专题24 一次函数图象的平移、对称与旋转-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题24 一次函数图象的平移、对称与旋转（原卷版） 模块一 一次函数的图象的平移 类型一 沿坐标轴方向平移 1．（2020•青山区二模）直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后与x轴的交点坐标是（﹣3，0），以下各点在直线y＝kx上的是（　　） A．（﹣4，0） B．（0，3） C．（3，﹣4） D．（﹣4，3） 类型二 由平移求参数 2．（2024春•廊坊月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，点D，B的坐标分别为（3，3），（9，0），过点D的正比例函数y＝kx的图象上有一点P，且，将y＝kx的图象沿y轴向下平移得到y＝kx+b的图象．若点P落在长方形ABCD的内部（不含边界），则b的取值范围是 　 ． 3．（2024春•获嘉县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为4，点C的坐标为（﹣1，0），将直线y＝﹣x+5向下平移m个单位长度后，与正方形ABCD有且只有一个交点，则m的值为 　 ． 4．（2024春•洪山区期中）在平面直角坐标系中，A（﹣5，a），B（b，5），C（c，n），且（b+2）2+|2c+4|＝0． （1）直接写出点A，B的坐标及c的值； （2）如图1，若三角形ABC的面积为9，求点C的坐标； （3）如图2，将线段AB向右平移m个单位长度得到线段DE（点A与D对应，点B与E对应），若直线DE恰好经过点C，求m，n之间的数量关系． 模块二 一次函数的对称 5．（2024•金平区二模）若直线y＝kx+3与直线y＝﹣2x+b关于直线y＝2对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝2、b＝3 C．k＝﹣2、b＝﹣3 D．k＝2、b＝1 6．（2024•昌吉州一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在y轴上的点B′处，则点M的坐标是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0） 7．（2023春•锦江区期中）已知直线l1：y＝k1x+b1经过点（0，﹣1），直线l2：y＝k2x+b2经过点（3，1），且直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称，则关于x的不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是 　 ． 模块三 一次函数图像的旋转 8．（2024•环翠区模拟）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A（4，0）和点B（0，﹣2），则原一次函数的表达式为（　　） A．yx﹣1 B．yx+1 C．yx+1 D．yx﹣1 9．（2024春•鲤城区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0），B（0，﹣6）． （1）求一次函数的解析式． （2）若将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数解析式． 10．（2022春•安溪县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C． （1）点A坐标是（ 　　， 　）、点B坐标是（ 　，　 　）； （2）求直线BC的函数表达式； （3）点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一次函数图象的平移、对称与旋转（解析版） 模块一 一次函数的图象的平移 类型一 沿坐标轴方向平移 1．（2020•青山区二模）直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后与x轴的交点坐标是（﹣3，0），以下各点在直线y＝kx上的是（　　） A．（﹣4，0） B．（0，3） C．（3，﹣4） D．（﹣4，3） 【分析】根据“上加下减”的原则求解即可． 【解答】解：直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后的解析式为y＝kx﹣4， 把x＝﹣3，y＝0代入y＝kx﹣4中，﹣3k﹣4＝0， 解得：k， 所以直线y＝kx的解析式为：yx， 当x＝3时，y＝﹣4， 当x＝﹣4时，y， 当x＝0时，y＝0， 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键． 类型二 由平移求参数 2．（2024春•廊坊月考）如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，点D，B的坐标分别为（3，3），（9，0），过点D的正比例函数y＝kx的图象上有一点P，且，将y＝kx的图象沿y轴向下平移得到y＝kx+b的图象．若点P落在长方形ABCD的内部（不含边界），则b的取值范围是 　﹣6＜b＜﹣3　． 【分析】根据D点坐标得到直线OD解析式，过点P作PF⊥x轴，交CD于点E，则E（6，3），F（6，0），将点E、F坐标代入y＝x+b可得b的取值范围． 【解答】解：∵点D（3，3）在直线y＝kx上， ∴k＝1， ∴直线OD的解析式为y＝x， 设点P（a，a）， ∵P是直线OD的点，且， ∴，解得：a＝6，a＝﹣6（不合题意，舍去） ∴点P（6，6） 过点P作PF⊥x轴，交CD于点E， ∴E（6，3），F（6，0）， 设直线OP平移后的解析式为y＝x+b， 将点E（6，3）坐标代入y＝x+b得，3＝6+b， 解得b＝﹣3， 将点F（6，0）坐标代入y＝x+b得，0＝6+b， 解得b＝﹣6， ∴﹣6＜b＜﹣3， 故答案为：﹣6＜b＜﹣3． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，平移中P在线段EF上是解答本题的关键． 3．（2024春•获嘉县期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为4，点C的坐标为（﹣1，0），将直线y＝﹣x+5向下平移m个单位长度后，与正方形ABCD有且只有一个交点，则m的值为 　5或5　． 【分析】根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用勾股定理可求出点D的坐标，进而可得出点B的坐标，最后根据直线平移后与正方形只有一个交点建立关于m的等式即可解决问题． 【解答】解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 则CD＝2． 又∵点C的坐标为（﹣1，0）， ∴OC＝1． 在Rt△COD中， OD， ∴点D的坐标为（0，）． 过点B作x轴的垂线，垂足为M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∴∠BCM+∠DCO＝∠CDO+∠DCO＝90°， ∴∠BCM＝∠CDO． 在△BCM和△DCO中， ， ∴△BCM≌△DCO（AAS）， ∴BM＝CO＝1，CM＝DO， ∴MO， ∴点B的坐标为（，1）． ∵直线y＝﹣x+5向下平移m个单位后所得直线的函数解析式为y＝﹣x+5﹣m， 则将点D坐标代入平移后的直线函数解析式得5﹣m， 解得m＝5． 将点B坐标代入平移后的直线函数解析式得﹣（）+5﹣m＝1， 解得m＝5． 综上所述，m的值为：5或5． 故答案为：5或5． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质及正方形的性质，熟知一次函数的图象和性质及正方形的性质是解题的关键． 4．（2024春•洪山区期中）在平面直角坐标系中，A（﹣5，a），B（b，5），C（c，n），且（b+2）2+|2c+4|＝0． （1）直接写出点A，B的坐标及c的值； （2）如图1，若三角形ABC的面积为9，求点C的坐标； （3）如图2，将线段AB向右平移m个单位长度得到线段DE（点A与D对应，点B与E对应），若直线DE恰好经过点C，求m，n之间的数量关系． 【分析】（1）根据式子具有非负性即可求解； （2）由B，C两点的横坐标可知BC∥y轴，BC＝|5﹣n|，三角形的高为3，面积为9，解出n即可； （3）先爱出直线AB的解析式，再根据平移规律表示出平移后的解析式，把点C（﹣2，n）代入即可求解． 【解答】解：（1）∵（b+2）2+|2c+4|＝0． ∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2， ∴A（﹣5，1），B（﹣2，5），c的值为﹣2； （2）∵B，C两点的横坐标都是﹣2， ∴BC∥y轴， ∴△ABC的高为3，BC＝|5﹣n|， ∴9， 解得n＝﹣1或11， ∴点C的坐标为（﹣2，﹣1）或（﹣2，11）； （3）∵A（﹣5，1），B（﹣2，5）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx， ∵将线段AB向右平移m个单位长度得到线段DE， ∴直线DE的解析式为y（x﹣m）， ∵线DE恰好经过点C， ∴n（﹣2﹣m）， 整理得4m+3n＝15． 【点评】本题考查一次函数的图象性质，坐标与图形，三角形的面积，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 模块二 一次函数的对称 5．（2024•金平区二模）若直线y＝kx+3与直线y＝﹣2x+b关于直线y＝2对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝2、b＝﹣3 B．k＝2、b＝3 C．k＝﹣2、b＝﹣3 D．k＝2、b＝1 【分析】先求出一次函数y＝kx+3与y轴交点关于直线y＝2的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝2x+b与x轴交点关于直线y＝2的对称点，代入一次函数y＝kx+3，求出k的值即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+3与y轴交点为（0，3）， ∴点（0，3）关于直线y＝2的对称点为（0，1）， 代入直线y＝﹣2x+b，可得b＝1， ∵一次函数y＝﹣2x+1与x轴交点为（，0），（，0）关于直线y＝2的对称点为（，4）， 代入直线y＝kx+3，可得k+3＝4， 解得k＝2． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 6．（2024•昌吉州一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在y轴上的点B′处，则点M的坐标是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0） 【分析】先令x，y均等于0，由一次函数的解析式求出相对应的y和x，从而求出A，B的坐标，再根据两点间的距离公式求出OA，OB和AB，再由折叠的性质求出B′O，设点M的坐标为（m，0），利用勾股定理求出OM的长从而求出点M的坐标即可． 【解答】解：令x＝0，则， ∴A（0，6）， 令y＝0，则，解得：x＝8， ∴点B（8，0）， ∵O（0，0）， ∴OA＝6，OB＝8， ∵x轴⊥y轴， ∴∠AOB＝∠B′OM＝90°， ∴AB＝10， 由折叠可知：AB′＝AB＝10，BM＝B′M， ∴B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4， 设点M坐标为（m，0）， ∵O（0，0）， ∴OM＝m，BM＝OB﹣OM＝8﹣m， ∴B′O2+OM2＝B′M2， 42+m2＝（8﹣m）2， 16+m2＝64﹣16m+m2， 16m＝48， m＝3， ∴点M的坐标为（3，0）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标和折叠，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 7．（2023春•锦江区期中）已知直线l1：y＝k1x+b1经过点（0，﹣1），直线l2：y＝k2x+b2经过点（3，1），且直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称，则关于x的不等式k1x+b1＜k2x+b2的解集是 　x　． 【分析】分别求出点（0，﹣1）和点（3，1）关于直线y＝x的对称点的坐标，利用待定系数法求出直线l1，直线l2的解析式，再解不等式即可． 【解答】解：∵直线l1与l2关于第一，三象限角平分线所在直线对称， ∴点（0，﹣1）关于直线y＝x的对称点（﹣1，0）一定在直线l2上， 点（3，1）关于直线y＝x的对称点（1，3）一定在直线l1上， 把（0，﹣1），（1，3）两点代入y＝k1x+b1中得， ， ∴k1＝4，b1＝﹣1， ∴直线l1：y＝4x﹣1， 把（3，1），（﹣1，0）两点代入y＝k2x+b2中得， ， ∴k2，b2， ∴直线l2：yx， 由4x﹣1x得， x， 故答案为：x． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，待定系数法求解析式，直线的对称变换等知识，掌握点的对称变换特征是解题关键． 模块三 一次函数图像的旋转 8．（2024•环翠区模拟）若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A（4，0）和点B（0，﹣2），则原一次函数的表达式为（　　） A．yx﹣1 B．yx+1 C．yx+1 D．yx﹣1 【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出将直线AB向左平移2个单位长度后得到的解析式，然后将所得解析式绕着原点旋转180°即可得到原一次函数的表达式． 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝mx+n． ∵A（4，0），B（0，﹣2）， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为yx﹣2． 将直线AB向左平移2个单位长度后得到的解析式为y（x+2）﹣2，即yx﹣1， 再将yx﹣1绕着原点旋转180°后得到的解析式为yx+1， 所以原一次函数的表达式是yx+1． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，直线平移与旋转的规律，掌握解析式“左加右减”的规律以及关于原点对称的规律是解题的关键． 9．（2024春•鲤城区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0），B（0，﹣6）． （1）求一次函数的解析式． （2）若将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数解析式． 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点A作AE⊥AB交BC于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，则∠AFE＝∠AOB＝90°，可得△ABE是等腰直角三角形，再证明△OAB≌△FEA，可得AF＝OB＝6，EF＝OA＝2，从而得到OF＝4，进而得到点E的坐标为（4，2），再利用待定系数法解答，即可求解． 【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把点A（﹣2，0），B（0，﹣6）代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为y＝﹣3x﹣6； （2）如图，过点A作AE⊥AB交直线BC于E，过点E作EF⊥x轴于F， ∵点A（﹣2，0），B（0，﹣6）， ∴OA＝2，OB＝6， 根据题意得：∠ABE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝AE，∠AEB＝∠ABE＝45°， ∵∠EAF+∠OAB＝∠EAF+∠AEF＝90°， ∴∠OAB＝∠AEF， 在△OAB和△FEA中， ∵∠OAB＝∠AEF，∠AFE＝∠AOB＝90°，AB＝AE， ∴△OAB≌△FEA， ∴AF＝OB＝6，EF＝OA＝2， ∴OF＝4， ∴点E的坐标为（4，2）， 设直线BC的函数解析式为y＝mx+n（m≠0）， 把点（4，2），（0，﹣6）代入得：， 解得：， ∴直线BC的函数解析式为y＝2x﹣6． 【点评】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 10．（2022春•安溪县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C． （1）点A坐标是（ 　　，　0　）、点B坐标是（ 　0　，　﹣1　）； （2）求直线BC的函数表达式； （3）点M是射线BA上的点，在平面内是否存在点N，使得以M、N、B、C为顶点的四边形是菱形，如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）由y＝﹣2x﹣1，分别令x＝0，y＝0，即可求解； （2）过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝1，EF＝OA，求得F（，），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，利用待定系数法即可得到结论； （3）分当BC是对角线时；当BC是边，四边形BMNC为菱形时；当BC是边，四边形BCMN为菱形时三种情况，根据菱形的性质去分析求解即可求得答案． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B， ∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x， ∴A（，0），B（0，﹣1）， 故答案为：，0，0，﹣1； （2）过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AB＝AF， ∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°， ∴∠ABO＝∠EAF， ∴△ABO≌△FAE（AAS）， ∴AE＝OB＝1，EF＝OA， ∴OE＝OA+AE， ∴F（，）， 设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴直线BC的函数表达式为：yx﹣1； （3）存在． ①如图，当BC是对角线时，四边形BMCN为菱形． ∴BM∥CN，BN＝CN， ∵直线BM为y＝2x﹣1， ∴设直线CN的函数表达式为y＝2x+c， ∵直线BC的函数表达式为：yx﹣1， ∴C（3，0）， ∴6+c＝0，解得c＝﹣6， ∴直线CN的函数表达式为y＝2x﹣6， 设N（n，2n﹣6）， ∵BN＝CN，B（0，﹣1）， ∴BN2＝CN2， ∴n2+（﹣1﹣2n+6）2＝（3﹣n）2+（2n﹣6）2，解得n＝2， ∴点N的坐标为（2，﹣2）； ②如图，当BC是边，四边形BMNC为菱形时． ∴BM∥CN，BC＝CN， ∵直线BM为y＝2x﹣1， ∴设直线CN的函数表达式为y＝2x+c， ∵直线BC的函数表达式为：yx﹣1， ∴C（3，0）， ∴6+c＝0，解得c＝﹣6， ∴直线CN的函数表达式为y＝2x﹣6， 设N（n，2n﹣6）， ∵BC＝CN，B（0，﹣1）， ∴BC2＝CN2， ∴12+32＝（3﹣n）2+（2n﹣6）2，解得n＝3或3（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为（3，2）； ③如图，当BC是边，四边形BCMN为菱形时． ∴BC＝CM， 设M（m，2m﹣1）， ∵BC＝CM，B（0，﹣1）， ∴BC2＝CM2， ∴12+32＝（3﹣m）2+（2m﹣1）2，解得m＝2或0（不合题意，舍去）， ∴点M的坐标为（2，3）， ∵B（0，﹣1），C（3，0）， ∴点N的坐标为（﹣1，2）． 综上所述，满足条件的点N的坐标为（2，﹣2）或（3，2）或（﹣1，2）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的性质以及勾股定理．解题的关键是注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$