预习专题14 正弦定理8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题14 正弦定理8题型分类 一、正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即＝＝. 二、正弦定理的变形公式 1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径). （一） 已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 题型1：已知两角及任意一边解三角形 1．（2024高一下·浙江温州·期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 2．（2024高三上·内蒙古通辽·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 3．（2024高一下·河北邯郸·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 . 4．（2024高三上·江苏徐州·学业考试）在中，边长，则边长（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三上·全国·专题练习）在中，已知，，，则 ； ； ． （二） 已知两边及其中一边的对角解三角形 这一类型题目的解题步骤: ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 6．（2024高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 7．（2024高三上·甘肃平凉·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知． (1)求的值； (2)求c的值． 8．（2024高二上·安徽·期中）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（    ） A． B． C． D． 9．（2024高一下·北京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．150° （三） 利用正弦定理判断三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 由正弦定理得sinB＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 题型3：利用正弦定理判断三角形的解的个数 10．（2024高三上·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 11．（2024高三上·上海嘉定·期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高一下·河北石家庄·期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 . 13．（2024·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（    ） A． B． C． D． （四） 三角形形状的判断 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 题型4：三角形形状的判断 14．（2024高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 15．（2024高三上·北京·阶段练习）在中，若 ，则该三角形的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 16．（2024高一下·黑龙江绥化·阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形 17．（2024高一下·重庆·阶段练习）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 18．（2024高一下·安徽亳州·期末）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 19．（2024高一下·浙江嘉兴·期中）若，且，那么是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 （五） 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　 题型5：正弦定理的应用 20．（2024高三上·内蒙古赤峰·开学考试）在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是 . 21．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且． (1)证明： (2)若，求的取值范围． 22．（2024高三上·福建泉州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 (1)求角A的大小； (2)当时，求的取值范围. 23．（2024高三上·河南周口·阶段练习）在中，角A、B、C所对边分别记为a，b，c，且向量与向量垂直． (1)若，求的值； (2)若角的内角平分线与相交于点，求的最小值． 题型6：三角形的外接圆问题 24．（2024高一下·贵州黔东南·期末）在中，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 25．（2024高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则外接圆的直径是（    ） A． B． C． D． 26．（2024高一下·福建龙岩·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若， 则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 题型7：正余弦定理的综合应用 27．（2024高三上·全国·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，若，则 ． 28．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）在中，，则的最小值为 . 29．（2024高二上·湖南长沙·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值． 30．（2024高三上·上海松江·期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ． 31．（2024高三上·四川广安·阶段练习）在中，，点D在线段上，且满足，，则等于 . （六） 三角形的面积、周长问题 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 题型8：三角形的面积、周长问题 32．（2024高三上·贵州黔东南·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积. 33．（2024高三上·广东深圳·开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知，且. (1)求的值； (2)求的面积； 34．（四川省内江市2024届高三一模数学（文）试题）的内角、、所对的边分别为、、，，． (1)求角的大小； (2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积． 35．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）设内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求角的角平分线的长. 36．（2024高二上·浙江·期中）在中，角所对的边分别为且. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 37．（2024高三上·山西朔州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，， (1)求角B的大小； (2)若的面积为，周长为3b，求AC边上的高. 38．（2024高二上·云南昆明·期末）在中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，C，且. (1)求角A； (2)若，求面积的最大值. 39．（2024高一下·广东清远·期中）在中，若，，，则的周长等于（    ） A．8 B．16 C．10 D．20 40．（2024高一下·吉林白山·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，且，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 41．（2024高一下·四川内江·期中）已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A＝60°，BC=4，则△ABC的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高一下·宁夏银川·阶段练习）在中，，则角（    ） A． B．或 C． D．或 2．（2024高二上·海南省直辖县级单位·开学考试）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三上·福建泉州·阶段练习）设的内角的对边分别为，若则的值可以为（    ） A． B． C． D．或 4．（2024高三上·陕西安康·阶段练习）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三下·河南濮阳·开学考试）已知的内角的对边分别是.若，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2024高三上·内蒙古通辽·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 7．（2024高一下·上海·课后作业）在解三角形中，已知、、，给出下列说法： ①若，且，则此三角形不存在； ②若，则此三角形最多有一解； ③当，，则三角形不一定存在； ④若，且，则此三角形为直角三角形，且； ⑤当，且，则三角形有两解. 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2024高三上·北京大兴·期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024高三上·天津南开·阶段练习）在中，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024高三上·北京东城·阶段练习）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三上·北京·开学考试）在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　） A． B． C． D． 12．（2024高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，则角B的大小是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一下·湖南株洲·阶段练习）在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，内角、、对应边分别为、、，已知，且角的平分线交于点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二上·湖南邵阳·阶段练习）在钝角中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二上·河南信阳·期末）中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（    ） A． B． C．8 D． 17．（2024·陕西）设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 二、多选题 18．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（    ） A． B． C．2 D． 19．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 20．（2024高一·全国·课后作业）的外接圆半径为3，则 ． 21．（2024高三上·天津滨海新·开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为 ，若，的面积为，则的最小值为 . 22．（2024高三上·江西·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为 . 23．（2024高一下·全国·随堂练习）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为 四、解答题 24．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径. 25．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角所对的边分别为且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 26．（2024高三·江西抚州·开学考试）已知在非钝角中，角所对的边分别为. (1)求； (2)若的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求的周长. ①；②. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 27．（2024·贵州铜仁·模拟预测）在中，已知，，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，且，求的面积. 28．（2024高一下·广东广州·阶段练习）如图．在锐角中，边上的中线长为，且，．    (1)求边的长； (2)求的面积． 29．（2024高三上·山东泰安·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)若，求； (2)延长BC至点D，使得，若，求面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 预习专题14 正弦定理8题型分类 一、正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即＝＝. 二、正弦定理的变形公式 1.a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2.sin A＝，sin B＝，sin C＝(其中R是△ABC外接圆的半径). （一） 已知两角及任意一边解三角形 (1)正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角. 题型1：已知两角及任意一边解三角形 1．（2024高一下·浙江温州·期末）在中，内角所对的边分别是，已知，，，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据正弦定理，即可得出结果. 【详解】因为，，， 由正弦定理可得，，则. 故选：A. 2．（2024高三上·内蒙古通辽·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，结合正弦定理即可得解. 【详解】在中，， 因为，所以， 则由正弦定理得. 故选：B． 3．（2024高一下·河北邯郸·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 . 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理，求得角C，再利用正弦定理，建立方程，可得答案. 【详解】由三角形内角和定理，可得， 由正弦定理，可得， 解得. 故答案为：. 4．（2024高三上·江苏徐州·学业考试）在中，边长，则边长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得即，解得， 故选：B. 5．（2024高三上·全国·专题练习）在中，已知，，，则 ； ； ． 【答案】 【分析】借助计算即可得，借助正弦定理即可计算、. 【详解】由，故， 则， 由正弦定理得，. 故答案为：；；. （二） 已知两边及其中一边的对角解三角形 这一类型题目的解题步骤: ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值； ②用三角形内角和定理求出第三个角； ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值． 题型2：已知两边及其中一边的对角解三角形 6．（2024高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出的值，结合的范围得出结果. 【详解】因为中，，，， 所以，， 因为，可得，即， 所以或. 故选：D. 7．（2024高三上·甘肃平凉·阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知． (1)求的值； (2)求c的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）由正弦定理求得结果； （2）由余弦定理求得结果. 【详解】（1）由正弦定理可得，，即， 解得. （2）由余弦定理可得，， 即， 解得或(舍去)，所以. 8．（2024高二上·安徽·期中）在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】根据正弦定理，即，则， ，，则，所以. 故选：B 9．（2024高一下·北京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A．30° B．45° C．60° D．150° 【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用正弦定理求解作答. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，而，则为锐角， 所以. 故选：A （三） 利用正弦定理判断三角形的解的个数 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： 由正弦定理得sinB＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 题型3：利用正弦定理判断三角形的解的个数 10．（2024高三上·全国·专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】A 【分析】运用正弦定理计算出，结合有，计算出即可得. 【详解】由，得， 又 ，，故只能为锐角，即， 故该三角形只有一解． 故选：A. 11．（2024高三上·上海嘉定·期中）在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求，对的取值进行讨论，求出使得B唯一时的取值范围，此时有唯一值. 【详解】由可得：，且， 若，则，由正弦定理可得, 则，所以B为锐角， 此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值. 当时，，则此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值. 当时，因为，根据正弦函数图像易知，在上存在两个根，所以存在两个值满足，所以不成立. 故选：C 12．（2024高一下·河北石家庄·期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理可知，即，所以， 因为有两个解，即有两解，又，则， 由正弦函数的性质，可得且， 所以，即，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 13．（2024·浙江·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，且该三角形有两解，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理推出，根据三角形有两解，确定角A的范围，从而结合的取值范围求得答案. 【详解】由正弦定理得，所以, 因为该三角形有两解，故, 故，即， 故选：B （四） 三角形形状的判断 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 题型4：三角形形状的判断 14．（2024高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理求得，根据题意和正弦定理可得，即可求解. 【详解】由，得， 而，又， 所以. ，由正弦定理得， 即，得， 所以或，得或（舍去）， 所以，即为等边三角形. 故选：B 15．（2024高三上·北京·阶段练习）在中，若 ，则该三角形的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理化简为，然后在分析，即，或，从而得到结论. 【详解】，， 根据正弦定理可知：， ， 在中，，或，即，即. 为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 16．（2024高一下·黑龙江绥化·阶段练习）设的内角、、所对的边分别为、、，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．三边比为1：2：3的三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理可得或；或，利用三角形的性质验证得，可得结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 因为，为三角形的内角，所以或，即或， 同理可得或； 当时，不可能成立（三内角和不等于）， 当时，也不可能成立， 所以只有，即为等边三角形． 故选：B 17．（2024高一下·重庆·阶段练习）在中，、、分别为角、、的对边，若，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据条件，利用倍角公式得到，再利用正弦定理角转边即可得出结果. 【详解】因为，所以，整理得到， 又由正弦定理，得到， 所以，得到， 又，所以，得到，又，所以， 故选：B. 18．（2024高一下·安徽亳州·期末）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理边角互化得，进而移项整理得，再结合得或，进而得答案． 【详解】因为， 根据正弦定理边角互化得， 所以， 所以， 所以，即， 所以或， 所以或，即的形状是等腰或直角三角形． 故选：D 19．（2024高一下·浙江嘉兴·期中）若，且，那么是（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用结合余弦定理可得出，即可得出结论. 【详解】因为，则，可得， 由余弦定理可得，因为，所以，， 因为，则，整理可得. 所以，为等边三角形. 故选：A. （五） 利用正、余弦定理解三角形的注意点 正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．　 题型5：正弦定理的应用 20．（2024高三上·内蒙古赤峰·开学考试）在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换化简计算得，结合的范围求余弦值范围即可. 【详解】设外接圆的半径为R，则 ， 即. 因为，所以，由正弦定理得， 由二倍角公式得， 则. 由和差化积公式得，即. 又因为为锐角三角形，所以，，所以， 所以或（舍去）， 即，， 由正弦定理得，即. 由题意得，解得，，解得， 又，所以， 所以，则a的取值范围是. 故答案为：. 21．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且． (1)证明： (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）余弦定理结合已知消元，然后利用正弦定理边化角，利用内角和定理消去角C，用和差公式化简后，利用正弦函数单调性可得； （2）利用正弦定理将目标式转化为关于角B的三角函数，根据锐角三角形定义求角B范围，然后使用换元法，借助对勾函数性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 又，所以， 所以， 整理得，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即. （2）由（1）可知，， 因为，所以由正弦定理可得，，即， 因为，所以， 又，所以，即， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则. 记，则， 由对勾函数可知，在上单调递增， 所以，即的取值范围为 22．（2024高三上·福建泉州·阶段练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 (1)求角A的大小； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及正弦的和角公式计算即可； （2）根据正弦定理先得出，根据三角形内角和性质及余弦函数的单调性计算即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 所以，即， 因为，所以， 又，所以 （2），，由正弦定理， 所以， 因为为锐角三角形，所以，则， 所以， 所以 23．（2024高三上·河南周口·阶段练习）在中，角A、B、C所对边分别记为a，b，c，且向量与向量垂直． (1)若，求的值； (2)若角的内角平分线与相交于点，求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由题意可得，利用正弦定理化边为角，进而可求出，再根据余弦定理求出的关系，再利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用等面积法求出的关系，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）向量与向量垂直， 则， 由正弦定理得， 则， ， ， 即； （2）根据题意，因为为角的内角平分线， 所以 ， 根据余弦定理可得 ， 又， 所以，（当且仅当，取等号）， 所以，所以的最小值为2． 题型6：三角形的外接圆问题 24．（2024高一下·贵州黔东南·期末）在中，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求得，再根据正弦定理求得外接圆的半径，即可求解. 【详解】在中，， 由余弦定理得， ， 设外接圆的半径为， 由正弦定理得， 外接圆的面积为. 故选：C. 25．（2024高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则外接圆的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合余弦定理求出，再结合正弦定理即可得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得，则， 又，由正弦定理有（为外接圆半径）， ∴  ， 故外接圆的直径为. 故选：D 26．（2024高一下·福建龙岩·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若， 则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理进行边化角化简可得，根据余弦值求出，代入上式可求得外接圆半径从而求出外接圆面积. 【详解】由题意及正弦定理得 (R为的外接圆半径)，即， 又及，知， ，解得， 所以外接圆面积. 故选：C 题型7：正余弦定理的综合应用 27．（2024高三上·全国·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，若，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理角化边可得，从而可得的值，再由余弦定理可得的值. 【详解】由于，由正弦定理可得， 因为解得， 又，由余弦定理得， 解得． 故答案为：. 28．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）在中，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理即可求得，利用基本不等式即可求出其最小值为. 【详解】设， 则在中，， 在中，， 所以； 当且仅当，即时，等号成立； 即的最小值为. 故答案为： 29．（2024高二上·湖南长沙·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，得到，利用正弦定理角转边，得到，再利用余弦定理即可求出结果； （2）利用条件，结合，得到，再利用基本不等式，得到，从而求出结果. 【详解】（1）由已知，得， 在中，由正弦定理得，即． 再由余弦定理得． 又，所以. （2）因为是角的平分线，则， 又， 又，所以，得到， 又因为，得到，解得，即， 当且仅当时等号成立，所以， 即面积的最小值是． 30．（2024高三上·上海松江·期末）在中，设角及所对边的边长分别为及，若，，，则边长 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换求得，再次利用正弦定理求得. 【详解】由正弦定理得，即， ， 由于，所以为锐角，, 所以， 由正弦定理得， 则. 故答案为： 31．（2024高三上·四川广安·阶段练习）在中，，点D在线段上，且满足，，则等于 . 【答案】/0.75 【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得的值. 【详解】 在中，角对应的边分别为，点D在线段上，且满足， 所以，又， 所以由角平分线定理可得，所以，则， 又，所以，则， 由正弦定理得. 故答案为：. （六） 三角形的面积、周长问题 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解 题型8：三角形的面积、周长问题 32．（2024高三上·贵州黔东南·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)D是边BC上的一点，且，AD平分，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形中即可求解； （2）由两三角形面积比关系可得两边之比，再用向量方法表示，两边平方建立方程解得边长，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理知： 所以 由得， 由，所以则， 由，所以. （2）如图，由， 且，AD平分， 得， 令，则，又，且， 因为， 所以 ， 即：， 化简得，所以，即，， 故的面积.    33．（2024高三上·广东深圳·开学考试）在中，内角所对的边分别为，已知，且. (1)求的值； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式以及两角和的余弦公式求得正确答案. （2）先求得，然后利用三角形的面积公式求得正确答案. 【详解】（1）. . 由正弦定理可得. （2）， 所以的面积. 34．（四川省内江市2024届高三一模数学（文）试题）的内角、、所对的边分别为、、，，． (1)求角的大小； (2)为的重心，的延长线交于点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用诱导公式，正弦定理及正弦二倍角公式化简可得结果； （2）分别在，和中，利用余弦定理建立等量关系，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理可得,，，即， 所以，，， 故，即. （2）因为为的重心，的延长线交于点，且， 所以点为中点，且，在中，，，即， 在和中，,化简得， 所以，故， 所以的面积为． 35．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）设内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，且的面积为，求角的角平分线的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理把边转化为角，结合诱导公式和二倍角公式变形即可得到角； （2）在中根据面积公式求得边，再由角平分线分得的两个三角形的面积之和等于大三角形的面积，列式求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得, 因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以, 因为，所以，所以， 所以，即； （2）因为，，所以, 即， 设的角平分线交于，因为， 所以，所以. 36．（2024高二上·浙江·期中）在中，角所对的边分别为且. (1)求的值； (2)若的面积为，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可得，可求出； （2）利用余弦定理以及边的比例关系可求出，再由面积计算可得，即可求得边上的高为. 【详解】（1）利用正弦定理由可得， 又在中，易知，可得，所以； 即， 可得，显然，所以， 所以，又，可得； （2）由余弦定理可得， 代入整理可得， 解得或（舍）； 所以的面积为，解得，所以； 设边上的高为，则，可得， 即边上的高为. 37．（2024高三上·山西朔州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，， (1)求角B的大小； (2)若的面积为，周长为3b，求AC边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式化简即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理可求得，从而得解. 【详解】（1）由已知结合正弦定理边化角可得， 又， 代入整理可得， 因为，所以， 又，所以， （2）由及可得，， 又周长为3b，则，所以， 根据余弦定理可得，， 整理可得， 设AC边上的高为h，则，解得， 所以AC边上的高为. 38．（2024高二上·云南昆明·期末）在中，内角A，B，C对的边长分别为a，b，C，且. (1)求角A； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理，，据此可得答案； （2），又由（1）可知，则再利用辅助角公式与三角函数有界性可得答案. 【详解】（1）由正弦定理， ， 又在三角形中，. 则，又， 得，结合，知. （2）由正弦定理，可知. 则. 又由（1）可知， 则. ，因，则， 故当，即时，取最大值. 39．（2024高一下·广东清远·期中）在中，若，，，则的周长等于（    ） A．8 B．16 C．10 D．20 【答案】C 【分析】由已知条件利用余弦定理求出，从而可求出的周长 【详解】因为，，， 由余弦定理得， 所以. 所以的周长为. 故选：C. 40．（2024高一下·吉林白山·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为，且，，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由面积公式求出，最后由余弦定理及完全平方公式求出，即可得解； 【详解】解：因为，所以． 由，得． 由余弦定理，得， 得，即，所以的周长为． 故选：D 41．（2024高一下·四川内江·期中）已知在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A＝60°，BC=4，则△ABC的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理将周长表达为关于B的函数，然后利用△ABC为锐角三角形求出定义域，再算值域即可. 【详解】由正弦定理，又A＝60°，BC=4 所以 因为△ABC为锐角三角形，所以 所以，所以 所以周长的取值范围是. 故选：A. 42．（2024高一下·辽宁抚顺·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理、面积公式及函数的单调性可求解. 【详解】由题意得，因为，所以．由余弦定理，得，得，则．因为函数在上单调递增，所以当最小时，的周长最小．又（当且仅当时，等号成立），所以．故当的周长取到最小值时，． 故选：A 一、单选题 1．（2024高一下·宁夏银川·阶段练习）在中，，则角（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据正弦定理变形求解即得. 【详解】由正弦定理，，则，因，则或，因，故,即两解均符合题意. 故选：D. 2．（2024高二上·海南省直辖县级单位·开学考试）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求得正确答案. 【详解】由正弦定理得， . 故选：D 3．（2024高三上·福建泉州·阶段练习）设的内角的对边分别为，若则的值可以为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理求出，结合求出答案. 【详解】由正弦定理得，即， 故， 因为，所以，故. 故选：A 4．（2024高三上·陕西安康·阶段练习）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用正弦定理将进行边化角，可得的值，再结合余弦定理和基本不等式即得． 【详解】解析：由正弦定理得， ∵ , ∴，，，由余弦定理得： ，， 当且仅当时取等号，此时． 5．（2024高三下·河南濮阳·开学考试）已知的内角的对边分别是.若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系求出，根据正弦定理求得，（R为外接圆半径），再根据正弦定理边化角，即可求得答案. 【详解】由题意知中，，故， 故，（R为外接圆半径）， 故， 故选：D 6．（2024高三上·内蒙古通辽·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，结合正弦定理即可得解. 【详解】在中，， 因为，所以， 则由正弦定理得. 故选：B． 7．（2024高一下·上海·课后作业）在解三角形中，已知、、，给出下列说法： ①若，且，则此三角形不存在； ②若，则此三角形最多有一解； ③当，，则三角形不一定存在； ④若，且，则此三角形为直角三角形，且； ⑤当，且，则三角形有两解. 其中正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由已知的、、，根据正弦定理表示出，根据大边对大角和大角对大边与三角形的内角和定理即可判断①②③④；对于⑤，取一个特例时，，由为锐角，得到也为锐角，由此可得结论． 【详解】解：根据正弦定理得：， 对于①若，且，根据大边对大角有，与内角和定理矛盾，则此三角形不存在，故①对； ②若，则为直角或钝角，则一定为锐角，即此三角形最多有一解，故②对； ③当，，根据大边对大角有，与三角形的内角和定理矛盾，则三角形一定不存在，故③错； ④若，且，则，则，故④对； ⑤当时，，此三角形为等腰三角形，只有一解，当，且时，三角形不一定有两解，故⑤错； 则其中正确说法的个数为3个． 故选：C． 8．（2024高三上·北京大兴·期中）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，画出和边长，以为圆心，为半径作圆与边有两个交点时即可求出的取值范围. 【详解】根据题意如下图所示：    易知当时，，若满足条件的三角形只有一个； 由题可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点时，即图中两点满足题意； 所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：C 9．（2024高三上·天津南开·阶段练习）在中，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据题意利用倍角公式和正弦定理结合充分、必要条件分析判断. 【分析】在中，，则， 因为，等价于，等价于， 由正弦定理可知：等价于， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 10．（2024高三上·北京东城·阶段练习）在中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解，即可根据正弦定理求解. 【详解】由余弦定理可得, 由正弦定理可得, 故选：B 11．（2024高三上·北京·开学考试）在中，，，，若满足条件的有两个，则的可能取值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据满足条件的有两个，可得出，求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为，，，且满足条件的有两个， 则，即，解得. 故选：B. 12．（2024高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且，则角B的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边化角可得，进而可得. 【详解】在中，因，由正弦定理可得 ， 因，所以，故，即， 又因，所以， 故选：A 13．（2024高一下·湖南株洲·阶段练习）在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值. 【详解】设， 因为，所以，① 因为，且， 所以， 由正弦定理可得，② 又，所以，③ 由①，②，③解得， 由余弦定理，所以， ， 因为点三点共线， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 14．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）在中，内角、、对应边分别为、、，已知，且角的平分线交于点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合正弦定理、三角恒等变换化简可得出角的值，利用可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本呢不等式可求得的最小值. 【详解】因为，所以，， 由正弦定理可得， 因为、，则，所以，，可得， 因为角的平分线交于点，， 由，即， 所以，，所以，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 15．（2024高二上·湖南邵阳·阶段练习）在钝角中，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理、两角差的正弦公式和正切函数的性质求解即可. 【详解】由正弦定理得， 所以， 因为钝角中，， 当为锐角时，，得，则， 所以，则，所以； 当为钝角时，，得，则， 所以，则，所以； 综上：． 故选：C. 16．（2024高二上·河南信阳·期末）中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，交AC于点D，且，的最小值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据题意由面积关系可得，再结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，即， 整理得， 则． 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为． 故选：B. 17．（2024·陕西）设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， ， 所以，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 二、多选题 18．（2024高三上·河北邢台·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】BC 【分析】由正弦定理得到或，分两种情况，求出答案. 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为， 所以， 即， 所以，所以或． 当时，，因为，所以， 所以，，则， 当时，， 综上：的值为或2. 故选：BC 19．（2024高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）在中角，，所对的边分别为，，，以下叙述或变形中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据正弦定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，由正弦定理得，A选项正确. B选项，由正弦定理得， 而当时，则或，则或， 所以B选项错误. C选项，由正弦定理得， 所以，所以C选项正确. D选项，，由正弦定理得， 所以D选项正确. 故选：ACD 三、填空题 20．（2024高一·全国·课后作业）的外接圆半径为3，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】因为的外接圆半径为3， 由正弦定理可得：， 则有，， 所以， 故答案为：. 21．（2024高三上·天津滨海新·开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.设，，试用，表示为 ，若，的面积为，则的最小值为 . 【答案】 6 【分析】由图形特征，利用向量的线性运算，用，表示；根据的面积求得的值，利用平面向量的线性运算与数量积运算求出，利用基本不等式求出它取最小值. 【详解】如图所示，中，， 是边的中点，是线段的中点，则， ， 即； 由的面积为，得， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为6. 故答案为：；6 22．（2024高三上·江西·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用正弦定理与三角恒等变换. 【详解】因为，所以，则有， 因为,所以，所以. 故的面积为. 故答案为:. 23．（2024高一下·全国·随堂练习）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，则当的周长最大时，的面积为 【答案】 【分析】利用正弦定理将进行边化角，可得的值，再结合余弦定理和基本不等式即得． 【详解】因为，由正弦定理得， 且，则 ，可得， 则，解得或 且，可知，可得，， 由余弦定理得：， 即，可得， 当且仅当时取等号，解得， 所以的面积为． 故答案为：. 四、解答题 24．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用降幂公式及两角和正弦公式化简得，根据最小正周期公式即得. （2）由（1）得，利用正弦面积公式与余弦定理得到，再借助正弦定理得结果. 【详解】（1） ， 的最小正周期； （2）由，可得，又， ，， ， 由，得， 由余弦定理得：，得， 由正弦定理得外接圆的半径. 25．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，内角所对的边分别为且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可； （2）由的面积为可得，再根据余弦定理即可得，进而求得周长. 【详解】（1）由正弦定理，即，由余弦定理，且，故. （2）由题意，解得. 由余弦定理，可得. 故的周长为 26．（2024高三·江西抚州·开学考试）已知在非钝角中，角所对的边分别为. (1)求； (2)若的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求的周长. ①；②. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案. （2）若选①，根据三角形面积求得，求出,由余弦定理结合完全平方公式求得，即得答案；选②，根据三角形面积求得，求出,由余弦定理求得，解方程组求出，即得答案. 【详解】（1）由及正弦定理得， 整理得, 因为， 所以， 因为在锐角中,， 所以. （2）若选①：由的面积为1，得，所以， 在锐角中，由，得， 由余弦定理得 ， 所以， 所以，即的周长为. 若选②：由的面积为1，得，所以， 在锐角中，由，得， 由余弦定理得，即， 由,解得， 所以， 所以的周长为. 27．（2024·贵州铜仁·模拟预测）在中，已知，，． (1)求角； (2)若为锐角三角形，且，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用两角和的正切公式化简等式，利用诱导公式求出，再利用正弦定理求出角； （2）根据得到点为三角形重心，由直接求解即可. 【详解】（1）， 在三角形中，， ，，， 在中，， ， 又， ，， 由正弦定理，得， ，或； （2）因为为锐角三角形，所以， ， 点为三角形重心， 所以， 又， 所以， 所以的面积为. 28．（2024高一下·广东广州·阶段练习）如图．在锐角中，边上的中线长为，且，．    (1)求边的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合诱导公式利用正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以在锐角中，， 由正弦定理得，， 即，解得. （2）由（1）知， ， 因为，为锐角三角形，所以， 由余弦定理得，， 解得或， 又， 所以，， 所以的面积为. 29．（2024高三上·山东泰安·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)若，求； (2)延长BC至点D，使得，若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理边角互化、余弦定理分析运算即可得解. （2）利用余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积公式、基本不等式分析运算即可得解. 【详解】（1）解：由题意，，，， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）解： 如上图，由（1）知， ∵，∴， ∴在中，，又知， ∴. ∵， ∴在中，， ∴， ∴. ∴ ， 当且仅当即时，等号成立， ∴的面积最大值为4. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$