2025年浙江省中考数学一轮复习专题3　数形结合、转化思想练习

专题3　数形结合、转化思想 一、选择题 1．回顾初中阶段函数的学习过程，从函数表达式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是( ) A．数形结合 B．类比 C．演绎 D．公理化 2．(2024·济南)用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023＝0，将它转化为(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为( ) A．－2 024 B．2 024 C．－1 D．1 3．(2024·泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合．若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是( ) A．π－ B． C．－ D．－ 　　　 4．(2024·杭州市滨江区一模)如图，反比例函数y1＝(k为常数，且k≠0)的图象与正比例函数y2＝mx(m为常数，且m≠0)的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为－1.若y2＜y1＜0，则x的取值范围是( ) A．－1＜x＜0 B．x＜－1 C．x＞1 D．－1＜x＜0或x＞1 5．(2024·金华市东阳市二模)小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s(米)与爸爸出发时间t(分)之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是( ) A．a＝15 B．小明的速度是150米/分 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分 D．爸爸出发7分钟追上小明 　　　 6．(2024·沈阳)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6.M是AB边的中点，N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′.则△MBN′周长的最小值为( ) A．15 B．5＋5 C．10＋5 D．18 二、填空题 7．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0.若ab＝3，a＋b＝4，则a－b的值为____． 8．(2024·杭州市拱墅区二模)如图，在边长为10的正方形ABCD内部(不含边界)有一点E，连结CE.过点A作∠BAF＝∠DCE，且AF＝CE.连结EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，点F恰好落在点D上，则EC的长为____． 三、解答题 9．阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． ( 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x 2 －x－6＜0的解集？ 通过思考 ， 小丽得到以下3种方法： 方法1　方程x 2 －x－6＝0的两根为x 1 ＝－2 ，x 2 ＝3 ， 可得函数y＝x 2 －x－6的图象与x轴的两个交点横坐标为－2 ，3， 画出函数图象 ， 观察该图象在x轴下方的点 ， 其横坐标的范围是不等式x 2 －x－6＜0的解集． 方法2　不等式x 2 －x－6＜0可变形为x 2 ＜x＋6 ， 问题转化为研究函数y＝x 2 与y＝x＋6的图象关系．画出函数图象 ， 观察发现；两图象的交点横坐标也是－2 ，3.y ＝x 2 的图象在y＝x＋6的图象下方的点 ， 其横坐标的范围是该不等式的解集． 方法3　当x＝0时 ， 不等式一定成立；当x＞0时 ， 不等式变为x － 1＜ ；当x＜0时 ， 不等式变为x－1＞ . 问题转化为研究函数y＝x－1与y＝ 的图象关系 …… )任务： (1)求不等式x2－x－6＜0的解集． (2)3种方法都运用了_______的数学思想方法．(从下面选项中选1个序号即可) A．分类讨论 B．转化思想 C．特殊到一般 D．数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3　数形结合、转化思想 一、选择题 1．回顾初中阶段函数的学习过程，从函数表达式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是(A) A．数形结合 B．类比 C．演绎 D．公理化 2．(2024·济南)用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023＝0，将它转化为(x＋a)2＝b的形式，则ab的值为(D) A．－2 024 B．2 024 C．－1 D．1 3．(2024·泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合．若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是(A) A．π－ B． C．－ D．－ 　　　 4．(2024·杭州市滨江区一模)如图，反比例函数y1＝(k为常数，且k≠0)的图象与正比例函数y2＝mx(m为常数，且m≠0)的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为－1.若y2＜y1＜0，则x的取值范围是(C) A．－1＜x＜0 B．x＜－1 C．x＞1 D．－1＜x＜0或x＞1 5．(2024·金华市东阳市二模)小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s(米)与爸爸出发时间t(分)之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是(D) A．a＝15 B．小明的速度是150米/分 C．爸爸从家到商店的速度为200米/分 D．爸爸出发7分钟追上小明 　　　 6．(2024·沈阳)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6.M是AB边的中点，N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N′.则△MBN′周长的最小值为(B) A．15 B．5＋5 C．10＋5 D．18 【解析】因为BM＝5，要求△MBN′周长最小，实际是求BN′＋MN′最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N′运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N′在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可． 二、填空题 7．在数学学习中，我们常把数或表示数的字母与图形结合起来，著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图是由四个长为a，宽为b的长方形拼摆而成的正方形，其中a＞b＞0.若ab＝3，a＋b＝4，则a－b的值为__2__． 8．(2024·杭州市拱墅区二模)如图，在边长为10的正方形ABCD内部(不含边界)有一点E，连结CE.过点A作∠BAF＝∠DCE，且AF＝CE.连结EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，点F恰好落在点D上，则EC的长为__2__． 【解析】设EC＝a，将△CDE绕着点D顺时针旋转90°到△ADP，连结PF，DF，则∠EDP＝90°，DP＝DE，AP＝EC＝AF＝a，∠DAP＝∠DCE＝∠BAF，∴∠PAF＝90°，∠AFP＝∠APF＝45°，∴PF＝＝a.由旋转的性质可知，∠DEF＝90°，EF＝DE＝DP，证明四边形DEFP是正方形，则∠DFP＝45°，∠DPF＝90°，DF＝＝2a.∠AFD＝∠AFP＋∠DFP＝90°，由勾股定理得，AD＝a＝10，计算求解即可． 三、解答题 9．阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务． ( 小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x 2 －x－6＜0的解集？ 通过思考 ， 小丽得到以下3种方法： 方法1　方程x 2 －x－6＝0的两根为x 1 ＝－2 ，x 2 ＝3 ， 可得函数y＝x 2 －x－6的图象与x轴的两个交点横坐标为－2 ，3， 画出函数图象 ， 观察该图象在x轴下方的点 ， 其横坐标的范围是不等式x 2 －x－6＜0的解集． 方法2　不等式x 2 －x－6＜0可变形为x 2 ＜x＋6 ， 问题转化为研究函数y＝x 2 与y＝x＋6的图象关系．画出函数图象 ， 观察发现；两图象的交点横坐标也是－2 ，3.y ＝x 2 的图象在y＝x＋6的图象下方的点 ， 其横坐标的范围是该不等式的解集． 方法3　当x＝0时 ， 不等式一定成立；当x＞0时 ， 不等式变为x － 1＜ ；当x＜0时 ， 不等式变为x－1＞ . 问题转化为研究函数y＝x－1与y＝ 的图象关系 …… )任务： (1)求不等式x2－x－6＜0的解集． (2)3种方法都运用了_______的数学思想方法．(从下面选项中选1个序号即可) A．分类讨论 B．转化思想 C．特殊到一般 D．数形结合 (3)请你根据方法3的思路，画出函数图象的简图，并结合图象作出解答． 解：(1)解方程x2－x－6＝0，得x1＝－2， x2＝3，∴函数y＝x2－x－6的图象与x轴的两个交点横坐标为－2，3，画出二次函数y＝x2－x－6的大致图象(如图所示)， 由图象可知：当－2＜x＜3时函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2－x－6＜0.所以不等式x2－x－6＜0的解集为－2＜x＜3. (2)D. (3)当x＝0时，不等式一定成立；当x＞0时，不等式变为x－1＜；当x＜0时，不等式变为x－1＞.画出函数y＝x－1和函数y＝的大致图象如图： 当x＞0时，不等式x－1＜的解集为0＜x＜3；当x＜0时，不等式x－1＞的解集为－2＜x＜0，∵当x＝0时，不等式x2－x－6＜0一定成立，∴不等式x2－x－6＜0的解集为－2＜x＜3. 学科网（北京）股份有限公司 $$