第1章特殊的平行四边形单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上 第1章 特殊的平行四边形 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点F，E是AB的中点，若EF=2，则菱形ABCD的边长是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的面积等于（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 3．如图，AC是正方形ABCD的对角线，以AD为边向正方形内部作等边三角形ADE，边DE交AC于点F，则∠EFC的度数是（　　） A．45° B．60° C．65° D．75° 4．正方形的面积是，则它的对角线长是（　　） A． B． C． D． 5．矩形的两条对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（　　） A．57.5° B．32.5° C．57.5°，33.5° D．57.5°，32.5° 6．如图，在正方形ABCD中作等边△AEF，则∠AFD的度数为（　　） A．40° B．75° C．50° D．55° 7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、CD上，连接AF交BD于点G，连接BE交AC于点H，连接HG．若AF=BE，则下列结论：①AF⊥BE；②BH=AG；③HG=GD；④△ABH≌△GBH；⑤S△AHE：S△AGD=GF：BH．其中正确的是（　　） A．① B．①② C．①②⑤ D．①②③④⑤ 8．如图，正方形ABCD的边长为5，AG=CH=4，BG=DH=3，连接GH，则线段GH的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A=26°，则∠BDC的度数是（　　） A．50° B．51° C．52° D．53° 10．如图，四边形ABCD和BEFG都是正方形，点E在边AB上，点G在边CB的延长线上，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB=14，BE=10，则MN=（　　） A．14 B．13 C．10 D．12 11．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE=DP=1，PC=，有下列结论： ①△APD≌△CED； ②AE⊥CE； ③点C到直线DE的距离为； ④S正方形ABCD=5+2； 其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，三个边长相等的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和为8，则正方形的边长为​（　　） A．2 B．4 C．8 D． 二．填空题（共5小题） 13．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：______，使四边形ABCD成为菱形． 14．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在线段BC，CD上，且CF=4，CE=2，若点M，N分别在线段AB，AD上运动，P为线段MF上的点，在运动过程中，始终保持∠PEB=∠PFC，则线段PN的最小值为 ______． 15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E、F分别是边AB、BC的中点，若AB=5，BD=8，则△OEF的周长等于______． 16．如图，已知点E是正方形ABCD的边BC上任意一点，以AE为边作正方形AEFG，连接BG，点H为BG的中点，连接AH．若AB=2，BE=1，则AH的长为 ______． 17．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为______． 三．解答题（共5小题） 18．如图，在矩形ABCD中，AB=3，E在边AD上，且AE=4，点F是CD的中点，EF平分∠BED，求DE的长． 19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD． （1）求证：四边形AOBE是菱形； （2）若∠AOB=60°，AC=4，求菱形AOBE的面积． 20．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点，作OF∥AB，交BE延长于点F，连接AF． （1）求证：△AEB≌△OEF； （2）连接DF，当∠BAD=______°时，四边形AODF是菱形． 21．如图所示，四边形ABCD为正方形，F、G分别为边AD、BC上的点，BE⊥FG于E． （1）求证：∠ABE=∠GFD； （2）在EF上截取EH=BE，连接DH，O为DH的中点，连接AO、AE． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段AO和AE的数量关系，并证明． 22．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm.动点P、Q分别从点A、C以2cm/s的速度同时出发，动点P沿AB向终点B运动，动点Q沿CD向终点D运动，D连结PQ交对角线AC于点O．设点P的运动时间为t（s）． （1）当四边形APQD是矩形时，求t的值； （2）当四边形APCQ是菱形时，求t的值． 北师大版九年级上第1章特殊的平行四边形单元测试 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、B 2、A 3、D 4、B 5、D 6、B 7、C 8、A 9、C 10、B 11、B 12、B  二．填空题（共5小题） 13、AD∥BC（AB=CD或 OB=OD 或∠ADB=∠CBD 等）； 14、； 15、8； 16、； 17、3；  三．解答题（共5小题） 18、解：如图， 延长EF交BC的延长线于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF=∠G， ∵∠DFE=∠CFG， DF=CF， ∴△DEF≌△CGF（AAS）， ∴DE=CG； ∵EF平分∠BED， ∴∠BEF=∠DEF， 又∵AD∥BG， ∴∠DEF=∠BGF， ∴∠BEF=∠BGF， ∴BE=BG； 在Rt△ABE中， 由勾股定理得，BE=5， ∴BG=5， 设DE=x,则BG=4+2x, ∴4+2x=5， 解得x= 所以ED的长为． 19、（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AOBE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∴OA=OB， ∴四边形AOBE是菱形； （2）解：作BF⊥OA于点F， ∵四边形ABCD是矩形，AC=4， ∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD， ∴OA=OB=2， ∵∠AOB=60°， ∴BF=OB•sin∠AOB=2×=， ∴菱形AOBE的面积是：OA•BF=2×=2． 20、（1）证明：∵AB∥OF， ∴∠ABF=∠OFB， ∵E为OA的中点， ∴AE=OE， 在△AEB与△OEF中， ， ∴△AEB≌△OEF（AAS）， （2）解：若∠BAD=90°，则四边形AODF是菱形， 证明：在▱ABCD中，∠BAD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=AC，OD=BD， ∴AO=OD， ∵△AEB≌△OEF， ∴AB=OF， ∵AB∥OF， ∴四边形ABOF是平行四边形， ∴AF∥OB，AF=OB， ∴AF=OD， ∴四边形AODF是平行四边形， ∵AO=OD， ∴四边形AODF是菱形． 故答案为：90． 21、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°，BC∥AD， ∴∠GBE+∠ABE=90°，∠BGF=∠GFD， ∵BE⊥GF， ∴∠BGF+∠GBE=90°， ∴∠ABE=∠BGF ∴∠ABE=∠GFD； （2）①依题意补全图形如图1所示： ②线段AO和AE的数量关系是：AE=AO，证明如下： 连接EO，过点D作DM∥EF交EO的延长线于M，连接AM，如图2所示： 则∠HEO=∠M，∠ADM=∠GFD， ∵O为DH的中点， ∴OH=OD， 在△HEO和△DMO中， ， ∴△HEO≌△DMO（AAS）， ∴OE=OM，EH=MD， ∵EH=BE， ∴BE=MD， 由①可知：∠ABE=∠GFD， ∴∠ABE=∠ADM， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴∠BAE=∠DAM，AE=AM， ∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°， ∴∠DAM+∠EAD=90°， ∴∠EAM=90°， 即△AEM为等腰直角三角形， 又∵OE=OM， ∴AO⊥EM，AO=OE=OM， 在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE2=AO2+OE2=2AO2， ∴AE=AO． 22、解：（1）由题得，AP=CQ=2t cm, ∴DQ=（8-2t） cm, 当四边形APQD是矩形时，DQ=AP， 即8-2t=2t, ∴t=2； （2）当四边形APCQ是菱形时，PQ⊥AC， ∵∠B=90°， ∴△AOP∽△ABC， ∵AB=8cm,BC=6cm, ∴AC=10cm, ∴OA=AC=5cm, ∵AP：AC=AO：AB，即2t：10=5：8， ∴t=． 学科网（北京）股份有限公司 $$