9.2 用样本估计总体 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教2019A版必修 第二册 第九章 统 计 9.2.1 总体取值规律的估计 第1课时 频率分布直方图 教学目标 1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律． 2.会列频率分布表，画频率分布直方图． 3.能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律． 面对一个统计问题，在随机抽样获得观测数据的基础上，需要根据数据分析的需要，选择适当的统计图表描述和表示数据，获得样本的规律，并利用样本的规律估计总体的规律，解决相应的实际问题.针对数据的处理，请看下面的问题。 问题一：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作？ 标准如果定的太低，会影响很多居民的日常生活；标准如果太高，则不利于节水。为了确定一个较为合理的用水标准，必须先了解在全市所有居民用户中，月用水量在不同范围内的居民用户所占的比例情况。 问题导入 在时间、经费允许的情况下，我们可以通过全面调查获得过去一年全市所有居民用户的月均用水量数据，进而得到月均用水量在不同范围内的居民用户所占的比例。由于全市居民很多，通常采用抽样调查的方式，通过分析样本观测数据，来估计全市居民用户月均用水量的分布情况。 问题二：在这个问题中，总体、个体、调查变量分别是什么？ 假设通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t） 9.0 13.6 14.9 5.9 4.0 7.1 6.4 5.4 19.4 2.0 2.2 8.6 13.8 5.4 10.2 4.9 6.8 14.0 2.0 10.5 2.1 5.7 5.1 16.8 6.0 11.1 1.3 11.2 7.7 4.9 2.3 10.0 16.7 12.0 12.4 7.8 5.2 13.6 2.4 22.4 3.6 7.1 8.8 25.6 3.2 18.3 5.1 2.0 3.0 12.0 22.2 10.8 5.5 2.0 24.3 9.9 3.6 5.6 4.4 7.9 5.1 24.5 6.4 7.5 4.7 20.5 5.5 15.7 2.6 5.7 5.5 6.0 16.0 2.4 9.5 3.7 17.0 3.8 4.1 2.3 5.3 7.8 8.1 4.3 13.3 6.8 1.3 7.0 4.9 1.8 7.1 28.0 10.2 13.8 17.9 10.1 5.5 4.6 3.2 21.6 总体是该市的全体居民用户，个体是每户居民，调查变量是居民用户的月均用水量。 问题三：从这组数据我们能发现什么信息呢？ 如果将这组数据按从小到大排序，发现这组数据的最小值是1.3t,最大值是28.0t，其他在1.3t和28.0t之间。为了更深入地挖掘数据蕴含的信息，需要对数据作进一步的整理与分析。 为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来。在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数。 在这个实际问题中，因为我们更关心月均用水量在不同范围内的居民占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表和频率分布直方图在整理和表示数据。 思考四：什么是频数？什么是频率？ 频数：在总体(或样本）中，某个个体出现的次数叫做这个个体的频数。 频率：某个个体的频数与总体(或样本）中所含个体的数量的比叫做这个个体的频率。 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图。 1.求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差。 样本观测数据的最小值是1.3t，最大值是28.0t，则极差为28.0-1.3=26.7，这样说明样本观测数据的变化范围是26.7t. 2.决定组距与组数 组数太多或太少都会影响我们了解数据的分布情况。 组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程。数据分组的组数与数据的个数有关，一般数据的个数越多，所分组数也越多。当样本容量不超过100时，常分成5~12组。数据分组可以是等距，也可以是不等距的。 但为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”。 一、频率分布表和频率分布直方图 新知探究 分组时可以先确定组距，也可以先确定组数。 如果取组距为3，则极差/组距=26.7/3=8.9 即可以将数据分为9组，这也说明这个组距是比较合适的。 3.将数据分组 由于组距为3，9个组距的长度超过极差，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右断点略大于数据中的最大值。例如，可以取区间为[1.2,28.2]，按如下方式把样本观测数据以组距为3分为9组：[1.2,4.2),[4.2,7.2),...,[25.2,28.2] 一、频率分布表和频率分布直方图 新知探究 4.列频率分布表 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是：第一组频数/样本容量=23/100=0.23.由此方法作出频率分布表。 一、频率分布表和频率分布直方图 新知探究 5.画频率分布直方图 根据频率分布表可以得到如下的频率分布直方图。在频率分布直方图中，横轴表示月均用水量，纵轴表示频率/组距。 在这里，我们发现，纵轴实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高，它反映了各组样本观测数据的疏密程度。 因为小长方形面积=组距×（频率/组距）=频率，所以各小长方形的面积表示相应各组的频率。 一、频率分布表和频率分布直方图 新知探究 一、频率分布表和频率分布直方图 新知探究 频率分布直方图的纵轴是频率/组距，而频数分布直方图的纵轴是频数。 思考一：频率分布直方图与频数分布直方图有什么区别？ 频率分布直方图中：小长方形的高=频率/组距 小长方形的面积表示该组的频率。 所有小长方形的面积和=1，即频率之和为1. 从频率分布表中可以看出，样本观测数据落在各个小组的比例大小。例如，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民用户最多，在区间[1.2，4.2)内的次之，而月均用水量超过16.2的各区间内数据所占比例较小，等等。 从频率分布直方图可以看出，居民用户月均用水量的样本观测数据的分布是不对称的，图形的左边高、右边低，右边有一个较长的“尾巴”。这表明大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域，尤其在[1.2，7.2)最为集中，少数用户居民的月均用水量偏多，而且随着月均用水量的增加，居民用户数呈现降低趋势。 二、根据样本数据估计总体情况 新知探究 思考二：观察上述频率分布表和频率分布直方图，你觉得这组数据中蕴含了哪些有用的信息？你能发现居民用户月均用水量的那些分布规律？你能给出适当的语言描述吗？ 有了样本观测数据的频率分布，我们可以用它估计总体的取值规律。根据100户居民用户的月均用水量的频率分布，可以推测该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分布，即大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域。 这使我们确定用水量标准时，可以定一个合适的值，以达到既不影响大多数居民用户的水费支出，又能节水的目的。 需要注意的是，由于样本的随机性，这种估计可能会存在一定误差，但这一误差一般不会影响我们对总体分布情况的大致了解。 二、根据样本数据估计总体情况 新知探究 思考三：分别以3和27为组数，对数据进行等距分组，画出100户居民用户月均用水量的频率分布直方图。观察图形，你发现不同的组数对于直方图呈现数据分布规律有什么影响？ 二、根据样本数据估计总体情况 新知探究 图（1）中直方图的组数少、组距大，从图中容易看出，数据分布的整体规律是随着月均用水量的增加，居民用户数的频率在降低，而且月均用水量在区间[1.2，10.2)内的居民用户数的频率，远大于在另两个区间[10.2，19.2)和[19.2，28.2)内的频率，这说明大部分居民用户的月均用水量都少于10.2t。 二、根据样本数据估计总体情况 新知探究 图（2）中直方图的组数多、组距小，从图中可以看出，数据主要集中在低值区，尤其在区间[5.2，6.2)内最为集中，从总体上看，随着月均用水量的增加，居民用户数的频率呈下降趋势，但存在个别区间频率变大或者缺少的现象。 从上图可以看出，同一组数据，组数不同，得到的直方图形状也不尽相同。 从上述分析可见，当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息； 当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点。 同时，对于同一组数据，因为组距、组数不同而得到不同形状的直方图，会给人以不同的频率分布印象，这种印象有时会影响人们对总体的判断。 因此，我们要注意积累数据分组、合理使用图表的经验。 思考四：根据上图你能发现组数少与组数大各有什么优缺点？ 1、求极差：即数据中最大值与最小值的差； 2、决定组距和组数：组数=极差/组距；注意：①一般样本容量越大，所分组数越多；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组． 3、将数据分组：通常对组内数值所在区间，取左闭右开区间 , 最后一组取闭区间； 4、登记频数,计算频率和频率／组距 , 列频率分布表；一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频率合计应是样本容量，频率合计是1. 5、画频率分布直方图。画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示频率/组距．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积． 思考五：画频率分布直方图有哪几个步骤？ 1.在某次数学测验后,将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图(如图),则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是(　　) 练 习 A.210 B.205 C.200 D.195 解析 由频率分布直方图,得在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1-(0.012+0.018+0.030)×10=0.4, ∴在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为500×0.4=200.故选C. 2.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80）， [80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（　　）人 解：∵成绩低于60分有第一、二组数据， 在频率分布直方图中，对应矩形的 高分别为0.005，0.01，每组数据的 组距为20，则成绩低于60分的频率 P=（0.005+0.010）×20=0.3， 又∵低于60分的人数是15人， 则该班的学生人数是15/0.3=50人。 3.如图所示是一个容量为1 000的样本频率分布直方图，请根据图形中的数据填空． (1)样本数据落在范围[5,9)的频率为________； (2)样本数据落在范围[9,13)的频数为________． 答案 (1)0.32　(2)360 4.如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题： （1）求：79.5-89.5这一组数据的频数、频率； （2）求：本次竞赛的及格率（60分及以上为及格）。 解： （1）频率为：0.025×10=0.25， 频数：60×0.25=15； （2）0.015×10+0.03×10 +0.025×10+0.005×10=0.75。 5.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示： （1）直方图中x的值为______； （2）在这些用户中，用电量落在 区间[100，250）内的户数为______． 解：（1）依题意及频率分布直方图知， 0.0024×50+0.0036×50+0.0060×50+x×50+0.0024×50+0.0012×50=1， 解得x=0.0044． （2）样本数据落在[100，150）内的频率0.0036×50=0.18， 样本数据落在[150，200）内的频率为0.006×50=0.3． 样本数据落在[200，250）内的频率为0.0044×50=0.22， 故在这些用户中，用电量落在区间[100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）×100=70． 6.某制造商3月份生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表： 补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在下图中画出频率分布直方图． 频率分布直方图如下： 解析：频率分布表如下： 7.如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图,且在[15,18)内频数为8. (1)求样本在[15,18)内的频率; (2)求样本量; (3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06, 求在[18,33)内的频数. 解题技巧 小 结 小 结 课堂作业 教材：P197 练习1、2 $$