反比例函数定义与性质讲义2024-2025学年人教版数学九年级下册

反比例函数定义与性质 前提回顾： 分式方程的解法： ①去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程；若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号.(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂） ②按解整式方程的步骤：移项,若有括号应先去括号,注意变号,合并同类项,把系数化为1 求出未知数的值； ③验根：求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根. 验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解. 如果分式本身约分了,也要代入进去检验；在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合题意。一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解. ★注意： （1）注意去分母时,不要漏乘整式项. （2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根. （3）増根使最简公分母等于0. ‌注意事项‌： 在去分母时，不要漏乘任何一项。 验根时，如果代入后最简公分母为0，则该解是增根，需要舍去。 （1）； 两边同时乘以最简公分母x（x+3）得，x+3＝5x， 解得，x＝， 检验：当x＝时，x（x+3）＝×（+3）＝≠0， ∴x＝是原方程的解； （2）． 两边同时乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）得， x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3， 解得，x＝1， 检验： 当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0， ∴x＝1不是原方程的解，原方程无解 解下列方程： （1）﹣＝﹣2； （2）﹣＝1． （3）+1＝． 【模块一：反比例函数的定义认识】 例1-1：已知函数 y＝（5m﹣3）x2﹣n+（n+m）， （1）当m，n为何值时是一次函数？ （2）当m，n为何值时，为正比例函数？ （3）当m，n为何值时，为反比例函数？ 例1-2：已知函数y＝2y1﹣y2，y1与x+1成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4，当x＝2时，y＝3，求y与x的函数关系式． 【自测（限时快练）】 1-1：下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝x2 C．y＝ D．y＝ 1-2：下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣x2+2x 1-3：下面几组相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B．社团共有50名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组人数 C．圆柱体的体积为6m3，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 1-4：关于下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（　　） A．购买铅笔和钢笔一共花了20元，铅笔的费用与钢笔的费用 B．全班同学参加队列操表演，每排站8人，全班总人数与排数 C．张华每小时可以制作120朵小红花，她制作的小红花朵数与制作时间 D．三角形的面积是6cm2，它的一条边的长与这条边上的高 1-5：下列各量中，不是成反比例的是（　　） A．路程一定，速度和时间 B．正方形的边长与面积 C．面积一定，平行四边形底和高 D．工作量一定，工作效率与工作时间 【模块二：反比例函数的增减性】 例2-1：在双曲线y＝的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围？ 例2-2：反比例函数y＝的图象在第二、四象限内，那么m的取值范围是 　 　． 练2-1：若反比例函数的图象，在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 　 练2-2：反比例函数的图象有一支位于第一象限，则常数m的取值范围是 　 　． 例3：已知反比例函数，其中k＞﹣2，且k≠0，1≤x≤2． （1）若y随x的增大而增大，则k的取值范围是　 　； （2）若该函数的最大值与最小值的差是1，求k的值． 练3：已知反比例函数y＝（m为常数） （1）若函数图象经过点A（﹣1，6），求m的值； （2）若函数图象在二、四象限，求m的取值范围； （3）若x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【模块三：反比例函数的图像】 例4-1：（一次函数与反比例函数）：正比例函数y＝kx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则点（m，k）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 练4-1：若k1＜0＜k2，则在同一平面直角坐标系内，函数y＝k1x和的图象大致是（　　） A． B． C． D． 练4-2：在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y＝的图象可能是（　　） A． B． C． D． 例5：（二次函数与反比例函数）：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 练5-1：反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（　　） A． B． C． D． 练5-2：二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 例6：（换元法的运用）判断方程的实数根的情况是（　　） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．只有两个不相等实数根 D．有三个不相等实数根 已知实数a满足a2+﹣1＝0，则a+的值为　 　． 【模块四：“k”的几何意义】 例7：如图，已知等边△ABO在平面直角坐标系中，点A（4，0），函数y＝（x＞0，k为常数）的图象经过AB的中点D，交OB于E． （1）求k的值； （2）若第一象限的双曲线y＝与△BDE没有交点，请直接写出m的取值范围． 练7：如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上． （1）求反比例函数的表达式． （2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'．当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值． 如图，OA⊥OB，AB⊥x轴于C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上． （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）在x轴的负半轴上存在一点P，使S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标． 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，﹣4），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．C在反比例函数图象上，求反比例函数的解析式． 【课后演练】 1、如图所示：点A是反比例函数y＝上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是B、C，若矩形ABOC的面积为6，求m的值为 2、反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B． C． D．m≥ 3、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（　　） A． B． C． D． 5、已知y与x﹣1成反比例，且当x＝﹣5时，y＝2． （1）求y与x的函数关系式： （2）当x＝5时，求y的值． 6、如图，点C在反比例函数的图象上，过点C作CD⊥y轴，交y轴负半轴于点D，且△ODC的面积是3． （1）求反比例函数的解析式； （2）若CD＝1，求直线OC的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $$