1.2—1.3 同位角、内错角、同旁内角与平行线 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版2024新教材）

1.2—1.3 同位角、内错角、同旁内角与平行线 一、同位角 两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条被截直线的同一方，并且在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角。 二、内错角 两个角都在两条被截直线之间，并且在截线的两侧，这样的一对角叫做内错角。 三、同旁内角 两个角都在两条被截直线之间，并且在截线的同一旁，这样的一对角叫做同旁内角。 四、平行线 平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“//”表示。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 巩固课内例1:同位角 1．如图，，被所截，则的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的定义，根据同位角的定义，即可解答． 【详解】解：由图可知，的同位角是， 故选：C． 2．如图，的同位角是 ．    【答案】 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是确定三线八角，可直接从截线入手．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 【详解】解：与是同位角， 故答案为：． 3．找一找下图中有几对同位角？ 【答案】有4对同位角 【分析】结合题意，根据同位角的定义分析，即可得到答案． 【详解】是同位角的有：和，和，和，和 ∴图中有4对同位角． 【点睛】本题考查了同位角的知识，解题的关键是熟练掌握同位角的定义：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角． 巩固课内例2:内错角 1．下列四个图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了内错角的定义，分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角称为内错角，据此即可求解. 【详解】解：由内错角的定义可知：D选项符合题意； 故选：D ． 2．如图，和是两条直线 被直线所截构成的内错角． 【答案】、 【分析】根据内错角的概念求解即可．两直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 【详解】解：和是两条直线、被直线所截构成的内错角， 故答案为：、． 【点睛】本题考查了内错角，能从图中先确定两直线，找出截线，再确定角的位置关系是解题的关键． 3．如图，已知与 构成同位角的角的个数是 ，与 构成内错角的角的个数是 ，求 的值． 【答案】3 【分析】本题考查了同位角和内错角，同位角是两直线被第三条直线所截，所形成的角位置相同；两直线被第三条直线所截，所形成的角在两条直线的中间，第三条直线的两侧，是内错角． 根据同位角特点，可得同位角的个数，根据内错角特点，可得内错角的个数，根据有理数的加法，可得计算结果． 【详解】由题图知 与 是同位角， 与 是内错角， 与 是内错角， ，， ． 巩固课内例3:同旁内角 1．如图，与互为同旁内角的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角的定义，注意在截线的同旁找同旁内角，要结合图形，熟记同旁内角的位置特点． 根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行解答即可． 【详解】解∶由图形可知：的同旁内角有，，，共3个． 故选C． 2．如图，与 成同旁内角． 【答案】， 【分析】准确识别同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线． 【详解】与是同旁内角有：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了同旁内角，在复杂的图形中识别同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系． 3．如图，直线与的边相交． (1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么与相等吗？与互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是同位角；与是内错角；与是同旁内角 (2)与相等，与互补，理由见解析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：与是同位角；与是内错角；与是同旁内角； （2）解：如果，那么与相等，与互补． 理由如下： ∵，，， ，． 巩固课内例4:作平行线 1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点的定义，平行线的定义判断即可． 【详解】解：过AC的中点D作AB的平行线， 正确的图形是选项B， 故选：B． 【点睛】本题考查作图——复杂作图，平行线的定义，中点的定义等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 3．如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作射线和平行线，根据相关作图步骤进行作图是解题的关键． （1）根据射线的定义作图即可； （2）根据平行线的做法和直线的定义，即可作图． 【详解】（1）解：如图所示：射线即为所求； （2）解：如图所示：直线即为所求； 类型一、同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握其定义，数形结合分析是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是同位角，正确； ②与是同旁内角，正确； ③与是内错角，正确； ④与不是同位角，原判断错误； 故①②③符合题意，④不符合题意． 故选：A． 2．如图，用图中标出的5个角填空，与 是同位角，与 是同旁内角，与 是内错角． 【答案】 【分析】本题考查了准确识别同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．根据同位角、内错角、同旁内角的概念．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系． 【详解】解：与是同位角，与是同旁内角，与是内错角． 故答案为：，，． 3．如图，直线，被直线所截，交，于点，，是一条射线．图中共有多少对同位角？多少对内错角？多少对同旁内角？分别写出这些角． 【答案】见解析 【详解】解：共有6对同位角：与，与，与，与，与，与． 共有3对内错角：与，与，与． 共有3对同旁内角：与，与，与． 类型二、找出截线和被截线 1．如图，与是内错角，是由_______________构成（    ） A．被所截 B．被所截 C．被所截 D．被所截 【答案】D 【分析】根据内错角的定义，即可解答． 【详解】解：与是被所截形成的内错角． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是掌握两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 2．如图，和是直线 ， 被直线 所截构成的 角． 【答案】 / 内错 【分析】本题考查了内错角的定义，熟练掌握内错角的定义是解题的关键．根据内错角的定义，结合图形分析即可求解．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 【详解】解：和是直线和被直线所截而成的内错角， 故答案为：；；；内错． 3．如图所示． (1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？ (2)的内错角有哪些？ (3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据同位角概念解答即可； （2）根据内错的概念解答即可； （3）根据同旁内角的概念解答即可． 【详解】（1）解：与是直线、被直线所截形成的同位角， 与是直线、被直线所截形成的同位角， 与是直线、被直线所截形成的同位角； （2）解：当直线与被所截时，与是内错角， 当直线和被所截时，与是内错角； （3）解：直线，被所截得的同旁内角有与， 直线，被所截得的同旁内角与． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解本题的关键要抓住各类角的特征，这也是学生易错的地方，并且还容易出现漏解的情况． 类型三、立体图形中平行的棱 1．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可． 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，， 故选D． 【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征． 2．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． 【答案】 ， ， ， 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，， 【点睛】本题考查两条直线相交和垂直的定义，根据内容解题是关键． 3．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行 【分析】（1）根据长方体的立体结构画出即可． （2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可． （3）因为线与面没有交点，所以平行． 【详解】解：（1）如图即为补全的图形； （2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH； 故答案为：CD、EF、GH； （3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了平行线的判断，理解平行线的定义是解题关键． 类型一、平面两直线的位置关系 1．同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 【答案】C 【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可． 【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行； 故选C． 2．观察如图所示的长方体． （）用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ； （）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知 内，不相交的两条直线才能叫做平行线． 【答案】 ； ； ； 不是； 同一平面． 【分析】（）由平行线及垂线定义可得答案； （）由平行线定义可得答案； 本题考查了平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵该图是长方体， ∴，，，， 故答案为：；；；； （）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 3．在图中，    (1)分别找出三组互相平行、互相垂直的线段，并用符号表示出来． (2)找出一个锐角、一个直角、一个钝角，将它们表示出来． 【答案】(1)（答案不唯一），（答案不唯一） (2)锐角（答案不唯一），是直角（答案不唯一），是钝角（答案不唯一） 【分析】（1）根据平行线和垂直的定义即可解答； （2）根据角的分类方法进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，（答案不唯一），（答案不唯一）； （2）解：锐角，是直角，是钝角． 【点睛】本题主要考查了平行线的定义，垂线的定义，角的分类，熟知相关知识是解题的关键． 类类型二、平行公理的应用 1．如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可，熟练掌握平行线的判定，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点，，在同一直线上， 故选：． 2．如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是： ．    【答案】经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点A， ∴过外一点B的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点A、B、C在一条直线上， 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行． 3．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？并说明理由． 【答案】共线，证明详见解析. 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行解答． 【详解】解：共线．理由：因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD，CE都经过点C且与AB平行，所以C，D，E三点共线 【点睛】本题主要考查过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 类型一、三种角与对顶角、邻补角之间的关系 1．如图所示,若∠1=∠2,在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中相等的有(    ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】根据对顶角相等可得∠1=∠4，∠2=∠8，因为∠1=∠2，所以∠4=∠8，∠4=∠2；又因∠1+∠3=180°，∠2+∠6=180°，所以∠3=∠6；由此可得，再所给的4组角中，相等的有3对，故选C. 2．如图，直线b，c被直线a所截．如果，那么与其内错角之和等于 ． 【答案】 【详解】因为，所以的内错角的度数为． 因为，所以，所以与其内错角之和为． 3．如图，直线被所截，交点分别为G，F，． (1)试确定与的位置关系，并说明理由； (2)求的同位角、内错角、同旁内角的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)同位角120度，内错角120度，同旁内角60度 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单． （1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【详解】（1）解：． 理由：∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 类型二、用直尺、三角板画平行线 1．在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定是关键； 方案Ⅰ是根据同位角相等判定平行，方案Ⅱ是根据垂直于同一直线的两条直线平行即可得出答案． 【详解】由图知：方案Ⅰ是根据同位角相等，判定；方案Ⅱ是根据同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，判定． 故选C． 2．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 3．作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 【答案】(1)，点到直线的距离，垂线段最短，作图见解析 (2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，作图见解析 【分析】（1）先画垂线段，由点到直线的距离，垂线段最短，即可求解； （2）先画平行线，由过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】（1）过点P作P到的垂线段，垂足为如图： ， 理由是：点到直线的距离，垂线段最短； （2）过点P作直线，， 理由是∶过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查了作垂线，平行线，点到直线的距离，平行公里的推论，正确掌握基本作图方法是解题关键． 1．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定及平行公理，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 根据平行线的性质和判定及平行公理逐个判断得结论． 【详解】解：因为平行于同一条直线的两条直线互相平行，故选项A正确； 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项B正确、D错误． 垂直于一条直线b的直线，必垂直于b的平行线a，故选项C正确； 故选：D． 2．（文化情境·风筝）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角．下列角中与构成同位角和内错角的分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了内错角，同位角，熟记内错角、同位角、同旁内角定义是解题的关键．根据内错角、同位角、同旁内角定义求解即可． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角； 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角； 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解：的同位角有：， 的同旁内角有：， 的内错角有：． 故选：B 3．下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】此题考查了对顶角的性质、邻补角的定义、垂线的性质、点到直线的距离、同旁内角的定义等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：① 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角不一定互为邻补角，故原说法错误； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误； ⑤如图，和不是同旁内角，故原说法错误； 综上可知，正确的说法是③，共1个， 故选：B 4．如图，的内错角是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了内错角的概念，记准在截线两侧，且在两被截线之间的角是内错角．注意分清截线和被截线．根据内错角的概念，在截线两侧，且在两被截线之间的角是内错角． 【详解】解：由图知，和是直线和被所截形成的，在截线两侧，且在两被截线之间，所以的内错角是． 故答案为：． 5．如图，，与互余，，则等于 【答案】/155度 【分析】设的对顶角为，根据得到，求得，再根据已知，平行线的性质解答即可． 本题考查了对顶角性质，平行线的性质，互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：设的对顶角为， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵与互余， ∴； ∵， ∴； ∴； 故答案为：． 6．如图，点E、F分别是梯形两腰的中点，联结、，如果图中的面积为1.5，那么梯形的面积等于 ． 【答案】6 【分析】过点A作于H，交于G，根据梯形中位线定理得到，根据三角形的面积公式、梯形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点A作于H，交于G，如图， ∵点E、F分别是梯形两腰的中点， ∴是梯形的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是梯形的中位线、三角形的面积计算，掌握梯形中位线定理是解题的关键． 7．如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？ 【答案】见解析 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【详解】解：如图1： ∠1和∠2，是DC，AB两条直线被直线BD所截形成，它们是内错角； ∠3和∠4是两条AD，BC直线被直线BD所截形成，它们是内错角； 如图2： ∠1和∠2，是DC，AB两条直线被直线BC所截形成，它们是同旁内角； ∠3和∠4是两条AD，BC直线被直线AE所截形成，它们是同位角． 【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 8．在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，画已知线段的平行线、垂线，解题的关键是掌握线段、直线、垂线段的定义． （1）作的平行线，可仿照的位置，过点作出的长方形的对角线，那么依据网格中画平行线的方法即可判定两线平行； （2）作的垂线时，可作的平行线； （3）由图形可知点到直线的距离为，即可． 【详解】（1）解：线段，如图所示； （2）解：垂线段如图所示； （3）解：∵，， ∴点到直线的距离为； 故答案为：． 9．在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点，点、、均在格点上．按下述要求画图（仅用无刻度直尺）： (1)过点画的平行线； (2)在线段上画一点，使得； (3)线段、这两条线段大小关系是_______（用“<”号连接），理由是______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了画平行线，画垂线，垂线段最短等知识点，熟练掌握利用网格画垂线、平行线是解题的关键． （1）按照画平行线的方法作图即可； （2）按照画垂线的方法作图即可； （3）根据垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作； （2）解：如图，点即为所求作； （3）解：线段、这两条线段大小关系是：，理由是：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 10．如图，已知点A、B在直线l上，点C、D在直线l外，请利用直尺和圆规按下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)在直线l上确定点E，使最小； (3)过点B作． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，射线的定义，两点间线段最短，作已知直线的平行线，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据射线的定义画出图形即可； （2）连接交直线l于点E，点E即为所求； （3）根据要求作出即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）如图，点E即为所求； （3）如图，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2—1.3 同位角、内错角、同旁内角与平行线 一、同位角 两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条被截直线的同一方，并且在截线的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角。 二、内错角 两个角都在两条被截直线之间，并且在截线的两侧，这样的一对角叫做内错角。 三、同旁内角 两个角都在两条被截直线之间，并且在截线的同一旁，这样的一对角叫做同旁内角。 四、平行线 平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“//”表示。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 巩固课内例1:同位角 1．如图，，被所截，则的同位角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，的同位角是 ．    3．找一找下图中有几对同位角？ 巩固课内例2:内错角 1．下列四个图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，和是两条直线 被直线所截构成的内错角． 3．如图，已知与 构成同位角的角的个数是 ，与 构成内错角的角的个数是 ，求 的值． 巩固课内例3:同旁内角 1．如图，与互为同旁内角的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，与 成同旁内角． 3．如图，直线与的边相交． (1)写出图中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么与相等吗？与互补吗？为什么？ 巩固课内例4:作平行线 1．已知三角形ABC，过AC的中点D作AB的平行线，根据语句作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    3．如图，C是线段外一点，按要求画图： (1)画射线； (2)过点C画直线； 类型一、同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．如图，用图中标出的5个角填空，与 是同位角，与 是同旁内角，与 是内错角． 3．如图，直线，被直线所截，交，于点，，是一条射线．图中共有多少对同位角？多少对内错角？多少对同旁内角？分别写出这些角． 类型二、找出截线和被截线 1．如图，与是内错角，是由_______________构成（    ） A．被所截 B．被所截 C．被所截 D．被所截 2．如图，和是直线 ， 被直线 所截构成的 角． 3．如图所示． (1)与，与，与各是什么角，是哪两条直线被哪一条直线所截得的？ (2)的内错角有哪些？ (3)写出直线，被所截得的同旁内角，直线，被所截得的同旁内角． 类型三、立体图形中平行的棱 1．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 2．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． 3．（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 类型一、平面两直线的位置关系 1．同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直 2．观察如图所示的长方体． （）用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ； （）与所在的直线是两条不相交的直线，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知 内，不相交的两条直线才能叫做平行线． 3．在图中，    (1)分别找出三组互相平行、互相垂直的线段，并用符号表示出来． (2)找出一个锐角、一个直角、一个钝角，将它们表示出来． 类类型二、平行公理的应用 1．如图，是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2．如图：，，则点A、B、C在一条直线上．理由是： ．    3．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？并说明理由． 类型一、三种角与对顶角、邻补角之间的关系 1．如图所示,若∠1=∠2,在①∠3和∠2；②∠4和∠2；③∠3和∠6；④∠4和∠8中相等的有(    ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．如图，直线b，c被直线a所截．如果，那么与其内错角之和等于 ． 3．如图，直线被所截，交点分别为G，F，． (1)试确定与的位置关系，并说明理由； (2)求的同位角、内错角、同旁内角的度数． 类型二、用直尺、三角板画平行线 1．在作业纸上，要过点P作直线a的平行线b，嘉嘉和淇淇给出了下面两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ，Ⅱ都可行 D．Ⅰ，Ⅱ都不可行 2．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 3．作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 1．已知同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（文化情境·风筝）风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源，如图风筝的骨架构成了多种位置关系的角．下列角中与构成同位角和内错角的分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．下列说法中正确的有（　　） ① 相等的角是对顶角； ②有公共顶点和一条公共边，且和为的两个角互为邻补角； ③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； ⑤如图，和是同旁内角； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，的内错角是 ． 5．如图，，与互余，，则等于 6．如图，点E、F分别是梯形两腰的中点，联结、，如果图中的面积为1.5，那么梯形的面积等于 ． 7．如图，∠1和∠2，∠3和∠4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？ 8．在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． (1)画线段，过点作的平行线； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)若，则点到直线的距离为 ． 9．在如图所示的正方形网格中，网格中纵向和横向线段的交点叫做格点，点、、均在格点上．按下述要求画图（仅用无刻度直尺）： (1)过点画的平行线； (2)在线段上画一点，使得； (3)线段、这两条线段大小关系是_______（用“<”号连接），理由是______． 10．如图，已知点A、B在直线l上，点C、D在直线l外，请利用直尺和圆规按下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)作射线； (2)在直线l上确定点E，使最小； (3)过点B作． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$