精品解析：四川省自贡市第一中学校2024-2025学年高二上学期期末调研考试数学试题

自贡市第一中学校2024-2025学年度上期高二年级期末调研考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求斜率，再求倾斜角. 【详解】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为， 则，，所以. 故选：B 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由，得 ∵，， ∴，解得 故选：D 3. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则等于（ ） A. 5 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线面平行得，利用空间向量垂直的坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，且直线的方向向量为，平面的法向量为， 所以，所以，所以，解得 故选：A. 4. 过点的直线与圆相交于两点．记直线的斜率等于，．则是的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可. 【详解】当直线的斜率等于时，直线的方程为，代入方程中， 得，显然， 当直线的不存在斜率时，直线的方程为，代入方程中， 得，显然， 因此是的充分不必要条件， 故选：A 5. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率. 【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：． 故选：C 6. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 而 则 所以 故选：D 7. 直线与圆交于A，B两点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂径定理，将弦长问题转化为在弦心距与半径，半弦长构成的直角三角形中求解即可． 【详解】圆M的半径，圆心，则圆心M到直线l的距离， 故． 故选：D． 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可； 【详解】曲线即为半圆：， 其图象如图所示， 曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线， 当直线与半圆相切时，有，解得， 当直线过时，有， 因为直线与半圆有两个不同的交点，故， 故选：A 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ） A. ，互为互斥事件 B. 与互为互斥事件 C. D. 与互为对立事件 【答案】BD 【解析】 【分析】由互斥事件和对立事件的性质集合题意逐项分析即可； 【详解】对于A，，两个事件可以同时发生，故A错误； 对于B，与不可能同时发生，故B正确； 对于C，为，的交事件，故C错误； 对于D，对应的事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确. 故选：BD. 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆不一定相交 B. 当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1 C. 当时，圆关于直线对称的圆的方程是 D. 当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时， 【答案】AD 【解析】 【分析】A：根据直线所过的定点进行分析；B：先分析圆心到直线的距离满足的条件，然后求解出的范围；C：设出对称圆的方程，根据圆心连线的中点在已知直线上、圆心连线与已知直线垂直列出方程组，由此求解出对称圆的方程；D：结合图示，分析得到与圆相切时最小，然后利用勾股定理求解出结果. 【详解】对于A，直线过定点，又因为， 所以点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故A正确； 对于B，要使圆上有至少两个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离要小于， 所以有，解得，故B错误； 对于C，当时，直线，设圆关于直线对称的圆的方程是， 根据题意有，解得，， 所以对称圆的方程为，故C错误； 对于D，当时，直线，则点，，且圆心，半径， 当与圆相切时最小，此时，故D正确； 故选：AD. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可判断A、B、C，作出平面截正方体所得的截面即可求出面积判断D. 【详解】对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ∵分别为棱的中点，∴、， 则，，∴和不共线，故A错误； 对于B，∵，，∴， ∴，∴直线与所成的角为，故B正确． 对于C，由于平面的一个法向量为， ， ∴，直线与平面所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ∵棱长为2，∴，，， ∴等腰梯形的高为， ∴，故D正确， 故选：BCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为____________. 【答案】或 【解析】 【分析】通过讨论截距0和不为0两类情况讨论即可. 【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即; 当截距不为0时，设的方程为，由过点，得， 解得，所以的方程为. 故答案为：或 13. 已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点、，且（为坐标原点），则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先待定系数法求解椭圆方程，联立直线与椭圆方程消元得关于x的二次方程，再由韦达定理得根与系数的关系，将转化为坐标等式，代入韦达定理关系式，则求出系数式的值. 【详解】∵椭圆的离心率为， ∴，即①， 又椭圆过点，②， 联立①②解得，， ∴椭圆的方程为． 将直线代入椭圆方程化简得． 由题意知，， 设，， 则(*) ，， 将*式代入得 ， 则. 故答案为：2. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系的应用，熟练弦长、斜率、向量、面积等几何问题的代数坐标化． 14. 已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，，结合椭圆定义可将这些长度以及用同一个参数表示，然后分别在在、中，对利用余弦定理，结合离心率公式化为其次方程即可得解. 【详解】如图所示： 由题意，，， 所以不妨设， 而由椭圆定义有， 所以， 所以， 在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有， 交叉相乘得，即，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解决问题的关键在于表示出以及，然后利用余弦定理即可顺利得解. 四、解答题;本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程； （2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据直线的截距式可得解. 【小问1详解】 由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C的标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解； （2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解. 【小问1详解】 首先由可得， 所以直线和相交于点， 所以圆C的半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得， 此时，符合题意， 当直线l的斜率存在时，设直线方程为， 根据题意圆心到直线的距离为， 所以，解得，此时直线方程为， 所以直线l的方程为或. 17. 某校食堂对新推出的套餐的满意度进行测评，满分为60分，在参与评分的学生中随机抽取了100人的评分数据进行整理，将分数以10为组距分成6组：，得到套餐评分的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计该套餐评分的中位数和平均值． （2）在抽样100人中，从对套餐评分在的学生中随机选出3人，求3人中至少有2人评分在的概率． 【答案】（1），中位数，平均值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，矩形面积之和为1，求出的值，然后根据中位数和平均值的计算方法可得答案； （2）利用古典概型的概率求解即可. 【小问1详解】 在分数频率分布直方图中，矩形面积之和为1， 所以， 所以， 该套餐评分的平均值为 ， 设该套餐评分的中位数为， 因为四组的频率为 ， 又五组的频率为 ， 所以该套餐评分的中位数在内， 则，解得， 即设该套餐评分的中位数为. 【小问2详解】 在抽样的100人中， 评分在的学生人数为， 评分在的学生人数为， 则对套餐评分在的学生人数为5， 所以从对套餐评分在的学生中随机选出3人有 种， 3人中至少有2人评分在范围内的选法有种， 所以3人中至少有2人评分在的概率. 18. 四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，E是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，先根据中位线定理证明，再利用线面平行的判定定理证明平面； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，利用面面角的空间向量坐标公式计算即可. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为是矩形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面，平面，平面， 所以，，又，所以两两垂直； 因此以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面DEB的一个法向量， 则，设，则，则， 因为，，，平面， 所以平面，因此，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； （2）为平面内一动点，分别为圆与圆的切线（为切点）且，求点的轨迹方程； （3）斜率为的直线过点与圆交于两点（在轴上方）.将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为．求函数的解析式，并求函数的值域. 【答案】（1）， （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）将圆与圆相减即可得到公共弦所在直线方程；圆的圆心为，利用点关于线对称得到方程组，求出圆心,写出圆的方程即可; （2）设出，借助切线长公式表示出,整理，进而得到，整理化简即可. （3）联立直线与圆的方程，借助根与系数之间的关系以及向量表示出，结合函数思想求出值域即可. 【小问1详解】 如图所示，由 两式相减， 化简得． 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 又圆与圆关于直线对称，设圆的圆心为， 解得, 圆方程为. 【小问2详解】 如图，根据切线长公式,， 因为，所以，即， 设，则， 化简得， 点Q的轨迹方程 【小问3详解】 如图：设直线的方程为，且设. 由得， 显然，且. 分别过作轴，轴，折叠后， 可知, 由，所以, ， 又由 由 , ， 综上:的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 自贡市第一中学校2024-2025学年度上期高二年级期末调研考试 数 学 本试卷满分150分，考试时间150分钟. 注意事项: 1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5．考试结束后，只将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知直线方向向量为，平面的法向量为，若，则等于（ ） A. 5 B. 2 C. D. 4. 过点的直线与圆相交于两点．记直线的斜率等于，．则是的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（ ） A B. C. D. 7. 直线与圆交于A，B两点，则（ ） A. 2 B. C. D. 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A. ] B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ） A. ，互为互斥事件 B. 与互为互斥事件 C. D. 与互为对立事件 10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆不一定相交 B. 当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1 C. 当时，圆关于直线对称的圆的方程是 D. 当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时， 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与是平行直线 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 平面截正方体所得的截面面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为____________. 13. 已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点、，且（为坐标原点），则______． 14. 已知椭圆：（），、为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，连接并延长交椭圆于另一点，若，，则椭圆的离心率为______. 四、解答题;本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点、、． （1）求边的垂直平分线的方程； （2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 16. 已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点． （1）求圆C标准方程； （2）过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17. 某校食堂对新推出的套餐的满意度进行测评，满分为60分，在参与评分的学生中随机抽取了100人的评分数据进行整理，将分数以10为组距分成6组：，得到套餐评分的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计该套餐评分的中位数和平均值． （2）在抽样的100人中，从对套餐评分在的学生中随机选出3人，求3人中至少有2人评分在的概率． 18. 四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，E是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值. 19. 已知圆，圆与圆关于直线对称，圆. （1）求圆与圆的公共弦所在的直线方程和圆的方程； （2）为平面内一动点，分别为圆与圆的切线（为切点）且，求点的轨迹方程； （3）斜率为的直线过点与圆交于两点（在轴上方）.将平面沿轴折叠，使平面平面，设折叠后的长度为．求函数的解析式，并求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$