点的坐标为：． 18. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀． （1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是________． （2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式，正确画出表格，是解题的关键． （1）利用概率公式进行计算即可； （2）B，D为物理变化，列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中两张内容均为物理变化的有，或，共2种情况， ∴． 19. 城市雕塑“摇橹人”位于吉林市吉林大街南端的江城广场，雕塑人物以几乎倾斜倒地的姿势，用尽全身力气来摆动船橹，代表着吉林人民在湍流江水之中奋力拼搏的精神．某校数学活动小组要测量“摇橹人”的高度，张明同学带领小组成员进行此项实践活动，活动步棸记录如下： 【步骤一】设计测量方案：小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量． 【步骤二】准备测量工具：皮尺和自制测高仪．其中测高仪（如图②）为正方形木板，在顶点处用细线挂一个铅锤． 【步骤三】实地测量并记录数据：如图③，令测高仪上的顶点，与“摇橹人”最高点在同一条直线上．通过测量得到，，，． 【步骤四】计算“摇橹人”高度．（结果精确到） （参考数据：，，） 现在，请你结合图③和相关数据完成【步骤四】． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．先证明，然后根据正切函数的定义，列式计算的长，最后根据求得答案． 【详解】根据题意可知,， ， 在中，，， ， ． 答：“摇橹人”的高度约为． 20. 为了促进大蒜产业发展，某村成立了大蒜产业合作社．今年大蒜丰收，为了取得较高利润，该合作社对本地市场进行调查．调查发现：当售价为2.4万元/吨时，每天可售出13吨，若每吨每涨0.2万元，每天的销量将减少1吨；据合作社测算，每吨平均投入种植等成本1万元．为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价不低于2.4万元/吨，不高于4.5万元/吨．设大蒜的批发价为（万元/吨），每天获得的利润为（万元），请解答下列问题： （1）用含的代数式表示每天大蒜的销售量为_____（吨），并求出每天获得的利润（万元）与批发价（万元/吨）之间的函数关系式：_______． （2）若该村每天批发大蒜要盈利15万元，求大蒜的批发价应定为多少万元/吨? （3）当大蒜的批发价定为多少万元时，每天所获的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）， （2）定为4万元/吨 （3）当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，读懂题意，准确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据“批发价为万元/吨时，每天可售出吨，每吨每涨万元，每天的销量将减少1吨” 用含x的代数式表示每天大蒜的销售量即可，再根据销售量乘以每吨的利润列出每天获得的利润y (万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式可得，解方程后根据即可得到答案； （3）由题意得到，根据和二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：每天大蒜的销售量为（吨）， 故答案为： 根据题意得， ∴每天获得的利润y(万元)与批发价x(万元/吨)之间的函数关系式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得， 解得． ∵， ∴， 答：若该村每天批发大蒜要盈利15万元，大蒜的批发价应定为4万元/吨； 【小问3详解】 解：， ∵，即抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值， 最大值为， ∴当批发价定为3万元/吨时，每天获得的利润最大，最大利润是20万元． 21. 【探究发现】探究函数的图象与性质 （1）函数的自变量的取值范围是________； （2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是________； A. B. C. D. （3）对于函数，求当时，的取值范围． 请将下面求解此问题的过程补充完整： 解：∵ ∴ ________． ∵， ∴________． 【拓展应用】 （4）若函数，求当时，的取值范围． 【答案】（1）；（2）C；（3）4，4；（4） 【解析】 【分析】（1）根据分母不能等于零，可以解答本题； （2）根据函数解析式可以判断函数图象所在的位置，本题得以解决； （3）根据题目中的解答过程，利用配方法即可作答； （4）根据（3）的特点可以解答本题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为； （2）∵， ∴时，， 当时，，故选项B、D错误， ∵， ∴选项A错误， 故选：C； （3）∵， ∴ ； ∵， ∴， 故答案为：4，4； （4）， ∵， ∴ ； ∵， ∴． 【点睛】此题考查反比例函数的性质，求函数自变量取值范围，配方法，解题关键在于掌握相关知识进行解答． 22. 如图，在坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为． （1）求点，，的坐标及对称轴； （2）为上一动点，为抛物线上一动点，是否存在这样的点，，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，对称轴为直线：； （2）的坐标分别为：，或，或，． 【解析】 【分析】（）对于，当时，；令，则 或，即可求解，再利用即可求出对称轴； （）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解； 当或为对角线时，同理可解； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等，掌握知识点得应用及分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：由得，当时，， 令，解得或， ∴的坐标分别为，，， 由点的坐标得，对称轴为直线：； 【小问2详解】 解：存在，理由： 设点，点，且， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：且， 解得：， 则点的坐标分别为：，； 当或为对角线时，同理可得： 且或 且， 解得： 或， 即点的坐标分别为：，或，； 综上，的坐标分别为：，或，或，． 23. 在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）1； （2）． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可． 【详解】解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF， ∴ 故答案为：1； （2）略 （3）∵， ∴， 由（2），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， 由题意，， 由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $