1.1 二次根式 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

1.1 二次根式 二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数，只有当a是一个非负数时，才有意义。 巩固课内例1:求根号内参数的取值范围 1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 3．求下列二次根式中字母的取值范围： (1)． (2)． 巩固课内例2:求二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 2．当时，二次根式的值为 ． 3．已知二次根式. （1）求x的取值范围； （2）求当x=-2时，二次根式的值； （3）若二次根式的值为零，求x的值. 类型一、二次根式的定义 1．下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 2．小红说:“因为=2,所以不是二次根式.”你认为小红的说法对吗？ （填对或错）． 3．下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 类型二、根式有无意义 1．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 2．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 3．已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 类型一、代数数值求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．当时，二次根式的值是 ． 3．若实数x，y满足，求的值． 类型二、二次根式的应用 1．已知点在函数的图象上，那么点应在平面直角坐标系中的（    ） A．轴上 B．轴上 C．轴正半轴上 D．原点 2．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，其中m，n满足关系式．若在第二象限内有一点，使四边形的面积与三角形的面积之比为，则点P的坐标为 ．    3．若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 类型一、二次根式的最值 1．已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．的最大值m与最小值n的和 ． 3．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且，当时，有最小值． 请根据上述方法， 解答下列问题： (1)若，则的值是___________． (2)求证：无论取何值都有意义； (3)若代数式的最小值为2，求的值 类型二、估算二次根式 1．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b= ． 3．观察下列各式子，并回答下面问题． 第一个： 第二个： 第三个： 第四个：… （1）试写出第个式子（用含的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由． 1．若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．对于命题“如果x为任何实数，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 3．已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 4．式子成立的条件是 5．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 6．若，则 ． 7．已知a，b满足． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 8．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 9．化简求值：，其中． 10．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． (1) ， ，在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时， ； (2)在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标； (3)当点P在线段上的运动过程中，射线上一点E，射线上一点F（不与C重合），连接，使得，求与的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 二次根式 二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数，只有当a是一个非负数时，才有意义。 巩固课内例1:求根号内参数的取值范围 1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 3．求下列二次根式中字母的取值范围： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． （1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可； （2）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式解不等式即可． 【详解】（1）解：由题可得，， 解得：； （2）解：由题可得， 解得：． 巩固课内例2:求二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【详解】解：当时，． 故选：B． 2．当时，二次根式的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的求值．将代入代数式求值即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：2． 3．已知二次根式. （1）求x的取值范围； （2）求当x=-2时，二次根式的值； （3）若二次根式的值为零，求x的值. 【答案】（1）x≤6  （2）2  （3）x=6 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即可求解； （2）直接把x= -2代入，进而求出答案； （3）由0的算术平方根是0可得，=0，解方程即可求x的值. 【详解】（1）根据二次根式有意义的条件可得 ， 解得x ， ∴x的取值范围是：x； （2）当x= -2时，二次根式===2； （3）由题意可得 =0， 解得x=6 . 故答案为（1）x≤6  （2）2  （3）x=6 . 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简. 类型一、二次根式的定义 1．下列式子中，是二次根式的是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、1不是二次根式，故本选项不符合题意； B、不是二次根式，故本选项不符合题意； C、不是二次根式，故本选项不符合题意； D、是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D. 2．小红说:“因为=2,所以不是二次根式.”你认为小红的说法对吗？ （填对或错）． 【答案】错 【分析】根据二次根式的定义解答即可． 【详解】∵中被开放数4>0且含有“”， ∴是二次根式． ∴小红的说法错误． 故答案为错． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式；熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 3．下列各式是否二次根式？说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)（a＜0）． 【答案】(1)是二次根式 (2)根号下小于零，不是二次根式 (3)是三次根式，不是二次根式 (4)是二次根式 【分析】此题主要考查了二次根式，正确把握定义是解题关键． （1）直接利用二次根式的定义得出答案． （2）直接利用二次根式的定义得出答案． （3）直接利用二次根式的定义得出答案． （4）直接利用二次根式的定义得出答案． 【详解】（1）是二次根式； （2），被开方数小于零，不是二次根式； （3），是三次根式，不是二次根式； （4）是二次根式． 类型二、根式有无意义 1．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质得出5−x≥0，求出即可． 【详解】∵ ∴5−x≥0， 解得：x≤5， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝−a． 2．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 3．已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】(1)，， (2)以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，，， 解得：，，； （2），，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 类型一、代数数值求二次根式的值 1．当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 2．当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】直接把的值代入进而得出答案． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 3．若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键． 类型二、二次根式的应用 1．已知点在函数的图象上，那么点应在平面直角坐标系中的（    ） A．轴上 B．轴上 C．轴正半轴上 D．原点 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，函数图象，点坐标等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，函数图象，点坐标是解题的关键． 由题意知，，，可求，，即，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵， ∴，， ∴， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知三点，其中m，n满足关系式．若在第二象限内有一点，使四边形的面积与三角形的面积之比为，则点P的坐标为 ．    【答案】 【分析】由，可得，解得，即，，，，，由面积比可得，，计算求解即可． 【详解】解：， ， 解得， ，即， ， ， 四边形的面积与三角形的面积之比为， ，解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，利用平方根的含义解方程，分式有意义的条件，坐标与图形，掌握相关知识是解题的关键． 3．若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的定义． （1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值； （2）利用等腰三角形的定义和三角形三边长关系分析得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 解得：， ∴， 则，； （2）解：当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：，不能构成三角形，舍去； 当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形， 则等腰三角形的周长为：， 综上，这个等腰三角形的周长为： 类型一、二次根式的最值 1．已知是整数，则正整数n的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2． 【详解】∵是整数，且， ∴是完全平方数， 设（m是正整数）， 则， ∵与同奇同偶， ∴，或， ∴，或， ∴， ∴n的最小正整数值是2． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组． 2．的最大值m与最小值n的和 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式有意义的条件，偶次方的非负数求得，从而求出m、n的值，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的最大值是2最小值是0， ∴m=2，n=0， ∴m+n=2+0=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，偶次方的非负数，根据二次根式有意义的条件和偶次方的非负数求得，从而求出m、n的值是解题的关键． 3．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且，当时，有最小值． 请根据上述方法， 解答下列问题： (1)若，则的值是___________． (2)求证：无论取何值都有意义； (3)若代数式的最小值为2，求的值 【答案】(1) (2)证明过程见解答 (3)的值为 【分析】本题考查了完全平方公式的应用； （1）把右边化简，求出和的值，进而可求出的值； （2）把被开方数配方，即可证明结论成立； （3）把所给代数式配方，根据代数式的最小值为，得出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）证明： 无论取何值，的值都是正数， 无论取何值，二次根式都有意义； （3）原式， ， ， ， ． 类型二、估算二次根式 1．估计的值应在（    ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】化简二次根式，然后合并二次根式，利用无理数的大小估算判断即可． 【详解】原式=，， ∵， ∴6， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简计算，无理数的大小估算，掌握无理数的估算是解题的关键． 2．在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b= ． 【答案】7． 【分析】与10相邻，且能开平方的整数是9和16，所以 ＜＜ ，所以3＜＜4，由此可以得出a、b的值，然后求和即可. 【详解】∵＜＜，∴3＜＜4；故a=3，b=4；因此a+b=3+4=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查估算无理数的大小．正确估算是解题的关键. 3．观察下列各式子，并回答下面问题． 第一个： 第二个： 第三个： 第四个：… （1）试写出第个式子（用含的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由． 【答案】（1），该式子一定是二次根式，理由见解析；（2）在15和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断； （2）将代入，得出第16个式子为，再判断即可． 【详解】解：（1）， 该式子一定是二次根式， 因为为正整数，，所以该式子一定是二次根式 （2） ∵，， ∴. ∴在15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键． 1．若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的意义“二次根式中被开方数是非负数”．根据被开方数即可求解． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 2．对于命题“如果x为任何实数，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，命题与定理，满足条件，但不能得出结论的即为说明命题是假命题的反例，解题的关键是掌握举反例说明假命题的方法． 【详解】解：∵当时，， ∴能说明它是假命题的反例是． 故选D． 3．已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 4．式子成立的条件是 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”，列不等式求解即可． 【详解】解：要使有意义，必须， 解得，， 故答案为：． 5．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，，且， 解得． 故答案为：． 6．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了非负数的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由已知得，得，得，可得，即得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．已知a，b满足． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及平方根的求解，根据题意得是解题关键． （1）由题意得，即可得，从而可求； （2）求解即3的平方根即可； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴的平方根为． 8．一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 9．化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将除法转化为乘法，再约分，然后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，再根据二次根式有意义的条件求出，；最后把x与y的值代入化简后的式子，计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴，， ∴原式． 10．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． (1) ， ，在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时， ； (2)在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标； (3)当点P在线段上的运动过程中，射线上一点E，射线上一点F（不与C重合），连接，使得，求与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或或 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性质等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型． （1）由非负数的性质得，解得，由此即可解决问题； （2）分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可； （3）分点在点上方，点在点下方，两种情形分别画出图形，根据平行线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵满足关系式， ， ， ， 当点到的距离为2个单位长度时， 运动路程或， 或； 故答案为：或； （2）解：①当时，点在上，此时，； ②当时，点在上， 此时，由于点在第四象限，纵坐标小于0， 则； ③当时，点在上， 此时， ； （3）解：①当点在点上方时，如图3中，结论：， 理由如下：连接， ， ， ②当点在点下方时，如图4中，结论：， 理由如下：设交于， ， ， ， 综上所述，或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$