精品解析：福建省福州教育学院附属中学2024-2025学年上学期期末八年级数学模拟试卷

2024-2025初二上期末数学模拟试卷1 一、单选题 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，那么数据0.00000201用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的相关运算以及完全平方公式，涉及了同底数幂的乘除法、积的乘方，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 故选：C． 4. 在以下列线段a、b、c的长为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足关系时，则三角形为直角三角形．根据直角三角形的判定逐项判定即可． 【详解】解：．因为，故不能构成直角三角形，该选项符合题意； ． 因为，故能构成直角三角形，该选项不符合题意； ．由，设，，， 因为，故能构成直角三角形，该选项不符合题意； ．因，故能构成直角三角形，该选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．利用平方差公式、完全平方公式逐一分析即可． 【详解】解： ，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 6. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质：分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变，进行判断即可． 【详解】解：A．，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的整式，不可以分子除以m、分母除以n，故此选项不合题意； B．，此选项正确，符合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 故选：B． 7. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含有开得尽方因数或因式，根据定义逐一判断即可. 【详解】解： 故A，C，D不符合题意； 是最简二次根式，故B符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是最简二次根式的含义，掌握“最简二次根式的定义判断最简二次根式”是解本题的关键. 8. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出的取值范围．此题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键，注意要排除产生增根时的值． 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 关于的方程的解为正数， ， 解得， 当时，， 解得：， 的取值范围是：且． 故选：B． 9. 若分式的值为0，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为零的条件解答即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（   ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得，可判断正确；由，可得，可判断②错误；延长交x轴于E点，由，可得，由可得，进而可得，可判断③正确；由的长为定值，且可得的长也为定值，可判断④错误． 【详解】解： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 故①正确； ，， ， 故②错误； 如图，延长交x轴于E点， ，， ， ， ， ， ∴所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变为． 故③正确； ∵点A轴正半轴上一个定点， ∴的长为定值， ， ∴， ∴的长为定值， ∴随点的向上移动，线段的值不变， 故④错误． 综上，说法正确的为①③． 故选：B 【点睛】本题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 二、填空题 11. 分解因式：_______． 【答案】y（x+3）（x-3） 【解析】 【分析】先提取公因式y，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案． 【详解】解：x2y-9y=y（x2-9）=y（x+3）（x-3）． 故答案为：y（x+3）（x-3）． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底． 12. 有意义，则x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得． 故答案为：． 13. 已知，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用，以及二次根式的性质．把变形为 ，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】取格点E，连接、，根据平行线的性质得出，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质求出，证明为直角三角形，，根据等腰三角形性质求出，即可求出结果． 【详解】解：取格点E，连接、，如图所示： 根据格点特点可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟记勾股定理和逆定理． 15. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得的值． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且， 由题意可知：，，， ∵， 即， 则， ∴， 解得． 故答案为：． 16. 如图，中，，，为射线上一动点，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形．为上一点，，连接．当取最小值时，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交的延长线于，作交的于，作射线，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，由角平分线的判定定理得是的平分线，由可判定，由全等三角形的性质得， 由两点之间连线段最短得当、、三点共线时，最小，此时，即可求解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，作交的于，作射线，连接， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 在和中 ()， ， 是的平分线， 在上运动， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()， ， ， 当、、三点共线时，最小， 如图，此时， 此时，同理可证：， ， ； 故答案：； 【点睛】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的性质，角平分线的判定定理，全等三角形的判定及性质，两点之间连线段最短；掌握判定方法及性质，构建全等三角形，将问题转化为“将军饮马”典型问题，从而找出线段和取得最小值的条件是解题的关键． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算： （1）先根据零指数幂，负整数指数幂立方根的性质化简，再计算，即可求解； （2）先计算乘除，再合并，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，掌握分式和二次根式运算的运算法则是解题关键．先算括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝， 当时， 原式＝ 19. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，二次根式的性质，由二次根式的性质进行化简，再根据数轴分别判断，，的正负，去掉绝对值，最后合并同类项即可，掌握知识点的应用解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，，， ∴ ， ． 20. 如图，在等边中，点，在边上，，点是点关于的对称点，连，． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，轴对称的性质： （1）根据等边三角形的性质得到，进而证明，即可证明； （2）由轴对称的性质得到，进而推出，再证明，即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点是点关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴是等边三角形． 21. 如图，在中，，，，点C和点D关于直线对称． （1）求作点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） （2）连接，过点C作交的延长线于点E，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了作图，平行线的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图以及平行线的性质是解题的关键 （1）在的上方作，在射线上截取，使，点D即为所求； （2）过 A 作 于 H，设交直线于 G，分别求出，可得结论 【小问1详解】 如图所示 【小问2详解】 过 A 作 于 H，设交直线于 G， ，， ，， 由， ， 解得 ， ， 点C和点D关于直线对称， ， ， ， ， ， 是线段的垂直平分线， 在中，，， ， ， 22. 已知． （1）求的值； （2）若的小数部分是的小数部分是，求的值． 【答案】（1）35 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的混合运算、无理数的估算、立方根等知识，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先将进行分母有理化，再利用完全平方公式进行变形，代入计算即可得； （2）先根据无理数估算分别求出的值，再代入计算即可得． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，， ∵的小数部分是的小数部分是， ∴，， ∴ ． 23. 某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2400元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该中学决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元 （2）该中学此次最多可购买20个B品牌足球 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要元，根据等量关系列分式方程，解方程即可； （2）设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买个A品牌足球，根据不等关系列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元． 【小问2详解】 解：设该中学此次可以购买m个B品牌足球，则可以购买个A品牌足球， 依题意得：， 解得：． 答：该中学此次最多可购买20个B品牌足球． 24. 参观完蟳埔村古民居，小强随着父母一起散步到蟳埔村海边，欣赏海边美景，来到一个休闲娱乐场所，喜欢台球运动的小强爸爸兴致勃勃教小强打台球，并告诉小强如何利用数学知识击打台球．如图所示，若长方形表示台球桌，在点处的白色球体经过击打，在台球桌边的点反弹后，恰好碰到在点的蓝色球体．请你帮小强解决下列个问题．其中，在解决问题时，小强爸爸给他补充了八年级勾股定理的知识： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．我们把这个结论称为勾股定理． 例如，在如图所示的直角中，，若， ，则由勾股定理得：，所以． （1）请帮助小强找到台球桌边点的位置（在图中画出，保留痕迹）； （2）若白色球体到台球桌边的距离为，蓝色球体到台球桌边的距离为，白色球体与蓝色球体的水平距离为，试求在问题（1）中白色球体的运动距离（忽略球体的大小）； （3）小强爸爸老王发现在台球室原有名顾客，过了一会儿有名顾客离开，老王问小强台球室原来有多少名顾客？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）名 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了点的对称，勾股定理，一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上知识． （1）过点作，延长至，使得，连接交于点，作答即可； （2）过点作于点，过点作于点，在直角中，由勾股定理得：，进而作答即可； （3）根据题意得，再根据为正整数，即可求出结果． 【小问1详解】 解：过点作，延长至，使得，连接交于点，如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 由题意得，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 白球的运动距离为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得：， 为正整数， ，（名）， 答；台球室原来有名顾客． 25. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（ ） ②与（ ） ③与（ ） （2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）①√ ②× ③√ （2）或 （3）①；②的最小值为 【解析】 【分析】根据定义解答即可得解； 先由定义得出或，解方程即可得解； ①恒等变形得出，然后由新定义即可得解，②先将代数式变形成，然后通过配方利用非负数的性质得出，最后代入即可得解． 【小问1详解】 ∵， ∴①与互为“差值代数式”， ∵， ∴②与不互为“差值代数式”， ∵， ∴③与互为“差值代数式”， 故答案为：①√ ②× ③√； 【小问2详解】 由题可知， ∴或， ∴或， 综上所述或； 【小问3详解】 ①， ， ， ， ， 互为“差整值代数式”， ， ②， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，二次根式的加减运算，因式分解，分式的混合运算，利用平方根解方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握其性质并能灵活对代数式进行恒等变形是解决此题的关键． 26. 如图1，在等边中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，． （1）若，求线段的长； （2）如图2，连接，延长交于点，当取最大值时，求证：； （3）在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕点旋转，连接，，分别取，的中点，，连接，若的边长为4，当点落在直线上时，直接写出长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据线段绕点逆时针旋转60°得到线段，可知为等边三角形，再证，可知，从而求得答案； （2）过点作交的延长线于点，由（1）可知，，，从而知道，推出，借助平角可求得，借助证明，可知为中点，，，推出当最大时，与重合，又因为，， 那么此时点在的中点，从而得证； （3）当点在线段的延长线时，取的中点，连接，，过点作交的延长线于点，先求得，利用三角形中位线，求得、以及，在用勾股定理，求得，最后在用勾股定理，求得；当点在线段时，连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接，取的中点，连接，作交于点，先求得和的长度，然后计算出，然后在中用勾股定理求得和，然后利用是三角形中位线求得，从而求得，，然后判定为等边三角形，推导出，从而得到，，最后在中用勾股定理求得，从而得到． 【小问1详解】 解：是等边三角形 ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点 由（1）可知， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段 ， 是等边三角形 ， ， 又 ， 最大时，与重合 又， 那么此时点在的中点，如图所示： ， 【小问3详解】 解：①当点在线段的延长线时，如图所示： 由（1）可知，是等边三角形， 等边的边长为4， ，，， ， ， 取的中点，连接，，过点作交的延长线于点 ，， ， ， ， ， ， ②当点在线段时，连接，如图所示： 由（1）可知，是等边三角形，，是等边三角形， ， 是中点 是的中点 是等边三角形，是中点 ， 过点作交的延长线于点 在中，， ， 在中， 取的中点，连接 ，， ， 取中点，连接 ， ， 是等边三角形 作交于点 ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平角的定义，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025初二上期末数学模拟试卷1 一、单选题 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，那么数据0.00000201用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在以下列线段a、b、c的长为三角形的三边，不能构成直角三角形的是（ ） A. ， B. C. D. 5. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 9. 若分式的值为0，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（   ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题 11. 分解因式：_______． 12. 有意义，则x的取值范围为______． 13. 已知，则的值为______． 14. 如图，在正方形网格，四边形的四个顶点都在格点上，则的度数为______． 15. 如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是__________． 16. 如图，中，，，为射线上一动点，以为底边，在左侧作等腰直角三角形．为上一点，，连接．当取最小值时，则的度数为_________． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2） 18. 先化简再求值：，其中． 19. 实数，在数轴上位置如图所示，化简：． 20. 如图，在等边中，点，在边上，，点是点关于的对称点，连，． （1）求证：； （2）求证：等边三角形． 21. 如图，在中，，，，点C和点D关于直线对称． （1）求作点D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程） （2）连接，过点C作交的延长线于点E，求的长度． 22. 已知． （1）求值； （2）若小数部分是的小数部分是，求的值． 23. 某中学开学初在商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了3000元，购买B品牌足球花费了2400元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元； （2）该中学决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3060元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？ 24. 参观完蟳埔村古民居，小强随着父母一起散步到蟳埔村海边，欣赏海边美景，来到一个休闲娱乐场所，喜欢台球运动的小强爸爸兴致勃勃教小强打台球，并告诉小强如何利用数学知识击打台球．如图所示，若长方形表示台球桌，在点处的白色球体经过击打，在台球桌边的点反弹后，恰好碰到在点的蓝色球体．请你帮小强解决下列个问题．其中，在解决问题时，小强爸爸给他补充了八年级勾股定理的知识： 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．我们把这个结论称为勾股定理． 例如，在如图所示的直角中，，若， ，则由勾股定理得：，所以． （1）请帮助小强找到台球桌边点的位置（在图中画出，保留痕迹）； （2）若白色球体到台球桌边的距离为，蓝色球体到台球桌边的距离为，白色球体与蓝色球体的水平距离为，试求在问题（1）中白色球体的运动距离（忽略球体的大小）； （3）小强爸爸老王发现在台球室原有名顾客，过了一会儿有名顾客离开，老王问小强台球室原来有多少名顾客？ 25. 我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（ ） ②与（ ） ③与（ ） （2）已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； （3）已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 26. 如图1，在等边中，点是边上一动点（点不与，重合），连接，过点作于点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，． （1）若，求线段的长； （2）如图2，连接，延长交于点，当取最大值时，求证：； （3）在（2）的条件下，当取最大值时，连接，将绕点旋转，连接，，分别取，的中点，，连接，若的边长为4，当点落在直线上时，直接写出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$