专题22 一次函数在直角坐标系中两直线的位置关系（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题22 一次函数在直角坐标系中两直线的位置关系（解析版） 类型一 两直线平行 1．（2023秋•余杭区期末）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　） A．y＝2x﹣14 B．y＝﹣2x+18 C．y＝4x D．y＝﹣2x+12 【分析】由设所求一次函数的解析式为 y＝kx+b，函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，可得k＝﹣2，将点（8，2）代入即可人求解． 【解答】解：设所求一次函数的解析式为 y＝kx+b， ∵函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行， ∴k＝﹣2， 又过点（8，2），有2＝﹣2×8+b， 解得b＝18， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+18， 故选：B． 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当k相同，且b不相等，图象平行． 2．（2024•东营区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A2024的纵坐标为 　（）2024．　． 【分析】联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x，y，故A1（，），依次求出：点A2的纵坐标为、A3的纵坐标为，即可求解． 【解答】解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x，y，故A1（，）； 则点B1（，0），则直线B1A2的表达式为：yx+b， 将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3x， 将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x，y，即点A2的纵坐标为； 同理可得A3的纵坐标为， …按此规律，则点A2024的纵坐标为（）2024， 故答案为：（）2024． 【点评】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与二元一次方程组之间的内在联系． 3．（2023春•阳信县期中）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为 　8　． 【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的面积． 【解答】解：如图所示，过点B、D分别作y＝2x+1的平行线，交AD、BC于点E、F． 由图象和题意可得AE＝4﹣3＝1，CF＝8﹣7＝1，，BF＝DE＝7﹣4＝3， 则，BC＝BF+CF＝3+1＝4， ∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×4＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 4．（2023春•汉阳区期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将函数y＝2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x+b|（b为常数）的图象．若数y＝|2x+b|（b为常数）与直线y＝2有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 　①②③　． ①△AOB的面积总为2； ②若函数y＝|2x+b|（b为常数）图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为﹣4≤b≤﹣2； ③若b＝﹣4，则x＞|2x+b|的解集为； ④当b＝﹣3，若正比例函数y＝kx（k，≠0）与y＝|2x+b|（b为常数）的图象只有一个公共点，则k＞2． 【分析】求得A、B的坐标，即可得出AB＝2，利用三角形面积公式求得△AOB的面积即可判断①；根据x满足0＜x＜3，即可求出b的取值范围，可以判断②；求得直线yx与函数y＝|2x﹣4|的交点为（，1），（3，2），根据图象即可判断③；求得直线y＝kx与直线y＝2x﹣3平行，与直线y＝﹣2x+3平行时的k的值，根据图象即可求得正比例函数y＝kx（k≠0）与y＝|2x+b|（b为常数）的图象只有一个公共点时的k的取值，可以判断④． 【解答】解：①把y＝2代入y＝|2x+b|（b为常数）得，2＝|2x+b|， 解得x或x， ∴A（，0），B（，0）， ∴AB＝2， ∴S△AOB2，故①正确； ②当x＝3时，6+b≥2，b≥﹣4； 当x＝0时，﹣b≥2即b≤﹣2， ∴b的取值范围为﹣4≤b≤﹣2．故②正确； ③由，解得， 由，解得， ∴直线yx与函数y＝|2x﹣4|的交点为（，1），（3，2）， ∴则x＞|2x﹣4|的解集为，故③正确； ④∵k＝2时，直线y＝kx（k≠0）与直线y＝2x﹣3平行，k＝﹣2时，直线y＝kx（k≠0）与直线y＝﹣2x+3平行， ∴正比例函数y＝kx（k≠0）与y＝|2x+b|（b为常数）的图象只有一个公共点，则k≥2或k＜﹣2．故④错误． 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线平行问题，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． 类型二 两直线关于x轴或y轴或直线y=x对称 5．（2024秋•渠县期末）若直线l1经过点（0，4）和点（3，﹣2），直线l2与l1关于x轴对称，则l2的表达式为（　　） A．y＝﹣2x﹣4 B．y＝2x﹣4 C．yx﹣4 D．yx﹣4 【分析】根据对称的性质得出两个点关于x轴对称的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数即可． 【解答】解：∵直线l1经过点（0，4）和点（3，﹣2），且l1与l2关于x轴对称， ∴两直线相交于x轴上， ∴直线l2经过点（0，﹣4），l2经过点（3，2）， 把（0，﹣4）和（3，2）代入直线l2的解析式y＝kx+b， 则， 解得：， 故直线l2的解析式为：y＝2x﹣4， 故选：B． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标与图形的性质，正确得出对称点的坐标是解题关键． 6．阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的解析式． 有这样一个问题：直线l1的解析式为y＝﹣2x+6，若直线l2与直线l1关于y轴对称，求直线l2的解析式． 下面是小明的解题思路，请补充完整． 第一步：求出直线l1与x轴的交点A的坐标（3，0），与y轴的交点B的坐标（0，6）； 第二步：在所给的平面直角坐标系中（图1），作出直线l1； 第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标为（﹣3，0）； 第四步：由点B，点C的坐标；利用待定系数法，即可求出直线l2的解析式． 小明求出的直线l2的解析式是　y＝2x+6　． （1）若直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，求出直线的解析式； （2）若点M（m，4）在直线l1上，过点M作直线l1的垂线l4，求直线l4的解析式． 【分析】求出A、B两点的坐标，再求出C点坐标，利用待定系数法即可得出直线B、C的解析式； （1）分别求出A、B两点的坐标关于直线y＝x的对称点，再利用待定系数法求出其解析式即可； （2）过M点作直线l4⊥l1，l4交y轴于点D，作MN⊥y轴于点N，求出MN与BN的长，设ND＝a，则MN，BN＝1，BD＝a+1，根据勾股定理求出a的值，利用待定系数法求出直线l4的表达式即可． 【解答】解：如图1，∵直线l1的表达式为y＝﹣2x+6， ∴直线l1与x轴的交点A的坐标为（3，0），与y轴的交点B的坐标为（0，6）， ∴点A关于y轴的对称点C的坐标为（﹣3，0）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 则， 解得k＝2， ∴直线l2的表达式为：y＝2x+6． 故答案为：y＝2x+6； （1）如图2，∵A（3，0），B（0，6）， ∴A、B两点的坐标关于直线y＝x的对称点分别为A′（0，3），B′（6，0）， 设直线A′B′的解析式为y＝ax+c， 则， 解得， ∴直线l3的表达式为：yx+3． （2）如图3，过M点作直线l4⊥l1，l4交y轴于点D，作MN⊥y轴于点N． ∵点M（m，4）在直线l1上， ∴﹣2m+6＝4， ∴m＝1， ∴MN＝1，BN＝2， ∴BM． 设ND＝a，则MN＝1，BN＝2，BD＝a+2， 由勾股定理得：（a+2）2＝a2+12+（）2， 解得：a ∴D（0，）． 设直线l4的表达式y＝kx． 把M（1，4）代入得：k ∴直线l4的表达式yx． 【点评】本题考查了一次函数综合题，需要掌握一次函数的图象与几何变换，根据题意画出函数图象，利用待定系数法求解是解答此题的关键． 7．（2022秋•武昌区期末）已知直线l1：y＝k1x经过点A（3，2），将直线l1向上平移2.5个单位得直线l2，l2与x轴交于点C，直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，且与l2相交于B． （1）求直线l2的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）若点P在x轴上，点Q在y轴上，当四边形ABQP的周长最小时，求点P、Q点的坐标． 【分析】（1）把A（3，2）代入y＝k1x，即可求得直线l1的解析式，再根据平移的性质，即可求解； （2）设点A关于直线y＝x的对称点为A′，分别作AM⊥x轴于M，作A′N⊥y轴于N，可证△AOM≌△A′ON，得A′（2，3），进一步可得直线l3的解析式为，由直线l2、l3的解析式可得B点的坐标为（3，4.5），于是可求△AOB的面积即可； （3）由于线段AB为定长，要使四边形ABQP的周长最小，则需折线APQB的长最小，分别作A点关于x轴的对称点A1（3，﹣2），作B点关于y轴的对称点B1（﹣3，4.5），则折线APQB的长等于线段A1B1的长，求得直线A1B1的解析式为，则A1B1与x轴、y轴的交点分别为所求的点． 【解答】解：（1）把A（3，2）代入y＝k1x，得直线l1的解析式为， ∵直线l1向上平移2.5个单位得直线l2， ∴直线l2的解析式为； （2）解：如图：设点A关于直线y＝x的对称点为A′，分别作AM⊥x轴于M，作A′N⊥y轴于N， ∵直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，∴OA＝OA′，∠AOM＝∠A′ON， 又∵∠AMO＝∠A′NO＝90°， ∴△AOM≌△A′ON（AAS）， ∴OM＝ON＝3，AM＝A′N＝2， ∴A′（2，3）， 设直线l3的解析式为y＝k2x， 把A′（2，3）代入直线l3的解析式，3＝2k， 解得k， 得直线l3的解析式为， ∴直线l2、l3的交点B点的坐标为（3，4.5）， ， 解得， ∴； （3）由于线段AB为定长，要使四边形ABQP的周长最小，则需折线APQB的长最小， 如图：分别作A点关于x轴的对称点A1（3，﹣2），作B点关于y轴的对称点B1（﹣3，4.5）， 则折线APQB的长等于线段A1B1的长， 设直线A1B1的解析式为y＝mx+n， 把A1（3，﹣2），B1（﹣3，4.5）分别代入解析式，得， 解得， ∴直线A1B1的解析式为， 令y＝0，得， 解得， ∴， 令x＝0，则， ∴． 【点评】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的平移问题，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，最短路径问题，画出图象，准确求得解析式是解决本题的关键． 类型三 两直线垂直 8．（2024秋•城关区期末）笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的． 某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y＝kx+b（k≠0）上的任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1≠x2≠x3），满足，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点的坐标M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2），都有的值为k，其中k叫直线y＝kx+b的斜率．如，P（1，3），Q（2，4）为直线y＝x+2上两点，则，即直线y＝x+2的斜率为1． （1）学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值． 如图1，直线GH⊥GI于点G，G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6）．请求出直线GH与直线GI的斜率之积． （2）如图2，已知正方形OKRS的顶点S的坐标为（6，8），点K，R在第二象限，OR为正方形的对角线．过顶点R作RT⊥OR于点R．求直线RT的解析式． 【分析】（1）由G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6），可得kGH，kGI，故kGH•kGI（）＝﹣1， （2）过S作MN⊥x轴于N，过R作RM⊥MN于M，证明△RMS≌△SNO（AAS），得RM＝SN，MS＝ON，又S的坐标为（6，8），可得R（﹣2，14），从而kOR7，即可得kRT，设T（x，y），则，变形得直线RT的解析式为yx． 【解答】解：（1）∵G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6）， ∴kGH，kGI， ∴kGH•kGI（）＝﹣1， ∴直线GH与直线GI的斜率之积为﹣1； （2）过S作MN⊥x轴于N，过R作RM⊥MN于M，如图： ∵四边形OKRS是正方形， ∴∠RSO＝90°，RS＝OS， ∴∠RSM＝90°﹣∠OSN＝∠SON， ∴∠RMS＝90°＝∠SNO， ∴△RMS≌△SNO（AAS）， ∴RM＝SN，MS＝ON， ∵S的坐标为（6，8）， ∴RM＝SN＝8，MS＝ON＝6， ∴R（﹣2，14）， ∵O（0，0）， ∴kOR7， 由（1）知，任意两条互相垂直的直线的斜率之积是﹣1， ∴kRT， 设T（x，y），则， ∴yx； ∴直线RT的解析式为yx． 【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及正方形性质，全等三角形判定与性质，解题的关键是读懂题意，理解直线斜率的概念． 类型四 定点动直线 9．（2024秋•瑶海区期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（　　） A．t≤1 B．1＜t≤2 C．t≤2 D．t≤2且t≠1 【分析】由y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0），得出直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）或（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的t的值，结合图象即可得到结论． 【解答】解：∵y＝tx+2t+2＝t（x+2）+2（t＞0）， ∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）经过点（﹣2，2），如图， 当直线经过（0，3）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则3＝2t+2，解得t； 当直线经过（0，6）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则6＝2t+2，解得t＝2； 当直线经过（0，4）时，直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则4＝2t+2，解得t＝1； ∴直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是t≤2且t≠1， 故选：D． 【点评】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键． 10．（2024秋•工业园区月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC． （1）无论k取什么值，直线l一定经过一个定点，求这个定点坐标． （2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，求C点坐标． （3）若k＞0，C在直线l左侧，则OC+AC的最小值为　4　． 【分析】（1）由y＝kx﹣4k＝k（x﹣4），即可求得定点为（4，0）； （2）作CD⊥y轴于D，如图1，通过证得△CBD≌△BOA，得到CD＝OB＝6，BD＝OA＝4，即可求得OD＝2，从而求得C（﹣6，﹣2）； （3）由（2）可知△CBD≌△BOA，则CD＝OB＝4k，BD＝OA＝4，故C点坐标为（﹣4k，﹣4k+4），即可得出点C在直线y＝x+4上运动，因此作点O关于直线y＝x+4的对称点D（﹣4，4），然后连接AD，此时OC+AC＝AD最小，求得AD的长即可． 【解答】解：（1）∵y＝kx﹣4k＝k（x﹣4）， ∴无论k取什么值，直线l一定经过一个定点（4，0）； （2）∵直线l经过点（2，﹣3）， ∴﹣3＝2k﹣4k，解得k， ∴直线l：yx﹣6， ∴A（4，0），B（0，﹣6）， ∴OA＝4，OB＝6， 作CD⊥y轴于D，如图1， ∵△ABC是以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABO+∠CBD＝90°， ∵∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠CBD＝∠OAB， 在△CBD和△BOA中， ， ∴△CBD≌△BOA（AAS）， ∴CD＝OB＝6，BD＝OA＝4， ∴OD＝OB﹣BD＝6﹣4＝2， ∴C（﹣6，﹣2）； （3）由（1）可知直线l一定经过一个定点（4，0）； ∴A（4，0）， ∴OA＝4， 由（2）可知△CBD≌△BOA， ∴CD＝OB＝4k，BD＝OA＝4， ∴C点坐标为（﹣4k，﹣4k+4）， ∴点C在直线y＝x+4上运动， 作点O关于直线y＝x+4的对称点D（﹣4，4），连接AD，此时OC+AC＝AD最小， ∵AD4 ∴OC+AC的最小值为4， 故答案为4． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题，求得定点的坐标是解题的关键． 类型五 动点定直线 11．（2022•大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为（　　） A．4π B．8 C．8π D．16 【分析】分两种情形：当点N在x轴的正半轴上或原点时，过点Q作QR⊥ON于点R，QT⊥OM于点T．设Q（x，y）．判断出点Q的运动轨迹，同法求出点N在x轴的负半轴上时，点Q的运动轨迹的长，可得结论． 【解答】解：如图，当点N在x轴的正半轴上或原点时，过点Q作QR⊥ON于点R，QT⊥OM于点T．设Q（x，y）． ∵QM＝QN，QT∥ON，QR∥OM， ∴QTON，QROM， ∴QT+QR（OM+ON）＝4， ∴x+y＝4， ∴y＝﹣x+4， ∴点Q在直线y＝﹣x+4上运动， ∵直线y＝﹣x+4与坐标轴交于（0，4），（4，0）， ∴点Q运动路径的长4， 当点N在x轴的负半轴上时，同法可得点Q运动路径的长4， 综上所述，点Q的运动路径的长为8， 故选：B． 【点评】本题考查轨迹，三角形中位线定理，一次函数的性质等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构建一次函数，探究轨迹，属于中考常考题型． 12．（2024春•思明区期末）不论m取何值，如果点P（2m，m+1）都在某一条直线上，则这条直线的解析式是（　　） A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+1 C．yx﹣1 D．y 【分析】分别计算自变量为2m时四个函数的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【解答】解：当x＝2m时，y＝2x﹣1＝4m﹣1；y＝2x+1＝4m+1；yx﹣1＝m﹣1；yx+1＝m+1， 所以点P（2m，m+1）在直线yx+1上． 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 类型六 点到直线的距离 13．（2022•湘潭县模拟）阅读下面材料： 我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，B≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d计算． 例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离． 解：∵y＝﹣2x+5 ∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5 ∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：d 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离； （2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． 【分析】（1）直线3x﹣y+7＝0中，A＝3，B＝﹣1，C＝7，利用点到直线的距离公式可求出点Q到直线3x﹣y+7＝0的距离； （2）由直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线y＝﹣x+2，在直线上任取一点，利用点到直线的距离公式可求出这两条平行直线之间的距离． 【解答】解：（1）∵直线3x﹣y+7＝0中，A＝3，B＝﹣1，C＝7， ∴点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离为：d； （2）直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线：y＝﹣x+2． 当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，即点（0，2）在直线y＝﹣x+2上， ∴点（0，2）到直线y＝﹣x的距离为：d， ∵直线y＝﹣x与y＝﹣x+2平行， ∴这两条直线之间的距离为． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程，一次函数的性质，一次函数的图象与几何变换，掌握点到直线的距离公式是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 一次函数在直角坐标系中两直线的位置关系（原卷版） 类型一 两直线平行 1．（2023秋•余杭区期末）已知一次函数的图象与直线y＝﹣2x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（　　） A．y＝2x﹣14 B．y＝﹣2x+18 C．y＝4x D．y＝﹣2x+12 2．（2024•东营区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：与直线交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A2024的纵坐标为 　 　． 第2题 第3题 3．（2023春•阳信县期中）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为 　 ． 4．（2023春•汉阳区期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将函数y＝2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x+b|（b为常数）的图象．若数y＝|2x+b|（b为常数）与直线y＝2有交点A、B，现给出以下结论，其中正确结论的序号是 　 　． ①△AOB的面积总为2； ②若函数y＝|2x+b|（b为常数）图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为﹣4≤b≤﹣2； ③若b＝﹣4，则x＞|2x+b|的解集为； ④当b＝﹣3，若正比例函数y＝kx（k，≠0）与y＝|2x+b|（b为常数）的图象只有一个公共点，则k＞2． 类型二 两直线关于x轴或y轴或直线y=x对称 5．（2024秋•渠县期末）若直线l1经过点（0，4）和点（3，﹣2），直线l2与l1关于x轴对称，则l2的表达式为（　　） A．y＝﹣2x﹣4 B．y＝2x﹣4 C．yx﹣4 D．yx﹣4 6．阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的解析式． 有这样一个问题：直线l1的解析式为y＝﹣2x+6，若直线l2与直线l1关于y轴对称，求直线l2的解析式． 下面是小明的解题思路，请补充完整． 第一步：求出直线l1与x轴的交点A的坐标（3，0），与y轴的交点B的坐标（0，6）； 第二步：在所给的平面直角坐标系中（图1），作出直线l1； 第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标为（﹣3，0）； 第四步：由点B，点C的坐标；利用待定系数法，即可求出直线l2的解析式． 小明求出的直线l2的解析式是　 ． （1）若直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，求出直线的解析式； （2）若点M（m，4）在直线l1上，过点M作直线l1的垂线l4，求直线l4的解析式． 7．（2022秋•武昌区期末）已知直线l1：y＝k1x经过点A（3，2），将直线l1向上平移2.5个单位得直线l2，l2与x轴交于点C，直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，且与l2相交于B． （1）求直线l2的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）若点P在x轴上，点Q在y轴上，当四边形ABQP的周长最小时，求点P、Q点的坐标． 类型三 两直线垂直 8．（2024秋•城关区期末）笛卡尔是法国数学家、科学家和哲学家，他的哲学与数学思想对历史的影响是深远的．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，创立了直角坐标系．其中笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的． 某学习小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线y＝kx+b（k≠0）上的任意三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1≠x2≠x3），满足，经学习小组查阅资料得知，以上发现是成立的，即直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点的坐标M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠x2），都有的值为k，其中k叫直线y＝kx+b的斜率．如，P（1，3），Q（2，4）为直线y＝x+2上两点，则，即直线y＝x+2的斜率为1． （1）学习小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到如下正确结论：不与坐标轴平行的任意两条直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值． 如图1，直线GH⊥GI于点G，G（1，3），H（﹣2，1），I（﹣1，6）．请求出直线GH与直线GI的斜率之积． （2）如图2，已知正方形OKRS的顶点S的坐标为（6，8），点K，R在第二象限，OR为正方形的对角线．过顶点R作RT⊥OR于点R．求直线RT的解析式． 类型四 定点动直线 9．（2024秋•瑶海区期中）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y＝tx+2t+2（t＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（　　） A．t≤1 B．1＜t≤2 C．t≤2 D．t≤2且t≠1 10．（2024秋•工业园区月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx﹣4k（k为常数，k≠0）与x轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，以AB为边、B为直角顶点作等腰直角△ABC． （1）无论k取什么值，直线l一定经过一个定点，求这个定点坐标． （2）若直线l经过点（2，﹣3），当点C在第三象限时，求C点坐标． （3）若k＞0，C在直线l左侧，则OC+AC的最小值为　 ． 类型五 动点定直线 11．（2022•大庆）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为（　　） A．4π B．8 C．8π D．16 12．（2024春•思明区期末）不论m取何值，如果点P（2m，m+1）都在某一条直线上，则这条直线的解析式是（　　） A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+1 C．yx﹣1 D．y 类型六 点到直线的距离 13．（2022•湘潭县模拟）阅读下面材料： 我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，B≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d计算． 例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离． 解：∵y＝﹣2x+5 ∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5 ∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：d 根据以上材料，解答下列问题： （1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离； （2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$