15.2平行四边形同步练习 2024-2025学年北京版数学八年级下学期

15.2平行四边形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，的周长为，对角线与相交于点，交于，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（ ） A．∠D="90°" B．OH="4" C．AD="BC" D．Rt△AHB 3．如图，图①是表示四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，在图②的四边形中，，，四边形称为筝形．若用阴影部分在图①中画出筝形的大致区域，下列画图正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   4．如图，在中，点D、E分别是、的中点，，点F是上一点．．连接，．若，则的长度为（   ） A．18 B．16 C．14 D．12 5．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是(   ) A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等 6．如图，正方形的边长等于4，且边与轴正半轴夹角为，点O为坐标原点，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，一种活动衣帽架由三个相同菱形组成，调整菱形的内角，可使衣帽架拉伸或收缩． 若菱形的边长为10，， 则的长为（   ） A．30 B．40 C． D． 8．如图，E是菱形的边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，四边形是边长为2的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到，…，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．12 C．16 D．18 11．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．4 B．2 C．2 D．2 12．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．20 二、填空题 13．四边形 为正方形，点在正方形 内部，且为正三角形，连接，则 ． 14．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝10米，则AB＝ 米． 15．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为线段的中点，点F在线段上，连接，，， ，则线段的长为 ． 16．如图，点D，E，F分别是三边的中点，则下列判断：①四边形一定是平行四边形；②若平分，则四边形是正方形；③若，则四边形是菱形；④若，则四边形是矩形．正确的是 ．（填序号）    17．如图，已知在中，D、E分别是、的中点，，则的长度是 cm．    三、解答题 18．如图所示，在中，平分．求证：四边形是菱形． 19．已知四边形是正方形，、相交于点，过点作的平分线分别交、于点、． （1）如图，求证：； （2）如图，连接，在不添加其他字母和辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形（等腰直角三角形除外）． 20．平行四边形ABCD，E是CD的中点，是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形. 21．如图，已知矩形，请用尺规作图法，在边上求作一点，使（保留作图痕迹，不写作法） 22．如图1，在正方形中，是对角线，点在上，是等腰直角三角形，且，点是的中点，连结与. (1)求证：. (2)求证：. (3)如图2，若等腰直角三角形绕点按顺时针旋转，其他条件不变，请判断的形状，并证明你的结论. 23．如图①，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C(0，m)，A(n，m)，且(m－4)2＋n2－8n＝－16，过C点作∠ECF分别交线段AB，OB于E，F两点． (1)求A点的坐标； (2)若OF＋BE＝AB，求证：CF＝CE； (3)如图②，若∠ECF＝45°，给出两个结论：①OF＋AE－EF的值不变；②OF＋AE＋EF的值不变，其中有且只有一个结论正确，请你判断出正确的结论，并加以证明和求出其值． 24．如图，在正方形网格由，每个小正方形的边长部是1，点A，B，C都在格点上，点D，E分别是线段的中点．    (1)图中的是不是直角三角形？答：______；（填“是”或“不是”） (2)计算线段的长． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《15.2平行四边形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D D C C B C C 题号 11 12 答案 A A 1．B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，根据平行四边形的性质以及得出，再根据三角形的周长公式求解即可，由线段垂直平分线的性质得出是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵的周长为8， ∴， ∴的周长 ， ∴的周长为， 故选：B． 2．A 【详解】试题解析：∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴当有一个角是直角时该四边形是矩形， 故选A． 考点：矩形的判定． 3．D 【分析】当与不平行时，筝形为一般的四边形；当时，筝形为平行四边形，且它的四边相等，可判断此时筝形为菱形，若为直角，筝形为正方形． 【详解】解：当与不平行时，筝形为一般的四边形； 当时，筝形为平行四边形，且它的四边相等，此时筝形为菱形； 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．解决本题的关键是掌握特殊平行四边形的判定方法． 4．D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而求出，再根据三角形的中位线定理即可求出． 【详解】解：∵，点E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点D、E分别是、的中点， ∴， 故选：D． 5．D 【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项． 【详解】解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点， ∴， ∴四边形EFGH是平行四边形， 对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意； 对于B选项：对角线互相垂直，则有，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意； 对于C选项：对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意； 对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形EFGH是正方形，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键． 6．C 【分析】过C作轴，根据正方形和边与轴正半轴夹角为，得到，已知正方形边长为4，利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半以及勾股定理，求出、长，即可得到点C坐标． 【详解】过C作轴， 四边形为正方形， ， 边与轴正半轴夹角为， ， ， ， 点C坐标为， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形性质，图形与坐标，勾股定理以及直角三角形中角所对直角边等于斜边一半，熟练掌握直角三角形中角的性质是解题关键． 7．C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．连接，则点、在上，且，结合菱形的性质可得，，然后利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，则点、在上，且， ∵四边形为菱形，边长为10，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由等边对等角得到，由菱形的性质推出，，则，，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．C 【分析】根据题意求出的面积，的面积，根据面积的变化规律总结的关系式即可． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∴的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， 同理可求：的面积， ..． ∴的面积， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和三角形面积的计算是解题的关键． 10．C 【分析】首先根据矩形的特点，作PM⊥AD于M，交BC于N，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积． 【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN ∴S矩形EBNP= S矩形MPFD , 又∵S△PBE= S矩形EBNP，S△PFD=S矩形MPFD， ∴S△DFP=S△PBE=×2×8=8， ∴S阴=8+8=16， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD． 11．A 【详解】如图，∵四边形ABCD的正方形， ∴点A和点C关于BD对称， ∴当点P移动到AE与BD的交点处时，PC+PE的和最小，此时PC+PE=AE=AB=4. 故选A. 12．A 【分析】首先由折叠性质判定△A′DE≌△CBE，然后利用勾股定理求得A′E，进而得出△EDB的面积. 【详解】由折叠性质，得AD=A′D=BC，∠ADB=∠A′DB=∠CBD，∠ABD=∠A′BD ∵AB∥CD ∴∠CDB=∠ABD ∴∠CDB=∠A′BD，∠A′DE=∠CBE ∴EB=ED ∴△A′DE≌△CBE（SAS） ∴A′E=CE 设A′E=x,则DE=8-x 在Rt△A′DE中， 解得 ∴DE=8-3=5 ∴ 故选：A. 【点睛】此题主要考查矩形的性质，翻折变换以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题. 13． 【分析】根据正方形四条边都相等以及等边三角形的三条边都相等，可得，再根据正方形的角都是直角，等边三角形的内角都是，求出，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【详解】 如图，是正方形， ，， 是正三角形， ， ， ， ， ， 在中， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形性质，解决本题的关键是求出是顶角是的等腰三角形． 14．20 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】∵点D、E分别为AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝20（米）， 故答案为：20． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 15． 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，证明是等腰三角形，进一步得到则，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，与互相平分， ∴点O是与的中点，是等腰三角形， ∵点E为线段的中点， ∴，， ∴是等腰三角形，， 设，则，， ∴，， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 16．①③④ 【分析】①由三角形的中位线定理可以判定结论正确； ②利用平分可以判定四边形是菱形而非正方形，可得②的结论错误； ③利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出，从而得出四边形是菱形； ④，则根据①的结论可得四边形是矩形； 【详解】解 ①D是的中点，E是的中点， ∴， ∵D是的中点，F是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴①正确； ②如图， 由①知：， ∴ 若平分， 则， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ∴②不正确； ③如图，    若， ∵D是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，E是的中点， ∴， 同理：， ∴， 由①知： 四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴③正确； ④，如图，    由①知： 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴④正确； 综上可得，正确的结论有：①③④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，直角三角形斜边上的直线的性质，等腰三角形的判定与性质，利用三角形的中位线定理得出平行线是解题的关键． 17． 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】∵D、E分别是、的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 18．见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与平行四边形的判定与性质，先证明，再结合，得出四边形是平行四边形，又因为平分以及角的等量代换、等角对等边，即，可证明四边形是菱形． 【详解】证明： ． 又 ， ． 又， 四边形是平行四边形． 平分 ． 又 ， ． 平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 19．（1）见解析；（2）， ， ， . 【分析】（1）取AF的中点G，连接OG，根据三角形的中位线得出OG=FC，OG//FC，根据正方形的性质求出∠0AB、∠ABO、∠OCB的度数，求出∠OEA和∠OGF的度数，推出OG=OE即可； （2）由已知条件和三角形内角和定理可得∠DAE=∠DEA，∠DEC=∠DCE，∠BEF=∠BFE，进而可得△DAE；△DCE；△BEF是等腰三角形，由垂直平分线的性质可得AE=CE进而可得△AEC是等腰三角形. 【详解】 解：证明：（1）如图：取的中点G，连接OG． ∵正方形，、交于点， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2） ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，AO=CO，∠BAC=∠DAC=45°， ∴AE=CE， ∴△AEC是等腰三角形； ∵过点A作∠BAC的平分线分别交BD、BC于E、F， ∴∠BAF=∠CAF=22.5°， ∴∠DAE=67.5°， ∴∠AED=67.5°， ∴AD=ED， ∴△ADE是等腰三角形，AE=CE， ∵∠ECA=∠EAC=22.5°， ∴∠ECD=67.5°， ∴∠DEC=∠DCE=67.5°， ∴DE=CE， ∴△DEC是等腰三角形， ∵∠BEF=∠BFE=67.5°， ∴BE=BF， ∴△BEF是等腰三角形. 可直接写出图中所有的等腰三角形有：， ， ， . 【点睛】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，三角形的中位线，等腰三角形的判定，平行线的性质，三角形的角平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键. 20．证明见解析． 【分析】由平行四边形的性质，等边三角形的性质，中点的性质证明得到再利用平行线的性质证明从而可得结论． 【详解】证明： 平行四边形ABCD， E是CD的中点， 是等边三角形， 平行四边形ABCD， 平行四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 21．见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，作线段的垂直平分线．利用作线段的垂直平分线，得到的中线，则． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 22．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)△CEF是等腰直角三角形． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得EF=DF=DG,CF=DF=DG,从而得到结论； （2）根据等边对等角可得再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出然后根据正方形的对角线平分一组对角求出，求出，从而得证； （3）延长交于，先求出,再根据两直线平行，内错角相等，求出,然后利用ASA证明和全等，根据全等三角形对应边相等，可得EG=DH,EF=FH,再求出CE=CH,然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可. 【详解】解：(1)证明：，点是的中点， ， ∵正方形中，，点是的中点， ， ； (2)证明：， ， ， 在正方形中，， ， ； (3)解：是等腰直角三角形． 理由如下：如图，延长交于， ∵， ， ， ， ∵点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， (等腰三角形三线合一)，， ∴△CEF是等腰直角三角形． 【点睛】本题综合考查了直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，在证明过程中，分解出基础图形是解题的关键. 23．（1）(4，4)；（2）见解析；（3）结论①正确，值为0. 【分析】（1）已知的式子可以化成（m-4）2+（n-4）2=0的形式，根据非负数的性质求得m、n的值，即可求得A的坐标； （2）证明△COF≌△CAE，根据全等三角形的性质即可求解； （3）在x轴负半轴上取点H，使OH=AE，证明△HCF≌△ECF即可求解． 【详解】（1）解：（1）（m-4）2+n2-8n=-16， 即（m-4）2+（n-4）2=0， 则m-4=0，n-4=0， 解得：m=4，n=4． 则A的坐标是（4，4）； （2）∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，A（4，4）， ∴AB=AC=OC=OB，∠ACO=∠COB=∠ABO=90°， 又∵四边形的内角和是360°， ∴∠A=90°， ∵OF+BE=AB=BE+AE， ∴AE=OF， 在△ACE和△OCF中， ， ∴△ACE≌△OCF（SAS）， ∴CF=CE； （3）结论①正确，即OF+AE﹣EF的值不变，理由为： 在x轴负半轴上取点H，使OH=AE，连接CH， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC=OC，∠A=∠COH=90°， 在△ACE和△OCH中， ， ∴△ACE≌△OCH（SAS）， ∴∠1=∠2，EC=HC， ∵∠ACO=90°，∠ECF=45°， ∴∠1+∠3=45°， ∴∠2+∠3=45°，即∠ECF=∠HCF， 在△ECF和△HCF中， ， ∴△ECF≌△HCF（SAS）， ∴EF=HF=HO+OF=AE+OF， 则OF+AE﹣EF=0． 【点睛】本题考查了非负数的性质以及全等三角新的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 24．(1)是 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据三角形中位线定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：是； （2）解：由（1）得， ∴， ∵D，E分别是线段的中点， ∴是中位线， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$