精品解析：安徽省宣城市第二中学2024-2025学年高一上学期第三次调研测试（12月）数学试题

宣城二中2027届高一第一学期第三次调研测试 数学试题 分值：150 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 若函数有且只有一个零点，则实数m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数的单调减区间为 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，在上单调递增 D. 的零点个数为，则函数的值域为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为______． 13. 已知幂函数在上是减函数，则的值为______． 14. 在数学中连乘符号是“”，例如：若，则，已知函数，，，且，则使为整数的m共有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，全集，集合，函数的定义域为B． （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围． 16. 已知． （1）若是第一象限角，求的值； （2）求的值． 17. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18. 近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 19. 已知函数，. （1）若函数为奇函数，求a的值； （2）设. （i）函数在上有两零点，求a的取值范围； （ii）若，则是否存在实数m，n，使得函数的定义域为，值域为.若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣城二中2027届高一第一学期第三次调研测试 数学试题 分值：150 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值． 【详解】由诱导公式可得，． 故选：B． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定写出即可． 【详解】∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“，”的否定是“，”． 故选：C． 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案． 【详解】∵，在区间上单调递减， 则在区间上单调递减， 且，， ，， ，∴函数的零点在上． 故选：C． 4. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用对数函数、指数函数的单调性判定的范围即可比较大小. 【详解】， ， ，． 故选：D． 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的定义域，结合幂函数和指数函数的增长速度的不同可得时，，证明时，，由此判断正确选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，，所以， 当时，，， 随的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于的增长速度， 故当时，. 由于ABD不满足以上条件，故函数的图象大致为C. 故选：C. 6. 已知点，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式可得，后由弧度制结合象限角三角函数值符号可得答案. 【详解】由诱导公式，，则. 又，则，即点P在第四象限. 故选：D 7. 若函数有且只有一个零点，则实数m的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质结合题意得即可求解． 【详解】由题函数定义域为R，关于原点对称，又由于， 故为R上的偶函数，由于只有一个零点， 因此，故，解得， 故选：D． 8. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由的单调性与奇偶性，把不等式转化为求解． 【详解】令，定义域为， 在上单调递增； 在单调递增且，在上单调递增， 则在上单调递增， 所以在上单调递增． ， 故为奇函数，在上单调递增， 关于的不等式可化为， 即， 则，解得， ∴关于的不等式的解集为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数的单调减区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：令，求得定点的横坐标，再求其函数值，即可求得定点纵坐标；对B：根据已知条件，直接判断即可；对C：利用基本不等式，结合函数解析式，直接求解即可；对D：求得的定义域，再根据复合函数的单调性，即可判断． 【详解】对A：令，解得，当时，，故恒过定点，A错误； 对B：因为，则，故的图象关于对称，B正确； 对C：因为，故， 当且仅当时取得等号，故C错误； 对D：要使有意义，则，解得， 则的定义域为， 由复合函数的单调性可得在单调递增，在单调递减，故D正确． 故选：BD． 10. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断； 对于选项B：利用“1”的妙用，即可判断； 对于选项C：利用基本不等式即可判断； 对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断； 【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当， 即时取等号，故选项A正确； 对于选项B：， 当且仅当，即时取等号，故选项B错误； 对于选项C：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项C正确； 对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误. 故选：AC. 11. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，在上单调递增 D. 的零点个数为，则函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，写出此时函数解析式，得到当时，取得最小值，最小值为0； 对于B，举出反例；对于C，两分段均单调递增，但端点处，左端点的函数值不一定小于右端点的函数值，故③错误； 对于D，分类讨论，结合零点存在性定理得到函数的值域为. 【详解】选项A：时，，又因为，，故函数最小值为0（当时取到），选项正确； 选项B：不妨设，此时， 当时， 当时， 故，此时函数不存在最小值，选项错误； 选项C：在上单调递增，且， 当时，在上单调递增，且， 当时，，故当时，在R上不单调递增，选项错误； 选项D：在上单调递增， 当时，设，显然单调递增， 又，故存在使得， 当时，无解，即在上无零点， 此时有两个零点，0和，故此时， 当时，在上有1个零点， 此时有两个零点，0和，故此时， 当时，，由A知，此时有1个零点，即， 当时，在上无零点，在上也无零点， 此时，则函数的值域为，选项正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个扇形的弧长和面积都是，则这个扇形的半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由扇形的面积公式求解即可． 【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，所以，，解得：． 故答案为：2． 13. 已知幂函数在上是减函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义与性质，即可求解. 【详解】幂函数在上是减函数， 则， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质，属于基础题. 14. 在数学中连乘符号是“”，例如：若，则，已知函数，，，且，则使为整数的m共有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知条件利用对数运算求得，再由为整数，利用指数运算等知识求得正确答案． 【详解】由于， 故 要使为整数，则，从而，． 而，故， 结合，，…，，，知可取． 从而，故使为整数的m共有8个． 故答案为：8． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，全集，集合，函数的定义域为B． （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合A，求对数复合函数的定义域化简集合B，再利用补集、交集的定义求解即可． （2）利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系列不等式组求解即可． 【小问1详解】 由，得，则， 解得，因此， 由，得，解得，因此， ，当时，， 所以 【小问2详解】 由（1）知，，， 由是成立的充分不必要条件得B是A的真子集， 则或，解得或，因此， 所以实数a的取值范围为. 16. 已知． （1）若是第一象限角，求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数与幂函数的运算化简，结合求解，结合角度范围可得答案． （2）由诱导公式化简，分子分母同除，代入计算可得结果. 【小问1详解】 ， 所以，又因为，可得， 因为是第一象限角，故. 【小问2详解】 . 17. 已知函数是偶函数. （1）求实数的值； （2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质求解即可； （2）化简可得恒成立，再根据，结合与基本不等式求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为R， ，解得， 此时 成立， 所以. 【小问2详解】 由题，不等式，所以，即， 有，则，所以 因为（当且仅当时取“=”）， 所以. 18. 近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： （1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）当时，设，当时，设（且），将相应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，综合可得出关于的函数解析式； （2）分析函数的单调性，当时，解不等式，即可得出结论. 【小问1详解】 解：当时，设，将代入得，解得，此时，； 当时，设（且），将、代入得， 解得，此时，. 综上：. 【小问2详解】 解：因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得， 则，即， 所以，. 所以，从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室. 19. 已知函数，. （1）若函数为奇函数，求a的值； （2）设. （i）函数在上有两零点，求a的取值范围； （ii）若，则是否存在实数m，n，使得函数的定义域为，值域为.若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在，或 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义可得答案； （2）（i）令，可将问题转化为与有两个交点； （ii）可将转化为，通过讨论与2的大小关系，结合题意可得答案. 【小问1详解】 定义域为R， 因为函数为奇函数，所以，得. 检验当时，，为奇函数. 【小问2详解】 （i）由已知， 方程在上有两个根，令，，， 参变分离得，所以方程在上有两个根等价于 与图象有两个交点，其中. 由双勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增. 则，又注意到， 可作在上大致图象如下，则要使与图象有两个交点，有； （ii）令，，令，，即， 可转化为，对称轴为 ①当时，单调递增，此时， 即方程在有两个不同根， 解得，其中，此情况排除； ②当时，先增后减， 由可得，而， 所以，； ③当时，单调递减，此时， 即，两式做差得 因为，所以，即， 代入可解得， 综上所述，或. 【点睛】关键点睛：已知零点个数求参数范围，常转化为直线与函数图象交点个数问题，也可利用二次方程根的分布求解；对于（ii）这类二次函数存在性问题，常以讨论参数与对称轴大小关系为突破口解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $