第22章 二次函数 单元测试 2024--2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y=2x+1 B．y=x（x-1） C． D．y=（x-1）2-x2 2．若抛物线y=ax2+c经过点P（1，-2），则它也经过（　　） A．P1（-1，-2） B．P2（-1，2） C．P3（1，2） D．P4（2，1） 3．抛物线y=-4x2+2x-1向上平移4个单位长度后的函数解析式为（　　） A．y=-4x2+2x+3 B．y=4x2+2x+4 C．y=-4x2+2x-5 D．y=x2+2x+3 4．若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．±1 D．-2 5．设二次函数y=x2-kx+3k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1-y3=a,y2-y4=b,（　　） A．若ab＜0，且a+b＜0，则k＞5 B．若ab＞0，且a+b＜0，则k＜4 C．若ab＜0，且a+b＞0，则k＜5 D．若ab＞0，且a+b＞0，则k＞6 6．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，下列说法错误的是（　　） A．y的最大值是4 B．当-4＜x＜1时，函数值y＞0 C．当x＜-1时，y随x的增大而增大 D．函数的图象关于直线x=-1对称 7．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P=at2+bt+c（a≠0，a,b,c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　） A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 8．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列判断中不正确的是（　　） A．a＜0 B．b＜0 C．c＞0 D．a+b+c＜0 9．抛物线y=x2，y=-x2-1，y=x2共有的性质是（　　） A．开口向上 B．对称轴为y轴 C．都有最低点 D．开口大小相同 10．已知二次函数y=-（x-m）2-m+1（m为常数），则下列说法错误的是（　　） A．这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上 B．存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形 C．点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m,则y1＜y2 D．当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2 11．如图，四边形ABCD是正方形，A（1，4），C（3，-2），抛物线y=-x2+bx经过点D，则b的值是（　　） A． B． C．5 D． 12．已知抛物线y=（ax+1）（x-1）的顶点为P（m,n），与y轴的交点在线段EF上，E（0，-2），F（0，2）．下列结论正确的有（　　） ①该抛物线必过点（1，0）． ②a≤-0.5或a≥0.5． ③x≥1.5时，y随x的增大而增大． ④-． A．①②③④ B．①③ C．①② D．①②③ 二．填空题（共5小题） 13．将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 ______． 14．抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移1个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则c=______． 15．把抛物线=x2-2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是 ______． 16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a-b+c的值为 ______． 17．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=1，下列结论： ①2a+b=0； ②当m≠-1时，am2-b（m+1）＜a； ③若点A（-2，y1），点B（，y2），点C（，y3）均在该图象上，则y1＜y3＜y2； ④若关于x的方程a（x+1）（x-3）=p（p＞0）的两根都是整数，则这样的p值有3个． 其中正确的结论有 ______（填序号）． 三．解答题（共5小题） 18．已知抛物线y=x2-2x-3与轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． （1）当0＜x＜2时，求y的取值范围； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB=12，求出点P的坐标． 19．已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，顶点在x轴上？ 20．如图，已知二次函数y=x2+x+c与直线y=-x+b相交于点B（1，0）和C，与x轴交于另一点A，与y轴交于点D． （1）求二次函数解析式和一次函数解析式； （2）连接AD，将线段AD绕点D顺时针旋转90°得到线段ED．试判断点E是否在抛物线上； （3）记抛物线点A与点D之间的图象为U（不包括点A和点D），若将直线BC向下平移h（h＞0）个单位长度，与图象U恰有一个公共点，直接写出h的取值范围． 21．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图． （1）若抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为（0，2），当y＜2时，求x的取值范围． （2）在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点M（x1，-2024），N（x2，-2024），求当x=x1+x2时，二次函数的值． （3）若此抛物线图象上有两点（x1，m），（x2，m），当x=x1+x2时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 22．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，OA=OC． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求△ABC外接圆半径； （3）如图2，C与△ABC的外心所在的直线交抛物线于点E，点P是抛物线上的一个动点（不与A、B、C重合），作直线PM⊥x轴于点M，交直线CE于点N，直线CE交x轴于点H，连接BP，是否存在点P，使△BPM与△MNH相似？若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 人教版九年级上第22章二次函数单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、A 3、A 4、B 5、D 6、B 7、C 8、D 9、B 10、C 11、B 12、D  二．填空题（共5小题） 13、y=（x+1）2； 14、-2； 15、y=（x-2）2+1； 16、0； 17、①②③；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）y=x2-2x-3的对称轴是直线x=1． 将x=1代入y=x2-2x-3得y=12-2×1-3=-4． 而x=0时y=-3，x=2时y=22-2×2-3=-3． ∴y的取值范围是-4≤y＜-3． （2）令x2-2x-3=0，得x=-1或x=3， ∴A（-1，0），B（3，0） ∴AB=4． ∵， ∴． ∴|yp|=6． ∴yp=-6或yp=6． 在y=x2-2x-3中令y=-6得，x2-2x-3=-6即x2-2x+3=0． ∴Δ=（-2）2-4×1×3=-8＜0，方程无解． 在y=x2-2x-3中，令y=6，得x2-2x-3=6， ∴（x-1）2=10． ∴，． ∴点P的坐标是或． 19、（1）证明：∵Δ=b2-4ac=（-2m）2-4×1×（m2+3）=4m2-4m2-12=-12＜0， ∴一元二次方程x2-2mx+m2+3=0没有实数解， 即：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点； （2）解：将二次函数y=x2-2mx+m2+3化成顶点式，得： y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3， 平移后得到二次函数y=（x-m）2的图象，它的顶点坐标是（m,0）， ∴二次函数y=（x-m）2的图象的顶点在x轴上， ∴顶点在x轴上， 答：把该函数的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，顶点在x轴上． 20、解：（1）∵二次函数与直线相交于点B（1，0）， ∴，， ∴，， ∴二次函数解析式为， 一次函数解析式为； （2）不在，理由如下： 如图，过点E作EH⊥y轴于点H， 令，则x1=-3，x2=1， ∴A（-3，0），， ∴OA=3，， ∵∠AOD=∠ADE=∠EHD=90°， ∴∠ADO+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°， ∴∠ADO=∠DEH， ∵AD=DE， ∴△ADO≌△DEH（AAS）， ∴AO=DH=3，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴不在抛物线上； （3）如图，当直线BC平移至点A和点D之间或与抛物线相切时，与图象U恰有一个公共点， 由（2）可知A（-3，0），， 将点A（-3，0）代入得， 解得， 将点代入得， 解得， 联立， 得3x2+8x-11+6h3=0， ∵方程有且只有一个实数根， ∴82-4×3（-11+6h3）=0， 解得， ∴h的取值范围是或． 21、解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为（0，2）， ∴点（0，2）关于直线x=1的对称点为（2，2）， ∴当y＜2时，x的取值范围为x＜0或x＞2； （2）∵M（x1，-2024），N（x2，-2024）， ∴点M与点N关于直线x=1对称， ∴=1， ∴x1+x2=2， ∵x=x1+x2， ∴x=2， 当x=2时，函数的值y=2； （3）函数值与解析式中的系数c有关， 理由：∵两点（x1，m），（x2，m）， ∴两点（x1，m），（x2，m）关于对称轴直线x=-对称， ∵=-， ∴x1+x2=-， ∵x=x1+x2， ∴当x=-时，y=a（-）2+b（-）+c=c, 即函数值与解析式中的系数c有关． 22、解：（1）在y=ax2+2ax+c中，令x=0得y=c, ∴C（0，c）， ∵OA=OC， ∴A（-c,0）， 把A（-c,0），B（1，0）代入y=ax2+2ax+c得： ， 解得或（舍去）， ∴抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+3； （2）设点D是△ABC的外心，连接DA，DB，DC，如图： 由y=-x2-2x+3得C（0，3）， ∵点D是△ABC的外心， ∴D在AB的垂直平分线上， ∵A（-3，0），B（1，0）， ∴D的横坐标为=-1， 设D（-1，t）， ∵DB=DC， ∴（-1-1）2+（t-0）2=（-1-0）2+（t-3）2， 解得t=1， ∴D（-1，1）， ∴DB==， ∴△ABC外接圆半径为； （3）存在点P，使△BPM与△MNH相似，理由如下： 如图： 设直线DC解析式为y=kx+3，将D（-1，1）代入得： -k+3=1， 解得k=2， ∴直线DC解析式为y=2x+3， 解得或， ∴E（-4，-5）； 由y=2x+3得H（-，0）， 设P（m,-m2-2m+3），则M（m,0），N（m,2m+3）， ∴PM=|-m2-2m+3|，BM=|m-1|，MN=|2m+3|，MH=|m+|， ∵∠BMP=90°=∠NMH， ∴要使△BPM与△MNH相似，只需=或=， 即=或=， 当=时， 解得m=-5或m=1（与B重合，舍去）或m=-（增根，舍去）， ∴P（-5，-12）； 当=-时， 解得m=-1或m=1（与B重合，舍去）或m=-（增根，舍去）， ∴P（-1，4）； 当=时， 解得m=-或m=1（与B重合，舍去）或m=-（增根，舍去）， ∴P（-，-）， 当当=-时， 解得m=-或m=1（与B重合，舍去）或m=-（增根，舍去）， ∴P（-，）， 综上所述，P的坐标为（-5，-12）或（-1，4）或（-，-）或（-，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$