专题03 勾股定理及逆定理的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题03 勾股定理及逆定理的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 2 类型二、已知两点坐标求两点距离 6 类型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 8 类型四、勾股树（数）的判断 10 类型五、判断三边能否构成直角三角形 11 类型六、在网格中判断直角三角形 14 类型七、利用勾股定理逆定理求解 17 压轴能力测评（16题） 20 解题知识必备 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 2.勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 3.勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 压轴题型讲练 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 例题：（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，于点于点，点是中点，若，则的长是 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，将沿直线平移，顶点A、C、B平移后分别记为、、，若与重合部分的面积2，则＝ ． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，，则 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）是直角三角形，，，则的长为 ． 类型二、已知两点坐标求两点距离 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）点，是平面直角坐标系中的两点，则线段 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知平面直角坐标系中的两点分别为，则，两点之间的距离为 ． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，存在轴一点，使最小，则最小值是 ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是平面直角坐标系中的两点，P是线段垂直平分线上的点，如果点P与点的距离等于，则点P的坐标为 ． 类型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    2．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 类型四、勾股树（数）的判断 例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．，， D．3，4，5 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西九江·期末）下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 类型五、判断三边能否构成直角三角形 例题：（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各选项中，不能构成直角三角形三边长的一组是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．8，6，10 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东威海·期末）已知是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 3．（浙江省嘉兴市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（） A．， B．，， C．， D．， 类型六、在网格中判断直角三角形 例题：（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 2．（23-24八年级下·黑龙江·阶段练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 类型七、利用勾股定理逆定理求解 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 2．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形中，，，，且．求： (1)的度数； (2)四边形的面积． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图；四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，中，于点，则的长为 ． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有、，那么 ． 8．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知中，，，，且满足．则边上的高为 ． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    10．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知在平面直角坐标系中、、．点在轴上运动，当点与点，，三点中任意两点构成直角三角形时，点的坐标为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，于点D，．      (1)分别求出、、的长． (2)猜想是什么三角形，并证明你的猜想． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知正方形网格中的，若每个小方格的边长为，请你根据所学的知识解答下列问题． (1)求的面积； (2)判断是什么形状？并说明理由． 13．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 14．（河南省郑州市航空港区2024—2025学年上学期期末八年级数学调研卷）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式．    利用上面公式解决下列问题： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离； (2)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理及逆定理的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 2 类型二、已知两点坐标求两点距离 6 类型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 8 类型四、勾股树（数）的判断 10 类型五、判断三边能否构成直角三角形 11 类型六、在网格中判断直角三角形 14 类型七、利用勾股定理逆定理求解 17 压轴能力测评（16题） 20 解题知识必备 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 2.勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 3.勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 压轴题型讲练 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 例题：（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，于点于点，点是中点，若，则的长是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 延长交于点，证明得出，再证明，得到，再根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图， ，， ， 点是中点， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，将沿直线平移，顶点A、C、B平移后分别记为、、，若与重合部分的面积2，则＝ ． 【答案】或/或 【知识点】二次根式的加减运算、利用平移的性质求解、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，分沿直线向右平移和当沿直线向左平移，两种情况进行讨论求解，当沿直线向右平移时，设交于点，根据平移的性质，易得：为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式，求出的长，进而求出的长，再根据线段之间的和差关系进行求解，当沿直线向左平移时，同法进行求解即可． 【详解】解：①当沿直线向右平移时，设交于点， ∵，， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴； ②当沿直线向左平移时，如图， 同法可得：， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，，则 ． 【答案】8 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 运用勾股定理可得的值，根据，可得，由此即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）是直角三角形，，，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理，本题中只说明了是直角三角形、，并没有说明直角是哪个角，所以要分两种情况讨论．当、时，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出；当、时，设，则，根据勾股定理可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示， 若，， 在中，，， ； 如下图所示， 若，， 设， 则， 在中，， ， 解得：或(舍去)； 综上所述，的长为或． 类型二、已知两点坐标求两点距离 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）点，是平面直角坐标系中的两点，则线段 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题关键；根据两点间距离公式计算即可． 【详解】解：，， 则线段， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）已知平面直角坐标系中的两点分别为，则，两点之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、化为最简二次根式 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，存在轴一点，使最小，则最小值是 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称、两点之间线段最短 【分析】本题考查了轴对称的性质，线段最短问题，坐标的距离公式，，利用轴对称的性质解决线段最短问题是解题关键．作点B关于轴的对称点，连接，与轴的交点为点P，先得到，再根据两点间线段最短可知，的最小值为，利用坐标的距离公式即可求出的长， 【详解】解：点的坐标为， 过点作关于轴的对称点的坐标为． ， 即的最小值为， 的坐标为， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）设，是平面直角坐标系中的两点，P是线段垂直平分线上的点，如果点P与点的距离等于，则点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及平面直角坐标系的两点间距离，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直平分线得出，则，整理得，因为点P与点的距离等于，所以，再解方程，即可作答． 【详解】解：设， ∵P是线段垂直平分线上的点， ∴， ∵，， 即， ∴， ∵点P与点的距离等于， ∴， 把代入，， 解得 则， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 类型三、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例题：（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【答案】8 【知识点】全等三角形综合问题、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D是线段上一点，且满足条件：，．若，，，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、等边对等角 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，进而求出DC，再用勾股定理即可得结论． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 类型四、勾股树（数）的判断 例题：（24-25八年级上·陕西西安·期末）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．13，14，15 B． C．，， D．3，4，5 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟知勾股数是满足勾股定理的一组正整数是解题的关键．根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、，错误，不是勾股数，不符合题意； B、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、，正确，是勾股数，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西九江·期末）下列几组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．13，15，20 D．6，8，11 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是勾股数，不符合题意； B、，则此项是勾股数，符合题意； C、，则此项不是勾股数，不符合题意； D、，则此项不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解答本题的关键． 根据勾股数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、，是勾股数，故A选项不符合题意； B、，是勾股数，故B选项不符合题意； C、，是勾股数，故C选项不符合题意； D、，不是勾股数，故D选项符合题意； 故选：D． 类型五、判断三边能否构成直角三角形 例题：（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各选项中，不能构成直角三角形三边长的一组是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．8，6，10 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理逆定理“如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形”即可解答． 【详解】解：A．∵，∴不能构成直角三角形； B．∵，∴能构成直角三角形； C．∵，∴能构成直角三角形； D．∵，∴能构成直角三角形； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东威海·期末）已知是的三边，下列条件中，能够判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了五定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理勾股定理的逆定理进行计算解答即可． 【详解】解：A. ， ， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B.， ， ， ， 是直角三角形， 故该选项符合题意； C. ， 设， ， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； D. ， ，， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B ． 2．（24-25八年级上·上海·期末）用下列几组边长构成的三角形中哪一组不是直角三角形（   ） A．8，15，17 B．，， C．，2， D．1，2， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为8，15，17的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴三边长为，，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴三边长为，2，的三角形不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴三边长为1，2，的三角形可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（浙江省嘉兴市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）在下列条件中，不能判断是直角三角形的是（） A．， B．，， C．， D．， 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； B、，，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意； C、，， ， ， 是直角三角形，本选项不符合题意． D、，， 不能得出是直角三角形，本选项符合题意， 故选：D． 类型六、在网格中判断直角三角形 例题：（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． (1)填空：______，______，______． (2)是直角吗？请说明理由． (3)请建立适当的平面直角坐标系，并写出，，三点的坐标． 【答案】(1)；；5 (2)是直角，理由见解析 (3)图见解析，， ，（答案不唯一） 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，用坐标表示点的位置，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）利用勾股定理计算求解，即可解题； （2）利用勾股定理逆定理进行判断，即可解题； （3）结合图形建立平面直角坐标系，再根据坐标系写出，，三点的坐标，即可解题（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形网格的每个小方格边长均为1， ，，． 故答案为：，，5； （2）解：是直角，理由如下： ， 为直角三角形， 是直角． （3）解：以为原点，建立如下所示的平面直角坐标系， 由图知，， ，． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】（）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 2．（23-24八年级下·黑龙江·阶段练习）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中，的三个顶点均在格点上 (1)求的周长； (2)试判断的形状． 【答案】(1) (2)是直角三角形，见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可得：，，，从而求出，，的长，然后利用三角形的周长公式，进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，再根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； 【详解】（1）由题意得： ， ， ， ∴， ， ， ∴的周长， ∴的周长为； （2）是直角三角形， 理由：由（1）可得： ，， ∴， ∴是直角三角形． 类型七、利用勾股定理逆定理求解 例题：（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 【答案】(1)是；见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理等知识；掌握这两个定理是解题的关键； （1）由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，则得长是点到直线的最短距离； （2）在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：长是点到直线的最短距离； 理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴长是点到直线的最短距离； （2）解：由（1）知，， 在中，， 由勾股定理得：； ∴点和点的距离为． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】（1）24；（2）船向岸边移动了米 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据勾股定理和∠BCD=90°，，，可以先求出的长；再根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． （2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积 （2）在中， ∵米，米 ∴米 ∵米 ∴米 米 ∴船向岸边移动了米 2．（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形中，，，，且．求： (1)的度数； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积． （1）连接，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可求出的度数； （2）由（1）可知和是直角三角形，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知和是直角三角形， ∴ ． 压轴能力测评（16题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·江西南昌·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，故6，8，10是勾股数，符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识点，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可判断选项，根据三角形内角和定理求出和的度数，即可判断选项，选项，根据勾股定理的逆定理判定选项即可，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解决此题的关键． 【详解】解：、由,，则不是直角三角形，故本选项符合题意； 、由,，得,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,,则,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,得是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，等腰直角中，为中点，为上一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，作点关于的对称点，连接，，依据轴对称的性质，即可得到，，，根据，可得当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 如图所示，作点关于的对称点，连接，，， 则，，， ∴， 是的中点， ， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小， 在中， 的最小值为． 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知条件画图，通过分类讨论即可作答． 【详解】如图，过点作于，连接 当点在上时： 和关于对称 ，即 得： 当点在的延长线上时，同理可得 故选：A． 5．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图；四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键； 连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关于的方程，解方程得到答案． 【详解】如图, 连接, ∵是线段的垂直平分线， ， 在中, 在中, 则, ∵， ∴， ∴ 解得： 故选：B． 二、填空题 6．（23-24七年级上·山东淄博·期中）如图，中，于点，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·全国·单元测试）如果在直角坐标平面内有、，那么 ． 【答案】5 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了两点间的距离公式，解题的关键是掌握，，则，根据两点间的距离公式，即可解答． 【详解】解：∵、， ∴， 故答案为：5． 8．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知中，，，，且满足．则边上的高为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形、绝对值非负性、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的面积．根据非负数的性质得出，继而得出，再根据三角形面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是直角三角形， 设斜边上的高为， ∴， ∴， 故答案为： ． 9．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 10．（24-25八年级上·江西南昌·期末）已知在平面直角坐标系中、、．点在轴上运动，当点与点，，三点中任意两点构成直角三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、坐标与图形综合 【分析】本题考查了勾股定理坐标与图形及等腰三角形的性质及判定，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．因为点、、在轴上，所以、、三点不能构成三角形．再分和两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵点、、在轴上， ∴、、三点不能构成三角形． 设点的坐标为．当为直角三角形时， ①，点在原点处坐标为； ②时， ∵、、． ∴， 解得， ∴点的坐标为 当为直角三角形时， ①，点在原点处坐标为； ②时， ∵，、． ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴点的坐标为． 综上所述点的坐标为或或， 故答案为：或或 三、解答题 11．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，于点D，．      (1)分别求出、、的长． (2)猜想是什么三角形，并证明你的猜想． 【答案】(1)，，； (2)是直角三角形，证明见解析． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，再根据即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得到是直角三角形． 【详解】（1）解：∵于点D， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∴， 是直角三角形． 12．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知正方形网格中的，若每个小方格的边长为，请你根据所学的知识解答下列问题． (1)求的面积； (2)判断是什么形状？并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）根据所在长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答； 解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：先确定最长边，算出最长边的平方；计算另两边的平方和比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．． 【详解】（1）解：∵正方形网格中的每个小方格的边长为， ∴ ， ∴的面积为； （2）是直角三角形． 理由：∵正方形网格中的每个小方格的边长为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 13．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在一条东西走向的河的一侧，有一村庄，河边原有两个取水点、，其中由于某种原因，由到的路已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水占在同一条直线上），并修建一条路，测得千米，千米，千米， (1)问是不是村庄到河边最近的一条路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)千米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确计算是解题的关键． （1）由题意得，根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的一条路，理由如下： （千米）， （千米）， ， ， 是村庄到河边最近的一条路； （2）解：由（1）知，， ， , ， ， （千米）． 14．（河南省郑州市航空港区2024—2025学年上学期期末八年级数学调研卷）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【答案】(1)是直角三角形，理由见详解 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； （2）解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，， ∴．由此可以得到平面直角坐标系内任意两点、间的距离公式．    利用上面公式解决下列问题： (1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离； (2)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值和此时点P的坐标； (3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值（直接写出答案）． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、根据成轴对称图形的特征进行求解、二次根式的应用 【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． （1）直接利用两点之间距离公式直接求出即可； （2）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值； （3）根据原式表示的几何意义是点到点和的距离之和，当点在以和为端点的线段上时其距离之和最小，进而求出即可． 【详解】（1）解：，之间的距离为：； 故答案为：5； （2）作点关于轴对称的点，连接，直线于轴的交点即为所求的点，的最小值就是线段的长度，   ， ， ， 设直线的一次函数表达式为， 把代入　解得　， 当时，解得，即， ， 即为的最小值为． （3）表示点到和的距离之和． 两点之间线段最短，则当点在以和为端点的线段上时，的值最小． 利用公式可得，点和之间的距离为． 即的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$