第1章 二次根式（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第1章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式的定义 【解惑】下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．二次根式在实数范围内有意义，请写出的的值 （只写一个）． 3．是二次根式，则的取值范围是 ． 类型二、二次根式有无意义 【解惑】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若点在第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，则n的值可以是 ．（写出一个即可） 3．已知函数，则自变量的取值范围是 ． 类型三、最简二次根式 【解惑】下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 3．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 类型四、同类二次根式 【解惑】下列式子中与为同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 3．已知，则等于 ． 类型五、比较二次根式大小 【解惑】已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(     ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【融会贯通】 1．已知：，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： （请用<， >或=填空） 3．用“”或“”连接下列各式： ． 类型六、二次根式的非负性 【解惑】若x，y为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【融会贯通】 1．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若实数满足，则代数式的值是 ． 3．若，求的值． 类型七、二次根式的数轴化简 【解惑】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A． B． C． D．b 【融会贯通】 1．如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．实数，，在数轴上对应的点的位置如图，那么化简的结果是 ． 3．已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 类型八、二次根式的新定义运算 【解惑】对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．32 【融会贯通】 1．对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 3．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 类型九、二次根式的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．计算与化简： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2) 类型十、化简求值 【解惑】化简求值：，其中． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中 2．先化简，再求值：，其中． 3．化简，求值：，其中． 【一览众山小】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（   ） ①若Q有意义，则； ②设，当时，． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 3．实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．化简： ． 5．已知，则的立方根为 ． 6．计算的结果是 ． 7．（1）计算 （2）已知，求代数式的值． 8．计算：． 9．计算 (1) (2) (3) (4) 10．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次根式思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式的定义 【解惑】下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟知式子叫二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义即可逐一判断． 【详解】解：A、的被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式，故本选项错误； B、的被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式，故本选项错误； C、的根指数为2，且被开方数，是二次根式，故本选项正确； D、的被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式，故本选项错误． 故选：C． 【融会贯通】 1．下列各式一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义． 根据形如的式子叫作二次根式进行分析即可． 【详解】 解：A、不一定非负，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、是二次根式，故本选项符合题意； D、，不是二次根式，故本选项不符合题意， 故选：C． 2．二次根式在实数范围内有意义，请写出的的值 （只写一个）． 【答案】0 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴的值可以为0； 故答案为：0（答案不唯一）． 3．是二次根式，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得，即得． 【详解】∵是二次根式， ∴． ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 类型二、二次根式有无意义 【解惑】若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式；根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．若点在第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了各象限点的坐标特点及二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，第一象限的点满足横、纵坐标，第二象限的点满足横、纵坐标，第三象限的点满足横、纵坐标，第四象限的点满足横、纵坐标，熟知这一规律是正确解决本题的关键． 由点在第二象限可知横坐标为负，纵坐标为正，根据这一规律确定出点的取值范围即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解得， 故答案为：D． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，则n的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案为不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，写出一个符合题意的即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 即n的值可以是（答案为不唯一）． 3．已知函数，则自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，分式有意义的条件，求不等式的解集，掌握二次根式中被开方数为负数，分式的分母不能为0的知识是解题的关键． 根据题意得，即可求解． 【详解】解：函数， ∴， 解得，， 故答案为： ． 类型三、最简二次根式 【解惑】下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，解答的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式．结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式，逐一解答判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐一判断即可解题． 【详解】解：A、没有开尽方的因数，是最简二次根式，符合题意； B、含有能开方的因数4，不是最简二次根式，不符合题意； C、含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：12． 3．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查同类二次根式及最简二次根式，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得：， ∴； 故答案为9． 类型四、同类二次根式 【解惑】下列式子中与为同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．利用二次根式性质分别化简，然后即可得出答案． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．与不是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选B． 【融会贯通】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意； B、，与是同类二次根式，符合题意； C、，与不是同类二次根式，不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：B． 2．如最简二次根式与能进行合并，且，化简： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质化简，整式的加减运算，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 同类二次根式指的是根指数相同，被开方数相同，由此可得，解出的值，可确定，再根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，最后运用整式的加减运算即可求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得，， ， ， ， ． 3．已知，则等于 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，然后利用二次根式的性质化简原式为，合并同类二次根式得到，最后利用等式的性质即可得出的值． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，同类二次根式，等式的性质等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件及二次根式的性质是解题的关键． 类型五、比较二次根式大小 【解惑】已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是(     ) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b 【答案】A 【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可． 【详解】解:∵，，， 又， ∴． 故选：A. 【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键． 【融会贯通】 1．已知：，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用平方差公式进行二次根式的运算，再比较大小即可． 【详解】 即 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式、二次根式的运算，掌握二次根式的运算是解题关键． 2．比较大小： （请用<， >或=填空） 【答案】> 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较，根据得出，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， 故答案为：>． 3．用“”或“”连接下列各式： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的比较大小，先把和平方，比较平方之后的数的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵，即， ∴， 故答案为：． 类型六、二次根式的非负性 【解惑】若x，y为实数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式以及绝对值的非负性，乘方运算，先根据，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 则 故选：C 【融会贯通】 1．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，二次根式的除法等知识，先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入，根据二次根式的除法法则和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．若实数满足，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握非负数的性质，则，，求出，，进行计算，即可． 【详解】∵实数满足且，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 3．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，能够理解平方数的非负性，并利用法则准确的计算化简是解决本题的关键． 先利用平方数的非负性及两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须为0的特点求出、的值，再将其代入二次根式求值即可． 【详解】解：． ，， ，． 当，时， 原式 ． 类型七、二次根式的数轴化简 【解惑】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ） A． B． C． D．b 【答案】A 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，二次根式的性质，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，实数a，b在数轴上，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质化简，根据数轴判断式子的正负，根据数轴可知，然后根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：根据数轴可知， ， 原式 故选：B． 2．实数，，在数轴上对应的点的位置如图，那么化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值，平方根的性质，立方根的定义等，数形结合是解题的关键．根据绝对值的性质，平方根的性质，立方根的定义进行化简，然后根据整式的加减进行计算即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 3．已知，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，实数与数轴，二次根式的性质与化简，以及绝对值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义与二次根式的性质化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：， ，，， ． 类型八、二次根式的新定义运算 【解惑】对于任意的正数m，n，定义运算※：，计算的结果为（    ） A． B． C．4 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算列出算式，然后利用二次根式的乘法和减法法则进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 【融会贯通】 1．对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，二次根式混合．理解新定义和掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：，如．那么 ． 【答案】/ 【分析】主要考查了新定义题型，二次根式混合运算，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行计算． 根据※的定义转化为一般的式子，然后进行化简即可求解． 【详解】解∶ ． 故答案为：． 3．若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 类型九、二次根式的混合运算 【解惑】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）利用混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 【融会贯通】 1．计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： （2） 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的除法运算，乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型十、化简求值 【解惑】化简求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【融会贯通】 1．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再把的值代入计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 3．化简，求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值、二次根式的混合运算．计算括号内分式的减法，再计算分式的除法，得到分式的化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【一览众山小】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，直接根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．已知：，，关于下列两个说法，判断正确的是（   ） ①若Q有意义，则； ②设，当时，． A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确 【答案】A 【分析】本题考查分式运算，分式有意义的条件，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键． 根据分式在意义的条件即可判断①；先表示出y，再代入x的值，求出y的值，进而可以判断②． 【详解】解：由题意，有意义，则， 即，故①正确； 由于， 当时， ，故②错误； 综上分析可知，只有①正确． 故选：A． 3．实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，数形结合是解题的关键．先根据，两点在数轴上的位置判断出，的符号，再化简绝对值和二次根式计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ， 故选：B． 4．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．分母分子同乘以，计算二次根式的乘法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 5．已知，则的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式组的解集，立方根的意义，先根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，然后根据立方根的意义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为． 故答案为：2． 6．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的性质、平方差公式是解决问题的关键． 利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式 故答案为： 7．（1）计算 （2）已知，求代数式的值． 【答案】【小问1】 【小问2】13 【分析】本题主要考查了实数混合运算，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据算术平方根定义，负整数指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可； （2）根据，得出，将化简为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴ ． 8．计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算乘法，再算加减即可． 【详解】解：原式． 9．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除加减运算，再合并即可．掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先利用完全平方公式化简，在通过积的乘方和二次根式的加减运算即可求解； （2）把分子分母中的二次根式化简为最简二次根式，即可求解； （3）先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可求解； （4）先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除加减运算即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 10．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$