专题1 整式乘法中的数学思想-【初中学霸创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学习题课件(湘教版2024)

第1章　整式的乘法 专题1　整式乘法中的数学思想 1 1. 有一块长方形绿地，现进行如下改造：将长减少2 m，将宽增加2 m. 若改造后得到一块正方形绿地，且它的面积是原来长方形绿地面积的2倍，则改造后正方形绿地的面积为________. 思想1 方程思想 8 m2 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 2 2. 如图，在长方形ABCD中，AB=6，E，F分别是边BC，CD上的点，EC=3，且BE=DF=x，分别以FC，CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN，若长方形CBQF的面积为20，则图中阴影部分的面积和为________. 41 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 3 3. （岳阳一模）已知6x2-4x-3=0，求（x-1）2+x 的值. 思想2 整体思想 【解】（x-1）2+x=x2-2x+1+x2+x=2x2-x+1， 因为6x2-4x-3=0，所以6x2-4x=3， 所以2x2-x=1，所以2x2-x+1=2. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 4 4. （新趋势　材料阅读题）阅读材料： 整体代入是数学中常用的方法. 例如“已知3a-b=2，求代数式6a-2b-1的值.”可以这样解：6a-2b-1=2（3a-b）-1=2×2-1=3. 根据上述材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=4的解，求代数式4a2+4ab+b2+6a+3b-1的值. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 5 【解】因为x=2是关于x的一元一次方程ax+b=4的解， 所以2a+b=4， 所以（2a+b）2=4a2+4ab+b2=16，3（2a+b）=6a+3b=12， 所以4a2+4ab+b2+6a+3b-1=16+12-1=27. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 6 5. （新趋势　过程性学习）阅读例题的解答过程，并解答以下问题. 例：（a-2b+3）（a+2b-3） =［a-（2b-3）］［a+（2b-3）］… ① =a2-（2b-3）2 ……………………… ② =a2-（4b2-12b+9）………………… ③ =a2-4b2+12b-9. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 7 （1）例题求解过程中，利用了整体思想，其中①→②的运算依据是___________________，②→③的运算依据是____________________（填整式乘法公式的名称）. （2）用上述方法计算：（a+2x-y-b）（a-2x+y-b）. 【解】（2）（a+2x-y-b）（a-2x+y-b） =［（a-b）+（2x-y）］［（a-b）-（2x-y）］ =（a-b）2-（2x-y）2 =a2-2ab+b2-4x2+4xy-y2. 平方差公式 完全平方公式 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 8 6. 已知2n=a，3n=b，24n=c，那么a，b，c之间满足的等量关系是 （　　） A. c=3a+b B. c=a3+b C. c=3ab D. c=a3b 思想3 转化思想 D 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 9 7. （新趋势　材料阅读题）阅读材料： 若a3=2，b5=3，比较a，b的大小. 解：因为a15=（a3）5=25=32，b15=（b5）3=33=27， 且32>27，所以a15>b15，所以a>b. 类比阅读材料的方法，解答下列问题： 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 10 （1）上述求解过程中，逆用的幂的运算性质是________. A. 同底数幂的乘法 B. 积的乘方 C. 幂的乘方 D. 以上都不对 （2）若x5=2，y7=3，试比较x与y的大小. C 【解】（2）因为x35=（x5）7=27=128，y35=（y7）5=35=243，且128<243， 所以x35<y35，所以x<y. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 11 8. （永州冷水滩期中）做这样一道题目：“若x满足（80-x）（x-60）=30，求（80-x）2+（x-60）2的值”时，我们采用如下方法： 设80-x=a，x-60=b，则a+b=（80-x）+（x-60）=20，ab=（80-x）（x-60）=30， 所以（80-x）2+（x-60）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×30=340. 请你根据上述方法，解决以下问题： 若x满足（30-x）（x-20）=-10，求（30-x）2+（x-20）2的值. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 【解】设30-x=a，x-20=b， 则a+b=10，ab=（30-x）（x-20）=-10， 所以（30-x）2+（x-20）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=100+20=120. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 13 9. （新趋势　材料阅读题）我们知道a2为非负数，即a2≥0，所以代数式a2的最小值为0. 学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用x2±2xy+y2=（x±y）2来求一些多项式的最小值. 例如：求x2+6x+3的最小值问题. 解：因为x2+6x+3=x2+6x+9-6=（x+3）2-6，又（x+3）2≥0，所以（x+3）2-6≥-6，所以x2+6x+3的最小值为-6. 请应用上述方法，解决下列问题： （1）探究：x2-4x+5=（x________）2+________. -2 1 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 14 （2）求2x2+4x的最小值. （3）比较代数式x2-1与2x-3的大小. 【解】（2）2x2+4x=2（x2+2x+1-1）=2（x+1）2-2， 因为2（x+1）2≥0，所以2（x+1）2-2≥-2， 所以2x2+4x的最小值是-2. （3）x2-1-（2x-3）=x2-2x+1+1=（x-1）2+1， 因为（x-1）2≥0，所以（x-1）2+1>0， 所以x2-1>2x-3. 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 15 10. 如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形A，B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分的面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3（图2、图3中正方形纸片A，B均无重叠部分），则图3阴影部分的面积为 （　　） 思想4 数形结合思想 A. 22 B. 24 C. 42 D. 44 C 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 11. 如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，其边长分别为a，b，如果a+b=10，ab=24，那么阴影部分的面积是________. 14 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $$