1.3 二次根式的运算 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

1.3 二次根式的运算 一、二次根式的乘法法则 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。即： (其中a ≥ 0, b ≥ 0) 二、二次根式的除法法则 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即： (其中a ≥ 0, b > 0) 特别地，当进行二次根式的除法运算时，有时转化为分母有理化或约分会更为简便。 三、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算。在进行二次根式的混合运算时，一般要先把二次根式进行适当化简，例如化为同类二次根式以便合并，除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便，也可以使用乘法公式等进行运算。 四、二次根式比较大小的方法 1.利用近似值比大小； 2.把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； 3.分别平方，然后比大小。 五、在解决实际问题中的应用 二次根式在解决实际问题中也有广泛应用。例如，在物理学中，速度和加速度的计算经常用到二次根式。在几何学中，求圆的半径、边长等也需要用到二次根式。在金融学中，计算贷款利息等也可能用到二次根式。 巩固课内例1:二次根式的乘除运算 1．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 巩固课内例2:二次根式的乘除运算的应用 1．如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在等腰直角三角形中，，，点D是上的一点，连接，，，则的长为 ．    3．设直角三角形的两条直角边分别是，，斜边是，，求斜边． 巩固课内例3:二次根式的加减运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．计算：． 巩固课内例4:二次根式的加减乘除运算 1．计算：的值为（　　 ） A．5 B． C． D． 2．计算的结果是 ． 3．计算：． 巩固课内例5:二次根式运算(乘法公式) 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值是 3．计算 (1) (2) (3) (4) 巩固课内例6:二次根式的实际应用 1．若直角三角形的两直角边长分别为，，则此直角三角形的面积为（    ） A．3 B． C． D． 2．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为 ． 3．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量) 巩固课内例7:二次根式的图形问题 1．如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 2．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 3．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 类型一、最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 3．若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 类型二、同类二次根式 1．下列各式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 3．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值． 类型三、比较二次根式大小 1．已知a＞1，下列各式中，正确的是（    ） A．a＞ B．＞a C．＜ D．a＜ 2．比较大小： ． 3．比较与的大小． 类型一、二次根式的乘除运算 1．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．计算： (1)； (2)． 类型二、二次根式的加减运算 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．计算：＝ ． 3．计算：． 类型三、二次根式的四则运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果等于 ． 3．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 类型四、化简求值 1．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 2．若，则 ． 3．已知：，，且，求的值． 类型五、二次根式的应用 1．如图，将面积分别为20和12的正方形和正方形按如图方式放置，延长交于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C． D．60 2．一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ． 3．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 类型一、整数部分与小数部分 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 2．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 3．已知，． (1)求的值； (2)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 类型二、分母有理化 1．把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则 ． 3．化简： (1)； (2)． 类型三、二次根式的新定义 1．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 3．对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 类型四、二次根式的规律 1．如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 2．小美同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是她的探究过程，请你补充完整： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 仿照第个等式，写出第个等式： ． 3．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 4．将化成最简二次根式为 ． 5．当时，代数式的值是 ． 6．计算： ． 7．计算． 8．计算： 9．阅读下面的材料，解决下面的问题． ； ； ； …… (1)填空：______； (2)猜想：当n是正整数时，______；（用含n的式子表示） (3)计算：． 10．阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 二次根式的运算 一、二次根式的乘法法则 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。即： (其中a ≥ 0, b ≥ 0) 二、二次根式的除法法则 二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。即： (其中a ≥ 0, b > 0) 特别地，当进行二次根式的除法运算时，有时转化为分母有理化或约分会更为简便。 三、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算。在进行二次根式的混合运算时，一般要先把二次根式进行适当化简，例如化为同类二次根式以便合并，除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便，也可以使用乘法公式等进行运算。 四、二次根式比较大小的方法 1.利用近似值比大小； 2.把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； 3.分别平方，然后比大小。 五、在解决实际问题中的应用 二次根式在解决实际问题中也有广泛应用。例如，在物理学中，速度和加速度的计算经常用到二次根式。在几何学中，求圆的半径、边长等也需要用到二次根式。在金融学中，计算贷款利息等也可能用到二次根式。 巩固课内例1:二次根式的乘除运算 1．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序． 2．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 3．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则，求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则． 巩固课内例2:二次根式的乘除运算的应用 1．如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出、、的长，然后根据三角形的面积求出边上的高即可． 【详解】解：， ， ∵根据网格特点可知，为直角三角形， ∴边上的高为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的有关计算，根据网格特点得出为直角三角形，是解题的关键． 2．如图，在等腰直角三角形中，，，点D是上的一点，连接，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】过点D作于点E，设，则，根据等腰三角形性质得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，根据勾股定理求出，得出． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示：    设，则， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理．等腰直角三角形的性质，作出辅助线，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．设直角三角形的两条直角边分别是，，斜边是，，求斜边． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、勾股定理、完全平方公式，首先根据勾股定理可得：，把，，代入公式可得：，再利用完全平方公式把二次根式展开，得到，因为是三角形的边，不能是负数，所以． 【详解】解：直角三角形的两条直角边分别是，，斜边是， ， 又，， ， 又， ． 巩固课内例3:二次根式的加减运算 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的加减法则逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、，则D符合题意． 故选：D． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减法则是解题的关键．先化为同类二次根式，再相加即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 巩固课内例4:二次根式的加减乘除运算 1．计算：的值为（　　 ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算．先去括号，再按运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 2．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先进行乘法运算并化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解；掌握（，）和合并同类二次根式法是解题的关键. 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，再根据二次根式的性质进行化简，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 巩固课内例5:二次根式运算(乘法公式) 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用平方差公式计算即可． 【详解】 故选：B 【点睛】此题考查平方差公式，解题关键是明确公式的符号． 2．已知，，则的值是 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．把x、y的值代入，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的减法即可； （2）结合平方差公式，根据二次根式混合运算的法则计算即可； （3）先计算二次根式的除法，再计算二次根式的减法即可； （4）先根据二次根式的性质化简，再计算二次根式的加减法即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 巩固课内例6:二次根式的实际应用 1．若直角三角形的两直角边长分别为，，则此直角三角形的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法运用及三角形的面积公式，解题的关键是掌握三角形求面积的方法．直接利用三角形的面积公式，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得：直角三角形的面积为：， 故选：C． 2．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答案． 【详解】解：由题中给出的公式可知， 当风压为时，风速为， 故答案为：16． 3．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现(不考虑阻力的影响)． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)已知从高空坠落的物体所带能量(单位：J)物体质量高度，一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙在下落过程中所带能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？(注：杀伤无防护人体只需要的能量) 【答案】(1) (2) (3)严禁高空抛物 【分析】本题考查了代数式的求值，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）代入求得h，进而计算即可； （3）由于，故会对人体造成伤害，则应该禁止高空抛物 【详解】（1）解：把代入得：， 答：物体从的高空落到地面的时间为； （2）解：代入得：， 解得：， 则从高空坠落的物体所带能量为， 答：这串钥匙在下落过程中所带能量有； （3）解：∵， ∴对人构成伤害， 故严禁高空抛物． 巩固课内例7:二次根式的图形问题 1．如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运用，首先由正方形的面积是，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽得出正方形的长，再根据大正方形面积减去小正方形面积，即可得出答案． 【详解】解：小正方形的边长为： ， ∴ 故选：B． 2．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：如图所示：由题意可得：， ， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：． 3．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 类型一、最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故选：A． 2．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式，如果两个最简二次根式是同类二次根，那么这两个二次根式的被开方数相等，根据最简二次根式 与 是同类二次根式，可得关于的一元二次方程，解方程可得：，，又因为当时，，被开方数必须是非负数，所以只能选． 【详解】解：最简二次根式 与 是同类二次根式， ， 整理得：， 解得：，， 当时，， ． 故答案为：． 3．若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 【答案】5 【分析】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键．根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值，然后求出平方和的算术平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：，， ∴． 类型二、同类二次根式 1．下列各式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式进而判断得出即可． 【详解】解：， A、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式、同类次根式即可求得的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 3．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，解一元一次方程．利用同类二次根式的概念即可求出． 【详解】解：∵两个最简二次根式只有同类二次根式才能合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得． 类型三、比较二次根式大小 1．已知a＞1，下列各式中，正确的是（    ） A．a＞ B．＞a C．＜ D．a＜ 【答案】A 【分析】利用二次根式比较大小的方法即可求解． 【详解】解：∵，，a＞1， ∴， ∴，故A项正确，D项错误； B．∵a＞1， ∴， ∴＜a，该项错误； C．∵，a＞1， ∴＞，该项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的大小比较，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 将转换为，转换为，比较大小即可． 【详解】解：，， ， 故， 故答案为： 3．比较与的大小． 【答案】 【分析】先将化为二次根式为，再与进行大小比较． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，当要判断大小的两个数中只有一个数带根号时，可以给另一个数添加根号，然后比较根号下两个数的大小． 类型一、二次根式的乘除运算 1．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的加减法以及二次根式乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：Ａ．，故选项A计算正确，不符合题意； B. ，故选项B计算正确，不符合题意； C. ，故选项C计算错误，符合题意； D. ，故选项D计算正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，方程两边同时除以，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除运算法则计算即可解得； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 类型二、二次根式的加减运算 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练其运算法则是解决本题的关键． 根据二次根式的加减法对A，B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．，所以A选项不符合题意； B．，所以B选项符合题意； C．，所以C选项不符合题意； D．，所以D选项不符合题意． 故选：B． 2．计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握化简二次根式为最简二次根式． 先把二次根式化简成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据二次根式的性质、立方根的定义进行化简，再合并即可，掌握二次根式的性质、立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 类型三、二次根式的四则运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据完全平方公式对D选项进行判断． 【详解】解：A．与不能合并，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意； 故选：． 2．计算的结果等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次式混合运算，根据二次根式乘法运算，利用平方差公式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次根式的加减，乘法运算，分式的求值，完全平方公式等知识，将所求式子进行合理的变形，再将已知代入求解是解题的关键． （1）首先分母有理化，再计算出，然后将利用完全平方公式变形代数求解即可； （2）首先计算出，，然后将变形为，再代入数据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ． （2），， ， ， ∴ ． 类型四、化简求值 1．已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先求出，，再根据完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握代数式求值，完全平方公式，灵活运用配方法是解题的关键．利用配方法将原式变形，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 3．已知：，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式的变形运用，二次根式的化简求值，利用完全平方公式可得，再对二次根式进行化简，最后把式子的值代入计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 类型五、二次根式的应用 1．如图，将面积分别为20和12的正方形和正方形按如图方式放置，延长交于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A．24 B． C． D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的应用，二次根式的乘法运算，先求解，，可得，再利用面积公式计算即可． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和12； ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故选：B 2．一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查勾股定理、平方根的应用，二次根式的应用，利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．根据题意，设长为，宽为，由勾股定理列出方程求解得出，，依据面积公式求解即可得． 【详解】解：设长为，宽为，根据题意： ，即， ， 或（舍去）， ，即长方形的长为，宽为， 它的面积是， 故答案为：30． 3．石家庄市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【答案】(1)米 (2)1400元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解： （米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：通道的面积为：（平方米）， 购买地砖的花费为：（元）， ∴要铺完整个通道，购买地砖需要花费1400元． 类型一、整数部分与小数部分 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的混合运算、代数式求值，正确得出无理数的整数部分和小数部分是解答的关键．先估算的取值范围，进而可求得x、y，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∴， ， ∴， 故选：C． 2．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合计算，先估算出，进而推出，则可确定，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分为x，小数部分为y， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．已知，． (1)求的值； (2)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）由，得，，把变形为，再整体代入计算即可； （2）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； ∴； （2）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 类型二、分母有理化 1．把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的变形，先将，b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，熟练掌握二次根式的性质，运算法则，以及掌握平方差公式，和完全平方公式进行计算是解题关键． （1）先分母有理化，再进行减法计算； （2）先利用完全平方公式展开，再合并，再利用二次公式的性质化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型三、二次根式的新定义 1．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． 根据已知条件中的新定义，列出算式，进行二次根式的加减法即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选：A 2．对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，新定义运算，理解新定义，掌握二次根式的运算是关键．按照新定义计算并化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．对于任意实数a，b，定义一种运算“”如下：．如：． (1)______，______； (2)已知，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解新定义的含义，列出正确的算式． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据新定义，列出含有的等式，再根据平方差公式分解因式，然后进行解答可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴． 类型四、二次根式的规律 1．如图是一个按某种规律排列的数阵．若用有序实数对表示第行，从左到右第个数，如表示实数，则表示的实数是（   ） 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字类的规律探索，用有序数对表示位置，二次根式．理解题意找出规律是解题关键．根据表格可知规律为每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列，由此可求出第八行第1个数，从而即可求出第八行第5个数． 【详解】解：由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数按顺序排列， ∴第八行第1个数为， ∴第八行第5个数为， ∴表示的实数是． 故选B． 2．小美同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是她的探究过程，请你补充完整： 第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， 仿照第个等式，写出第个等式： ． 【答案】 【分析】本题考出来二次根式的运算，根据题意找到运算规律即可求解，根据题意找到运算规律是解题的关键 【详解】解：∵第个等式：， 第个等式：， 第个等式：， ∴仿照第个等式，第个等式：， 故答案为：． 3．嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）． (2)观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______． (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律： ①化简：______； ②若（a，b均为正整数），则的值为______． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2) (3)见解析 (4)①；②18 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法代入运算即可． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：， 故答案为：； （2）解：由上述计算可得，如果为正整数，上述的运算规律为：， 故答案为：； （3）解：， 等式左边等式右边； （4）①解： ． ②， ， ， ． 1．下列二次根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的化简；理解并掌握其概念是解题的关键．最简二次根式：被开方数不含有分母；被开方数不含有能开方的因数或因式；由此即可求解． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A ． 2．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式，依据此两项要求进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有看得见的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3．计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，首先利用同底数幂的乘法逆运算，再利用积的乘方的逆运算法则变形为，根据平方差公式可得：原式，再根据乘方的定义进行计算可得结果． 【详解】解： 故选： D． 4．将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．当时，代数式的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题的关键．本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便． 先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：2024． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，逆用积的乘方公式是解题的关键．逆用积的乘方公式进行化简，即可求解． 【详解】解：原式 故答案为： 7．计算． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 化简二次根式，按二次根式乘、除法运算法则计算即可； 【详解】解：原式， ． 8．计算： 【答案】8． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 9．阅读下面的材料，解决下面的问题． ； ； ； …… (1)填空：______； (2)猜想：当n是正整数时，______；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】本题主要考查了二次根式的化简， 对于（1），先通分，得，再计算即可； 对于（2），先通分，得，再计算即可； 对于（3），根据材料可得原式 ，再计算． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）解：原式； 故答案为：； （3）解：原式 ． 10．阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算． （1）把的长代入公式求出，即可得解； （2）把的长代入公式求出，即可得解． 【详解】（1）解：， ． 答：这个三角形的面积等于． 故答案为：． （2）解： ． 答：这个三角形的面积是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$