第1章 二次根式（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第1章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【融会贯通】 1．估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 2．的值在 与 之间．（注：该题填两个连续的正整数） 3．计算的结果在两个连续整数之间，这两个整数分别是 ． 类型二、二次根式的代数最值 【解惑】已知x是整数， 是整数，则x的最小值（  ） A．2 B．3 C．4 D．18 【融会贯通】 1．已知是正整数，是整数，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．9 D．15 2．已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 3．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 ． 类型三、二次根式的几何最值 【解惑】如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 【融会贯通】 1．如图，在等腰直角三角形中，分别是的中点，连结，F是上一点，则的最小值是（） A．1 B． C． D． 2．如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为 ． 3．如图，在中，，，，点P，D分别为、边上的动点，则的最小值为 ． 类型四、海伦——秦九韶公式 【解惑】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于哪两个整数之间（    ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 【融会贯通】 1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．我国南宋著名数学家九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，则该三角形的面积为，已知的三边分别为，，，则的面积为 ． 3．某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． (1)三角形的三边长为，，，则面积为 ； (2)如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 类型五、复合二次根式的化简 【解惑】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，解决问题： ①∵ ∴ ∴ ②∵ ∴ ∴ …… 由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简． (1)化简：； (2)现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由. 2．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第四个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明． 3．先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 类型六、整数部分与小数部分 【解惑】设的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与的平方根． 【融会贯通】 1．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分．则_____，______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 2．请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 3．阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于 ，所以的整数部分为，将减去其整数部分，所得的差就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若设整数部分为，小数部分为． ①求与的值； ②求的值． 类型七、分母有理化 【解惑】在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 【融会贯通】 1．阅读下列材料： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请根据以上材料解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 2．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 3．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：； 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简：． 类型八、二次根式的规律 【解惑】现有一组按规律排列的数：1，，1，，…，其中1，这6个数按此规律重复出现． (1)第50个数是什么数？ (2)把从第1个数开始的前2022个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，若和为520，则共有多少个数的平方相加？ 【融会贯通】 1．规律探索图：如图，认真分析各式，然后解答问题． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； …… (1)； (2)； (3)求出的值． 2．观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 3．课本再现 （1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ，， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 类比猜想 （3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，请你帮助他求出x，y的值：，． 类型九、二次根式的新定义 【解惑】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【融会贯通】 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ； (2)化简：； (3)已知a为常数，点是关于x的函数图像上的一点，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 2．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． (1)①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形． (2)若是奇异三角形，，求的长． 3．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 类型十、延伸拓展——基本不等式 【解惑】我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 【融会贯通】 1．阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，∴，即 ∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2； 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值． (2)若时，求式子的最值，并说明此时的值． (3)时，式子成立吗？说明理由． 2．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 3．阅读理解：对于任意正整数，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值． (1)若，当取最小值时，求a的值． (2)若，求的最小值． 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点C在线段上，，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 3．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．若a，b为实数，且满足，则平方根是 ． 5．若满足等式，则的值为 ． 6．设，则与最接近的整数是 ． 7．计算： 8．计算： (1) (2) 9．【感悟】 （1）如图1，在中，平分交与点D；若，则 ； 【探究】 （2）如图2，在中，平分，垂足E在的延长线上，延长交的延长线与F点，求证：； 【拓展】 （3）如图，在中，，点D在线段上，，垂足为交与E点，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 10．如图，在长方形纸片中，，，，点是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)若连接，当点落在上时，的长为 ； (2)如图，点是的中点，连接当点落在上时，求的长； (3)如图，点是的中点，连接，．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、估算二次根式 【解惑】估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算．先根据二次根式混合运算的法则计算出代数式的值，再估算其取值范围即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．估计的值在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理原式，因为，则，故，即可作答． 【详解】解：， ∵，且， ∴， ∴， 故选：A． 2．的值在 与 之间．（注：该题填两个连续的正整数） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、估算无理数的大小．先运用二次根式混合运算法则计算的值，再估算无理数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故， 故答案为：，． 3．计算的结果在两个连续整数之间，这两个整数分别是 ． 【答案】7，8 【分析】计算的结果，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 故答案为：7，8 【点睛】本题考查二次根式的运算及估算无理数的大小，掌握估算无理数的大小是正确解答的前提． 类型二、二次根式的代数最值 【解惑】已知x是整数， 是整数，则x的最小值（  ） A．2 B．3 C．4 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，由是整数可得是整数，进而得出的值为9或1，由此可解． 【详解】解：是整数，且x是整数， 的值为9或1， x的值为2或18， x 的最小值为2． 故选：A． 【融会贯通】 1．已知是正整数，是整数，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．9 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，根据二次根式的性质开根即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴当时，，即为整数， 故选：B ． 2．已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了性质．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3． 【详解】解：∵，且是整数； ∴是整数，即是完全平方数； ∴n的最小正整数值为3． 故答案为：3． 3．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了二次根式的性质．把二次根式下的被开方数配成一个最小的完全平方数的形式是解题的关键． 把的被开方数配成一个最小的完全平方数，因5是质数，不需要进行分解质因数，容易看出为5． 【详解】解：根据题意得：，即， ∵当时，是整数， ∴正整数的最小值是5． 故答案为：5． 类型三、二次根式的几何最值 【解惑】如图，在等腰中，，平分，平分，、分别为射线、上的动点，若，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点， ∴，当三点共线时最小即， ∵当时，最短， ∴即为所求， ∵， 是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵平分， ∴ ∵， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得 ∴ ∵ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在等腰直角三角形中，分别是的中点，连结，F是上一点，则的最小值是（） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理，确定的最小值是为的长，并掌握相关图形的性质是解题的关键． 在上取一点，使，连接，过点作于点，推出的最小值是的长，再在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接，过点作于点， ∵是等腰直角三角形底边的中点， ∴直线是等腰直角三角形的对称轴， ∴点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∴的最小值是的长， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴是的中点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得． 故选：D． 2．如图，为等边三角形，点P为边上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，点是边的中点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确得出点的运动轨迹在射线上是解题关键．先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵点是边的中点，， ∴， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在点运动过程中，始终有， ∴在点运动过程中，点的运动轨迹在射线上， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ∴在 中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．如图，在中，，，，点P，D分别为、边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，作点关于的对称点，过点作于点交于点，点即为所求作的点，连接，根据对称点可知：，即的最小值为的长，本题求出的长度即可得解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，， 根据对称点可知：，， ∴， ∴当于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，连接， 在中，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 类型四、海伦——秦九韶公式 【解惑】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于哪两个整数之间（    ） A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，化为最简二次根式，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．已知的三边长分别为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形的面积公式可求得结果，准确化简二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵的三边长分别为， ∴， 故选：C． 2．我国南宋著名数学家九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，则该三角形的面积为，已知的三边分别为，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．将的三边长，，代入求解即可． 【详解】解：根据题意，将的三边长，，代入得： ； 故答案为：． 3．某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． (1)三角形的三边长为，，，则面积为 ； (2)如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的应用，勾股定理，关键是根据三角形的面积公式解答． （1）根据秦九韶公式即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，再由秦九韶公式，二次根式的计算解答即可． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：连接， 四边形中，，，， ， 的面积， ， 的面积， 四边形的面积为． 类型五、复合二次根式的化简 【解惑】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 【融会贯通】 1．阅读下列材料，解决问题： ①∵ ∴ ∴ ②∵ ∴ ∴ …… 由此可知，部分含有双重二次根式的式子可以运用以上方法进行化简． (1)化简：； (2)现有长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能否构成三角形？请说明理由. 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）根据例题以及二次根式的性质，进行计算即可求解； （2）先化简双重二次根式，然后根据三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）能，理由如下， ∵ ∴ ∵， ∵ ∴ ∵ ∴ 即 ∴长度分别为，，的三条线段，以这三条线段的长为边能构成三角形 【点睛】本题考查了二次根式的应用，三角形三边关系定理，掌握二次根式的运算法则、完全平方公式以及三角形三边关系定理是解题的关键． 2．观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； …… 根据上述规律解决下列问题： (1)写出第四个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由前三个等式得出规律，即可得出结果； （2）由规律得出答案，再验证即可． 【详解】（1）解：由题意可得：第四个等式为：， 故答案为：； （2）猜想的第n个等式为：， 验证： 所写等式正确． 【点睛】本题主要考查数式的变化规律，二次根式的化简，归纳推理等知识，根据题意得出规律是解决问题的关键． 3．先阅读材料，然后回答问题 (1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，化简经过思考，肖战解决这个问题的过程如下， ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________ (2)根据上述材料中得到的启发，化简﹒ 【答案】(1)④， (2) 【分析】（1）由于，则可知在第④步化简的时候出现错误，据此求出正确的化简结果即可； （2）仿照题意进行化简即可． 【详解】（1）解： ① ② ③ ④ ， ∴上述的化简过程中，第④步出现了错误，正确的化简结果为， 故答案为：④，； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意掌握化简复合二次根式的方法是解题的关键． 类型六、整数部分与小数部分 【解惑】设的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与的平方根． 【答案】， 【分析】根据无理数的估算，平方根，完全平方公式的应用，数的构成解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是4， ∴小数部分为， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了无理数的估算，完全平方公式的应用，熟练掌握估算思想是解题的关键． 【融会贯通】 1．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)若a是的整数部分，b是的小数部分．则_____，______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了平方根，算术平方根以，估算无理数的大小，分母有理化． （）根据算术平方根的定义估算无理数即可解答； （）估算的值，确定，的值，再代入计算，分母有理化即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为：，即 ∴的小数部分为：，即； （2）解：∵，其中是整数，且，而， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 【答案】(1)5 (2)2； (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． （1）根据，得到，即可求解； （2）根据，得到，进而确定m、n的值，即可求解； （3）根据代入m和n的值整理得到，然后根据，为有理数解出、，即可求解． 【详解】（1）∵， ， 的整数部分是； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵分别是的整数部分和小数部分 ∴，； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数 ∴， ∴， ∴． 3．阅读下面的文字，解答问题．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而由于 ，所以的整数部分为，将减去其整数部分，所得的差就是其小数部分，根据以上内容，解答下面的问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)若设整数部分为，小数部分为． ①求与的值； ②求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)①，；② 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟悉相关性质是解题得关键． （1）先估算出的范围，即可得出答案； （2）先估算出的范围，进而估算出的范围，即可得出答案； （3）①先求出的范围，再求出的范围，进而求出的范围，即可求解；②代入①中求出与的值计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）， ， 的整数部分是，小数部分是：， 故答案为：，； （3）①， ， ， ， 整数部分，小数部分； ②，， ． 类型七、分母有理化 【解惑】在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 【答案】(1)a：；b： (2) (3) 【分析】（1）参照③式，④式，进行计算即可解答； （2）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：a：参照③式得， 故答案为：； b：参照④式得， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【融会贯通】 1．阅读下列材料： 在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的方法叫做分母有理化．请根据以上材料解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简—分母有理化，根据题意掌握分母有理化的方法是解答本题的关键． （1）原式各项仿照题中分母有理化的方法计算即可得到结果； （2）先将分母有理化，再将配方，最后将的值代入计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， 当时，原式． 2．阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 3．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：； 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化等知识点，熟练掌握题中所给的两种化简方法是解题的关键． （1）按照题中所给的两种化简方法进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再进行二次根式的加减混合运算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： 类型八、二次根式的规律 【解惑】现有一组按规律排列的数：1，，1，，…，其中1，这6个数按此规律重复出现． (1)第50个数是什么数？ (2)把从第1个数开始的前2022个数相加，结果是多少？ (3)从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，若和为520，则共有多少个数的平方相加？ 【答案】(1) (2)0 (3)261 【分析】本题考查算术平方根、数字的变化规律． （1）根据1，这6个数按此规律重复出现，即可求得第50个数是什么数； （2）根据题意可以求得重复出现的每六个数相加的和，从而可以得到把从第1个数开始的前2022个数相加的和； （3）根据题目中的数据可以求得重复出现的每六个数平方的和，从而可以解答本题． 【详解】（1）解：∵1，这6个数按此规律重复出现，， ∴第50个数是； （2）解：∵，， ∴把从第1个数开始的前2022个数相加，结果是0； （3）解：∵，， ∴， ∴从第1个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为520，则共有个数的平方相加． 【融会贯通】 1．规律探索图：如图，认真分析各式，然后解答问题． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； …… (1)； (2)； (3)求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查勾股定理以及二次根式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识． （1）利用题中规律即可求出的值即可； （2）根据的变化规律直接得出答案即可； （3）根据（2）得出的规律直接代入数据，然后利用分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：结合已知数据，可得：； 故答案为：； （3）解： ． 2．观察下面的式子：，，， (1)类比上述式子，再写3个同类型的式子； (2)用字母表示你猜想的规律，并给出证明． 【答案】(1)，， (2)猜想：，证明见解析 【分析】本题是数字规律题，分式的化简，二次根式的性质，考查学生把特殊归纳到一般的能力，解题关键是仔细观察，找出各式的内在联系， （1）先观察列举出的式子，再写出3个同类型的式子； （2）可找出它们的一般规律，用含有n的式子表示出来即可，再根据分式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，如3个同类型的式子是： ，，； （2）猜想：（为自然数）． 证明：． 3．课本再现 （1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ，， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 类比猜想 （3）爱思考的小开同学在解决上面问题时，注意到，，猜想如果根号里的式子加法改为减法，也会有一系列有类似规律的式子．经过一番尝试，他写出了以下两个式子，请你帮助他求出x，y的值：，． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，一定要认真观察，找对规律并利用二次根式的运算法则准确的开方是解题的关键． （1）利用利用二次根式的运算法则计算即可证明； （2）类比上述式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来； （3）利用利用二次根式的运算法则计算，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）成立， ； （2）； ； ． 所以以上都成立． 举例如下：，， 规律是： （）； 故答案为：； （3）， ， ， ， 经检验，是方程的解； ， ， ， ， 经检验，是方程的解． 类型九、二次根式的新定义 【解惑】定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键： （1）根据定义，得到，求解即可； （2）根据定义，得到：，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）由题意： ∴， ∴． 【融会贯通】 1．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ； (2)化简：； (3)已知a为常数，点是关于x的函数图像上的一点，点是点M的“横负纵变点”，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ∵点是关于x的函数图像上的一点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，一次函数的图像和性质，点的规律变换，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 2．我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“奇异三角形”． (1)①根据“奇异三角形”的定义，等边三角形______奇异三角形（填“是”或“不是”）； ②若三角形的三边长分别为，则该三角形______（填“是”或“不是”）奇异三角形． (2)若是奇异三角形，，求的长． 【答案】(1)①是；②不是 (2)的长为或． 【分析】（1）①设等边三角形的边长为，则，在由“奇异三角形”的定义即可得出结论； ②计算两边的平方和是否等于第三边平方的2倍，即可根据定义判断； （2）分；；三种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为， ∵， ∴等边三角形一定是“奇异三角形”， 故答案为：是； ②∵，，， ∴，，， ∴该三角形不是“奇异三角形”， 故答案为：是； （2）∵是直角三角形，， ∴，即． ∵是奇异三角形，， ∴有三种情况： ①，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ②，即． ∴． ∴（负值已舍去）； ③，此种情况不成立． 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，新定义“奇异三角形”，等腰三角形的性质等知识，理解新定义“奇异三角形”的定义是解本题的关键． 3．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键． （1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可； （2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴且， ∴． 类型十、延伸拓展——基本不等式 【解惑】我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 【融会贯通】 1．阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，∴，即 ∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2； 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值． (2)若时，求式子的最值，并说明此时的值． (3)时，式子成立吗？说明理由． 【答案】(1)当时，函数有最小值，且最小值为 (2)的最小值为；此时 (3)不成立；理由见解析 【分析】本题考查基本不等式的应用，二次根式混合运算，解题的关键是理解题意，学会仿照例子解决问题． （1）仿照材料中的例子求解即可； （2）仿照材料中的例子利用二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）仿照材料中的例子求出时，有最小值2，根据，不能取到最小值2，得出时，，原等式不成立． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当， 解得：，负值舍去， 经检验：是方程的解， ∴当时，函数有最小值，最小值为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当取最小值时，取最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， ∴的最小值为， 解方程得：，（舍去）， 经检验是方程的解， ∴当时，的最小值为； （3）解：式子不成立．理由： ∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，且最小值为2， ∵， ∴不等式不能取等号， 即不等式不成立． 2．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当，时： ∵ 又∵ ∴ ∴ 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ，此时 ； (2)若（），求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题主要考查了二次根式和完全平方公式的应用， 对于（1），根据题意可得，再根据题意求出x的值即可； 对于（2），将原式整理为，再结合已知条件可得，接下来可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可知， 即． 当时，， 解得时，的最小值是4； 故答案为：4，； （2）解：∵ ， ∴． ∵， ∴． ∵当，时：， ∴， ∴， 即． 所以y的最小值为． 3．阅读理解：对于任意正整数，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值． (1)若，当取最小值时，求a的值． (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查二次的性质，完全平方公式，分式的求值，解分式方程： （1）根据，得到，当且仅当，取等号，进行求解即可； （2）将转化为，利用，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 当且仅当，取等号，解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的根； ∴； （2）当 当且仅当时取等号，解得：（负值舍去）， 经检验是原方程的解， 则的最小值为3． 【一览众山小】 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，点C在线段上，，，，，则的长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简，正确找出两个全等三角形是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， 故选：C． 3．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 4．若a，b为实数，且满足，则平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则， 平方根为． 故答案为：． 5．若满足等式，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 故答案为：2022． 6．设，则与最接近的整数是 ． 【答案】2025 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，即可求解． 【详解】解：∵n为任意正整数， ∴ ． ． ∴与S最接近的数是2025． 故答案为：2025． 7．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次根式，再计算括号内的二次根式的加减法，然后计算二次根式的除法与乘法即可得． 【详解】解： ． 8．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式的应用，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据平方根，立方根，绝对值的性质进行计算即可； （2）利用平方差公式，完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 9．【感悟】 （1）如图1，在中，平分交与点D；若，则 ； 【探究】 （2）如图2，在中，平分，垂足E在的延长线上，延长交的延长线与F点，求证：； 【拓展】 （3）如图，在中，，点D在线段上，，垂足为交与E点，试探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）先求解，可得； （2）先求解，可得，再证明，结合全等三角形的性质可得结论； （3）如图，作的角平分线交于，过作于，同理可证明：，证明，，同理：，设，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，作的角平分线交于，过作于， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， 同理：， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 10．如图，在长方形纸片中，，，，点是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)若连接，当点落在上时，的长为 ； (2)如图，点是的中点，连接当点落在上时，求的长； (3)如图，点是的中点，连接，．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)4 (2) (3)或6或16 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． （1）由Q点在上，利用勾股定理先求出的长，再由折叠的性质得，进而即可求解； （2）如图，连，设，利用勾股定理可得方程，解方程即可得出答案； （3）结合等腰三角形的定义，分，两种情况讨论，即可得解； 【详解】（1）解：如图， 在长方形纸片中，， ∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 故答案为：4； （2）解：如图，连，设， 由折叠的性质得：，，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 设，则， ∴， ①当时，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 如图，若点Q在上， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 若点Q在上方时，如图，过点M作于N， ∵， ∴，， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或6或16． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$