2025年浙江省中考数学一轮复习第6讲　一元二次方程及其应用练习

第二章　方程与不等式 第6讲　一元二次方程及其应用 一、选择题 1．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是(B) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1 2．(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为(C) A．－16 B．－4 C．4 D．16 3．(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝(C) A．1 B．－1 C．＋1 D．1或＋1 4．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是(B) A．80(1－x2)＝60 B．80(1－x)2＝60 C．80(1－x)＝60 D．80(1－2x)＝60 5．(2024·长春)如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其它材料制成).则BC长为(C) A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m C．5 m D．3 m 6．(2024·湖州一模)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b＋c＞0，a＋c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b＋c＞0，b－c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a＋b＋c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是(B) A．① B．② C．③ D．④ 【解析】①当a＝－1，b＝3，c＝－2时，满足a＜0，b＋c＞0，a＋c＜0，此时Δ＝32－4×(－1)×(－2)＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根，∴①错误；②∵b＋c＞0，b－c＜0，∴c＞0，∵a＜0，∴－4ac＞0，∴Δ＝b2－4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根，∴②正确；③当a＝1，b＝－1，c＝－1时，满足a＞0，a＋b＋c＜0，此时Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，∴③错误；④∵a＞0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0，∴b＝－4a，c＝4a，∴Δ＝(－4a)2－4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根，∴④错误．综上，表述正确的是②. 二、填空题 7．(2024·南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为__－4__． 8．(2024·重庆)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是__10%__． 9．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝__3__． 三、解答题 10．设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2. 解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＞0，即b2＞4c，∴②③均可，选②解方程，则这个方程为：x2＋3x＋1＝0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝；选③解方程，则这个方程为：x2＋3x－1＝0，∴x1＝，x2＝. 11．(2024·宁波市江北区一模)已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0. (1)从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． (2)若这个方程无实数根，求a的取值范围． 解：(1)∵若关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0有实数根，则Δ＝b2－4ac≥0，(－3)2－4×1×a≥0，解得a≤2，∴当a＝2或1时，这个方程有实数根，当a＝2时，原方程为：x2－3x＋2＝0，(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1. (2)若关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0无实数根，则Δ＝b2－4ac＜0，(－3)2－4a＜0，解得a＞. 12．7月1日是建党纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数． 解：设这个最小数为x，则最大数为(x＋8)， 依题意，得x(x＋8)＝65， 整理，得x2＋8x－65＝0， 解得x1＝5，x2＝－13(不合题意，舍去). 答：这个最小数为5. 13．(2024·浙江模拟)已知关于x的方程x2＋bx＋c＝0可以变形为(x－m)(x－n)＝p(m≤n)的形式． 下面通过列表探究x2－8x＋4＝0的变形： 变形 m n p x(x－8)＝－4 0 8 －4 (x－4)2＝12 4 4 12 (x－1)(x－t)＝3 1 t 3 (x＋1)(x－9)＝－13 －1 9 －13 (1)依据表格解答： ①求表格中t的值； ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记x2＋bx＋c＝0的两种变形为(x－m1)(x－n1)＝p1和(x－m2)(x－n2)＝p2(p1≠p2)，求的值． 解：(1)①x2－8x＋4＝0， x2－8x＋7＝3， (x－1)(t－7)＝3，所以t＝7； ②m＋n＝8. (2)∵(x－m1)(x－n1)＝p1， ∴x2－(m1＋n1)x＋m1n1＝p1， 即x2－(m1＋n1)x＋m1n1－p1＝0. 同理可得x2－(m2＋n2)x＋m2n2－p2＝0. ∴c＝m1n1－p1＝m2n2－p2， ∴p1－p2＝m1n1－m2n2， ∴＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　方程与不等式 第6讲　一元二次方程及其应用 一、选择题 1．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是( ) A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0 C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1 2．(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为( ) A．－16 B．－4 C．4 D．16 3．(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a＝( ) A．1 B．－1 C．＋1 D．1或＋1 4．(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是( ) A．80(1－x2)＝60 B．80(1－x)2＝60 C．80(1－x)＝60 D．80(1－2x)＝60 5．(2024·长春)如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其它材料制成).则BC长为( ) A．5 m或6 m B．2.5 m或3 m C．5 m D．3 m 6．(2024·湖州一模)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b＋c＞0，a＋c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b＋c＞0，b－c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a＋b＋c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b＋4a＝0，4a＋2b＋c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是( ) A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 7．(2024·南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为___． 8．(2024·重庆)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是____． 9．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝____． 三、解答题 10．设一元二次方程x2＋bx＋c＝0.在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1；②b＝3，c＝1；③b＝3，c＝－1；④b＝2，c＝2. 11．(2024·宁波市江北区一模)已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a＝0. (1)从1，2，3三个数中，选择一个合适的数作为a的值，要使这个方程有实数根，并解此方程． (2)若这个方程无实数根，求a的取值范围． 12．7月1日是建党纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数． 13．(2024·浙江模拟)已知关于x的方程x2＋bx＋c＝0可以变形为(x－m)(x－n)＝p(m≤n)的形式． 下面通过列表探究x2－8x＋4＝0的变形： 变形 m n p x(x－8)＝－4 0 8 －4 (x－4)2＝12 4 4 12 (x－1)(x－t)＝3 1 t 3 (x＋1)(x－9)＝－13 －1 9 －13 (1)依据表格解答： ①求表格中t的值； ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． (2)记x2＋bx＋c＝0的两种变形为(x－m1)(x－n1)＝p1和(x－m2)(x－n2)＝p2(p1≠p2)，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$