河南省洛阳市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

洛阳市2024一—2025学年第一学期期末考试 高一数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.sin40°cos20°+c0s40°c0s70°= A分 B② D.1 2.已知集合M={x1(x-1)(x-2)<01,集合N={x12-≥1}，则MUN= A.（1,2) B.[1,2) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 3.已知)=lnx1,若a=之)，6=3)，c=八），则a,b,c的大小关系为 A.c <b a B.a<b<c C.c<a<b D.a <c <b 4要得到函数y=cos(3x+)的图象，需将)=co3x的图象 A.向左平移”个单位长度 B.向左平移T个单位长度 12 C.向右平移”个单位长度 12 D.向右平移号 个单位长度 5.已知a,b,c均为实数，且ab≠0，下列命题正确的是 Aa>6是。<古的充分条件 B.a>b是ac>bc的必要条件 a C.a>b是a2>b2的充分条件 D.a>b是ac2>bc2的必要条件 6.在计算机的算法分析中，算法的时间复杂度是指算法完成一次运行所需要的运算 次数，常用T()(单位：次)表示，其中n表示算法所要求解问题的数据规模.已知 某算法的时间复杂度T(n)=20n+nlog2n(n∈N),一台计算机每秒可进行1.3 亿次运算，要保证该算法能在此计算机上1秒内完成一次运行，则n的最大值为 A.40 B.50 C.60 D.70 高一数学 第1页（共4页） (2025.1) 7.设函数x)=4sin(ux+p)(A>0,u>0),若x)在区间[0，写]上具有单调性， 且号)=受)=-0)，则)的最小正周期为 A. 2π B.3m C.π 3 4 (e,x>0 8.已知函数f八x)= ,当x∈(0，e]时fx-2a)+fx+lnx2)≤2，则 2-e,x≤0 a的最小值为 A.0 B.1 C.e D.e+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，其零点分别为x1,x2,3,…,x5,若名1+x2 +3+…+x05=m,则关于x的方程2-x-3=m的解所在的区间是 A.（-3,-2)B.(-2,-1)C.（1,2) D.(2,3) 10已知函数)=sin(2x+石)+c0s(2x 2)+2ae红+a的最小值为1，则下 列说法正确的是 A.f八x)的最小正周期为T B.八)图象的一条对称轴为直线x=2 3 C)图象的-个对称中心为点(7,0) D九)在[-石]上单调递增 11.已知函数f八x)满足：①Hx,yeR(x+y)+f(x)+f(y)=f(x)f(y）)+2;②若 x≠y,则f(x)≠f八y).则下列结论正确的有 A.f0)=2 B.fx)+f-x)≥4 C.若f1)=3,则f(2)=5 D.若f3)=9,则f4)=11 高一数学第2页（共4页)（2025.1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知集合A={x10<x<a,B={xllg2(x-1)<0},若BCA,则实数a的 最小值是 13函数y=血(-之+子)e[-2m,0】的单调递始区间为 14已知a>0,b>0,且h=mia,。十(mia,表示，y中的较小者)，则 h的最大值为 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(12分) 设p:函数y=log1-m*是增函数，9：3xe[0,牙]，1a1≤cos(x+写)，若p和g均 正确，求实数α的取值范围. 16.(13分) 2 (1)求值：(1)2-(g2)2+1+1g5 (2)在锐角三角形ABC中，tanA=7,sinB=0,求A+2B的值 17.（13分) sin(a)cos (-a) 已知f(a)= cos(2+am)tan(T+a） (1)将f八a)化成最简形式； (2)求满足2x)≤号+)的x的集合 高一数学第3页（共4页）（2025.1) 18.(13分) 已知A={x10≤x≤1}，函数f(x)=log,(3x+a),g(x)=lg2(x+a),当且仅当 x∈A时f(x)≥g(x). (1)求实数a的值； (2)设h(x)=f(x)-g(x),当x∈A时，求函数h(x)的值域. 19.(13分) 果蔬清洗剂主要由表面活性剂、乳化剂、香精和色素等成分组成，使用果蔬清洗剂可 以去除果蔬表面的部分农药残留.但由于其本身也是一种化学物质，使用后可能会造成二 次污染，因此部分人群仍习惯于仅用清水清洗果蔬.已知用1个单位量的清水可清除果蔬 上残留农药量的)，用水越多，清洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在果蔬上.设用 x单位量的清水清洗一次后，果蔬上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函 数fx)= a+6ma>0,6>0) (1)试根据问题的实际含义，确定f(0),f(1)的值，并在此基础上，求出a,b的值； (2)现用m(m>0)单位量的清水，既可以清洗一次，也可以把水平均分成2份，先后 清洗两次哪种方案清洗后果蔬上残留的农药量比较少？请说明理由。 20.(13分) 已知函数f(x)=log2(2+I)-kx(keR)是定义在R上的偶函数. (1)求k的值； (2)设g()=)+7,且4(，80)，B(+1,8:+10),c(:+2,8(+2), 若1≤t≤2，求△ABC面积的取值范围. 高一数学第4页（共4页） (2025.1)洛阳市 2024———2025 学年第一学期期末考试 高一数学试卷参考答案 一、选择题 1 - 4. CDBA　 　 5 - 8. DBCD 二、选择题 9. AD　 　 10. ABD　 　 11. ABC 三、填空题 12. 2 　 　 13. [ - 2π, - π 3 ](开区间也给分) 　 　 14. 2 2 四、解答题 15. 解:由 p 正确可得 | 3a - 1 | > 1, ……1 分 ∴ 　 a < 0 或 a > 2 3 . ……3 分 由 x ∈ [0, π 4 ],得 x + π 6 ∈ [ π 6 ,5π 12 ],又 y = cosx 在[0,π] 上递减, ∴ 　 y = cos(x + π 6 ) 的最大值为 cos π 6 = 3 2 , ……6 分 由 q 正确,得 | a | ≤ 3 2 , ∴ 　 - 3 2 ≤ a ≤ 3 2 , ……9 分 由 p,q 均正确知 a < 0 或 a > 2 3 , - 3 2 ≤ a ≤ 3 2 . ì î í ï ï ï ï 　 ∴ 　 - 3 2 ≤ a < 0 或 2 3 < a ≤ 3 2 , ∴ 　 a 的取值范围为[ - 3 2 ,0) ∪ ( 2 3 , 3 2 ] . ……12 分 16. (1)(lg5) 2 - (lg2) 2 + 2 1 + log25 = (lg5 + lg2)(lg5 - lg2) + 2 log210 = 1 × (lg5 - lg2) + 2lg2 = lg5 + lg2 = 1. ……5 分 (2) 由已知 A,B,C 均为锐角. 由 sinB = 10 10 ,得 cos2B = 1 - 2sin2B = 1 - 2 × ( 10 10 ) 2 = 4 5 . ∴ 　 sin2B = 1 - cos22B = 1 - ( 4 5 ) 2 = 3 5 , 高一数学答案　 第1 页　 (共 4 页)　 (2025. 1) ∴ 　 tan2B = sin2B cos2B = 3 4 . ……8 分 又 tanA = 1 7 , ∴ 　 tan(A + 2B) = 1 7 + 3 4 1 - 1 7 × 3 4 = 1. ……10 分 又 tanA = 1 7 < 3 3 ,故 0 < A < π 6 , sinB = 10 10 < 1 2 ,故 0 < B < π 6 , ∴ 　 A + 2B ∈ (0, π 2 ) . ……12 分 从而 A + 2B = π 4 . ……13 分 17. (1)∵ sin(π - α) = sinα,cos( π 2 - α) = sinα,cos( π 2 + α) = - sinα,tan(π + α) = tanα ……4 分 ∴ f(x) = sinα·sinα- sinα·tanα = - sinα tanα = - cosα. ……5 分 (2) 结合(1) 知 f(2x) ≤ f( π 2 + x),即为 - cos2x ≤- cos( π 2 + x), ∴ 　 2sin2x - 1 ≤ sinx, ……8 分 ∴ 　 (sinx - 1)(2sinx + 1) ≤ 0, ∴ 　 sinx ≥- 1 2 . ……10 分 ∴ 　 - π 6 + 2kπ ≤ x ≤ 7π 6 + 2kπ,k ∈ Z. 故 x 取值的集合为{x | - π 6 + 2kπ ≤ x ≤ 7π 6 + 2kπ,k ∈ Z} . ……13 分 18. (1) 由 f(x) ≥ g(x) 得 log4(3x + a) ≥ log2(x + a) 即 log4(3x + a) ≥ log4(x + a) 2 . ……2 分 ∴ 　 3x + a ≥ (x + a) 2 x + a > 0{ ,即 x2 + (2a - 3)x + a2 - a ≤ 0 x > - a{ . ……3 分 依题意知,该不等式组的解集为 A = {x | 0 ≤ x ≤ 1} . ∴ 　 方程 x2 + (2a - 3)x + a2 - a = 0 的两根为 0,1. ∴ 　 0 + 1 = 3 - 2a 0 × 1 = a2 - a{ ,解得 a = 1. ……5 分 高一数学答案　 第2 页　 (共 4 页)　 (2025. 1) 经检验,当 a = 1 时,符合题意,故 a = 1 ……6 分 (2)h(x) = f(x) - g(x) = log4(3x + 1) - log2(x + 1) = log4 3x + 1 (x + 1) 2 . ……8 分 令 3x + 1 = t( 1 ≤ t ≤ 4) ,则 3x + 1 ( x + 1) 2 = t ( t + 2 3 ) 2 = 9 t ( t + 2) 2 = 9 t + 4 t + 4 ∈ [ 1, 9 8 ] , ……11 分 故 log4 3x + 1 (x + 1) 2 ∈ [0,log4 9 8 ] . ∴ 　 函数 h(x) 的值域为[0,log4 9 8 ] . ……13 分 19. (1) 根据问题的实际意义,可知 f(0) = 1,f(1) = 1 2 , 将(0,1),(1, 1 2 ) 代入 f(x) = 1 a + bx2 得 1 a + b × 02 = 1 1 a + b × 12 = 1 2 ì î í ï ï ï ï ,　 ∴ 　 a = 1,b = 1. ……4 分 (2) 由(1) 知 f(x) = 1 1 + x2 . 设果蔬未被清洗时,农药残留量为单位 1, 若用 m 单位量的水清洗一次,则农药残留量为 f(m) = 1 1 + m2 ; ……6 分 若将 m 单位量的水平均分成 2 份,先后清洗 2 次,则农药残留量为 [ f( m 2 )] 2 = [ 1 1 + ( m 2 ) 2 ] 2 = ( 4 m2 + 4 ) 2 . ……8 分 1 1 + m2 - ( 4 m2 + 4 ) 2 = (m 2 + 4) 2 - 16(m2 + 1) (m2 + 1)(m2 + 4) 2 = m 4 - 8m2 (m2 + 1)(m2 + 4) 2 = m 2(m2 - 8) (m2 + 1)(m2 + 4) 2 . ……10 分 ① 当 m2 - 8 > 0,即 m > 2 2 时, 1 1 + m2 > ( 4 m2 + 4 ) 2 将水均分成 2 份,清洗两次,农药残留量比较少. ……11 分 ② 当 m2 - 8 = 0,即 m = 2 2 时, 1 1 + m2 = ( 4 m2 + 4 ) 2, 两种方式下,农药残留量相等. ……12 分 高一数学答案　 第3 页　 (共 4 页)　 (2025. 1) ③ 当 m2 - 8 < 0,即 0 < m < 2 2 时, 1 1 + m2 < ( 4 m2 + 4 ) 2 . 清洗一次,农药残留量比较少. ……13 分 20. (1) 由 f( - x) = f(x) 得: log2(2 -x + 1) + kx = log2(2x + 1) - kx, ∴ 　 log2(2 -x + 1) - log2(2x + 1) + 2kx = 0, ∴ 　 log2 2 -x + 1 2x + 1 + 2kx = 0, ∴ 　 log2 1 + 2x 2x(2x + 1) + 2kx = 0, 从而(2k - 1)x = 0. 　 ∴ 　 k = 1 2 . ……4 分 (2) 由(1) 知 f(x) = log2(2x + 1) - 1 2 x ∴ 　 g(x) = f(x) + 1 2 x = log2(2x + 1), 又 A( t,g( t)),B( t + 1,g( t + 1)),C( t + 2,g( t + 2)), ∴ 　 S△ABC = 1 2 × [( t + 2) - t] × g( t) + g( t + 2) 2 - g( t + 1) ……6 分 = 1 2 log2[(2t + 1)(2t +2 + 1)] - log2(2t +1 + 1) = log2 22t +2 + 2t +2 + 2t + 1 22t +2 + 2t +2 + 1 ……8 分 其中 22t +2 + 2t +2 + 2t + 1 22t +2 + 2t +2 + 1 = 1 + 2 t 22t +2 + 2t +2 + 1 = 1 + 1 4 × 2t + 1 2t + 4 , ……10 分 由于 t ∈ [1,2],故 2t ∈ [2,4],　 ∴ 　 4 × 2t + 1 2t ∈ [17 2 ,65 4 ] . ∴ 　 1 + 1 4 × 2t + 1 2t + 4 ∈ [85 81 ,27 25 ], ……12 分 故 △ABC 面积的取值范围为[log2 85 9 ,log2 3 3 5 ] . ……13 分 高一数学答案　 第4 页　 (共 4 页)　 (2025. 1)