第六章 计数原理自学检测卷-2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 第六章 计数原理自学检测卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【详解】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种， 丙丁两人听不同的讲座，方法数有种， 所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种. 故选：A 2．设，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】C 【详解】由，令，得； 令，得， 所以． 故选：C． 3．2024年10月1日是我国国庆75周年，全国人民以各种各样的形式共同庆祝.我校以文艺演出的形式庆祝，原本准备了4个舞蹈，2个独唱，2个朗诵节目（顺序已定），现节目组临时决定加入一个学生红歌合唱与一个教师红歌合唱，则节目的不同排法一共有（ ）种 A．72 B．36 C．45 D．90 【答案】D 【详解】原本8个节目顺序不动，形成个空， 将两个红歌合唱节目插进去，可以插入两个空或一个空两种， 所以共有种排法. 故选：D 4．已知m，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，， 显然，故A错误； 对于B，， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，， 所以，故D错误. 故选：C. 5．在的展开式中，含项的系数为（   ） A． B．160 C． D．100 【答案】C 【详解】依题意，展开式中含的项是，含的项是， 因此的展开式中，含的项为， 所以所求系数为. 故选：C 6．从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合，则的种数为（    ） A．8 B．3 C．6 D．7 【答案】A 【详解】集合的非空子集有共7个， 从7个中选两个不同的集合A，B，共有种选法， 因为， 当时，则可为共3种， 当时，共1种， 同理当时，则可为共3种， 当时，共1种， 则符合的共有种， 故选：A. 7．在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第3项 【答案】A 【详解】由可得， 当，，则， 其展开式的通项为， 令，得，解得； 当，，则， 其展开式的通项为， 令，得，解得； 综上所述： ， 所以展开式共有项，所以展开式中二项式系数最大项是第项. 故选：A 8．化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， ， ， ， ， ， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是利用排列数和组合数性质将依次巧妙变形得，然后根据此式依次变形计算即可求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．对于，下列判断正确的是（    ） A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，使得展开式中有常数项 C．对任意，展开式中不含项 D．存在，使得展开式中含项 【答案】BD 【详解】的展开式的通项为， 令，得，即当是7的整数倍时，有常数项，故A错误，B正确； 令，取，此时展开式中含项，故C错误，D正确. 故选：BD. 10．（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（    ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每人都要安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排的方案数是 D．若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 【答案】ABD 【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故A错误． 对于B，根据题意，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误． 对于C，根据题意，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，则有种安排方法； ②从丙、丁、戊中选出1人开车，则有种安排方法，则共有种安排方法，故C正确． 对于D，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法， 将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故D错误． 故选:ABD． 11．带有编号、、、、的五个球，则（    ） A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法 B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 【答案】AC 【详解】对于A：由分步计数原理， 五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确； 对于B：由排列数公式， 五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B错误； 对于C：将其中的个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有种放法，故C正确； 对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒， 共有种不同的放法，故D错误． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若，则 . 【答案】3 【详解】因为， 所以， 则，即，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：3. 13．已知，则的值为 ． 【答案】28 【详解】由， 则， 上式二项展开的通项为：. 令，可得. 故答案为：28. 14．某商场举办一个促销活动，一次性消费达到一定金额可抽奖一次，抽奖规则：在一个不透明的箱子中放有7个质地、大小完全相同的小球，每个小球的表面上均标有1个数字，数字为1或2，每次抽奖从箱子中一次性随机摸取3个小球，若3个小球表面上所标数字之和为奇数，则中奖，否则不中奖.记标有数字1的小球个数为，从商场的角度考虑，若想使中奖率最低，则 . 【答案】5 【详解】设标有数字2的小球个数为，则， 当，时，中奖的概率为； 当，时，中奖的概率为； 当，时，中奖的概率为； 当，时，中奖的概率为； 当，时，中奖的概率为， 综上可知，当时，中奖率最低. 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知展开式中前三项系数成等差数列． (1)求的值； (2)判断展开式中是否有含的项．若有，则求出含的项；若没有，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)有， 【详解】（1）展开式的通项公式为， 由题意可得，且成等差数列， 即，解得． （2）由（1）可得， 令，解得，则． 16．（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）因为，解得或（舍去）； （2）不等式， 即， 即，即，解得， 又，即且，所以或，故不等式的解集为. 17．已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. (1)求的值； (2)设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 【答案】(1)8 (2)①255，②（也正确） 【详解】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有； （2）在， 令，得； 令，得①； . 令，得②； ②，得.（也正确） 18．从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生甲不担任物理课代表； (3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 【答案】(1)5400 (2)13440 (3)4620 【详解】（1）由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生， ①有4个女生的选法有：种； ②有3个女生的选法有：种； 不同的安排方法种数有种． （2）因为女生甲不担任物理课代表，从除女生甲外的其他8人中选取1人担任除物理课代表， 再从剩下的8个人中选其余4科课代表，所以不同的安排种数有种； （3）因为女生乙人选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表， ①男生甲入选的选法有：种； ②男生甲不入选的选法有：种； 所以不同的安排方法种数有种． 19．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)560 (3)存在， 【详解】（1）第10行的各数之和为：. （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为： . （3）存在，理由如下： 设在第行存在连续三项，其中且且， 有且，化简得且， 即，解得， 所以， 故这三个数依次是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高二数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 第六章 计数原理自学检测卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．设，则（    ） A．1 B． C．2024 D． 3．2024年10月1日是我国国庆75周年，全国人民以各种各样的形式共同庆祝.我校以文艺演出的形式庆祝，原本准备了4个舞蹈，2个独唱，2个朗诵节目（顺序已定），现节目组临时决定加入一个学生红歌合唱与一个教师红歌合唱，则节目的不同排法一共有（ ）种 A．72 B．36 C．45 D．90 4．已知m，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在的展开式中，含项的系数为（   ） A． B．160 C． D．100 6．从集合的非空子集中随机选择两个不同的集合，则的种数为（    ） A．8 B．3 C．6 D．7 7．在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第3项 8．化简结果为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．对于，下列判断正确的是（    ） A．对任意，展开式中有常数项 B．存在，使得展开式中有常数项 C．对任意，展开式中不含项 D．存在，使得展开式中含项 10．（多选）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（    ） A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为 B．若每人都要安排一项工作，每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为 C．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则这5名同学全部被安排的方案数是 D．若司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 11．带有编号、、、、的五个球，则（    ） A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法 B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法 D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若，则 . 13．已知，则的值为 ． 14．某商场举办一个促销活动，一次性消费达到一定金额可抽奖一次，抽奖规则：在一个不透明的箱子中放有7个质地、大小完全相同的小球，每个小球的表面上均标有1个数字，数字为1或2，每次抽奖从箱子中一次性随机摸取3个小球，若3个小球表面上所标数字之和为奇数，则中奖，否则不中奖.记标有数字1的小球个数为，从商场的角度考虑，若想使中奖率最低，则 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知展开式中前三项系数成等差数列． (1)求的值； (2)判断展开式中是否有含的项．若有，则求出含的项；若没有，请说明理由． 16．（1）已知：，求； （2）解不等式：，其中. 17．已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. (1)求的值； (2)设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 18．从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数： (1)有女生但不少于男生； (2)女生甲不担任物理课代表； (3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表． 19．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$