17.2一元二次方程的解法（6种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

17.2一元二次方程的解法（6种题型基础练+能力提升练） 题型一：解一元二次方程——直接开平方法 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查的是解一元二次方程，根据方程的结构特点，利用直接开平方法解方程是解题的关键． 【详解】解： ， 解得：，， 故选C． 2．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】根据直接开平方法的特点即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选D 【点睛】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解能直接开平方的数是非负数成为解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法求解即可． 【详解】解∶， ∴， ∴，． 4．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的解 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 题型二：解一元二次方程——配方法 5．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的方法求解即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 【详解】解：一元二次方程配方后可变形为， 故选：A． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一元二次方程配方为，则的值是 ． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题关键．将原方程变形为的形式，即可得出k的值． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：2． 7．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【难度】0.94 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】将一元二次方程整理成一般形式，再将常数项移到一元二次方程的右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，最后按直接开平方法即可求解． 【详解】解：整理，得 移项，得   配方，得 开平方，得 ∴， 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程左边转化为完全平方式，右边变为常数项． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，； 小赵负责的步骤错误； 故选：D． 题型三：公式法解一元二次方程 9．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）若是一元二次方程的根，则（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，当关于x的一元二次方程有解时，则，由此根据题意可得，再代值计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， 故选：D． 10．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）用指定的方法解一元二次方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上16即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解：（配方法）， ， ， ， ， ，； （2）解： ，，， ， ， ． 11．（2023·安徽淮北·模拟预测）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：    (1)图6中的“☆”的个数有_________个； (2)图中的“☆”的个数有_________个； (3)图中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由． 【答案】(1)35 (2) (3)图中的“☆”的个数不可能是100个，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索、公式法解一元二次方程 【分析】（1）图1中的“☆”的个数有个，图2中的“☆”的个数有个，图3中的“☆”的个数有个，图4中的“☆”的个数有个，由此得到规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）令，解方程求出n的值，看n是否是正整数即可得到答案． 【详解】（1）解：图1中的“☆”的个数有个， 图2中的“☆”的个数有个， 图3中的“☆”的个数有个， 图4中的“☆”的个数有个， …… ∴可以得到规律，图n中的“☆”的个数有个， ∴图6中的“☆”的个数有个， 故答案为：； （2）解：由（1）得图n中的“☆”的个数有个， 故答案为：； （3）解：图中的“☆”的个数不可能是100个，理由如下： 令，则， 解得， 又∵为整数， ∴图中的“☆”的个数不可能是100个． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程，正确理解题意找到规律是解题的关键． 12．（22-23九年级·湖南株洲·阶段练习）定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 【答案】(1) (2)①0；1；②， 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义、公式法解一元二次方程 【分析】此题主要考查的是解一元二次方程，公式法解一元二次方程，关键是正确理解题意，理解对称方程的定义． （1）根据对称方程的定义可得答案； （2）由题意得，，即可求得，，然后利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：的“对称方程”是； （2）解：由，移项可得：， 由互为“对称方程”的定义可得， ，， 解得：，， 化为， ， ，． 题型四：因式分解法解一元二次方程 13．（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】因式分解法解一元二次方程、数轴上两点之间的距离 【分析】先利用数轴上两点之间的距离的求法得到，再把方程化为一般式，接着再用因式分解法把方程转化为或，然后再解两个一次方程． 【详解】解：根据题意得， 整理得， ， 或， 所以，， 将代入中，得出为10， 因点在数轴的负半轴上，故（舍去）； 将，代入中，得出为， 点在数轴的负半轴上，故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的因式分解法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法，也考查了数轴． 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【难度】0.94 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键．利用因式分解来解方程即可． 【详解】解：整理得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得，． 16．（2024·安徽芜湖·三模）用相同规格的黑、白两种颜色的正方形按如图所示的方式铺成图形． (1)铺第4个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形_________块． (2)按照此方式，铺第n个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形__________块．（用含的代数式表示） (3)若第个图形中黑色正方形数量的4倍等于白色正方形数量的平方，请求出的值． 【答案】(1)17；10 (2)； (3)2 【难度】0.85 【知识点】图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了图形的变化规律，仔细观察图形，总结出变化规律是解题的关键． （1）根据图形即可解答； （2）由图可知，黑色正方形依次增加4个，白色正方形依次增加2个，即可解答； （3）根据（2）可得第个图形中有块黑色正方形，有块白色正方形，再建立方程求解，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得： 铺第4个图形用黑色正方形块，用白色正方形块， （2）解：由图可知，黑色正方形依次增加4个，白色正方形依次增加2个， ∴铺第个图形用黑色正方形块，用白色正方形块， （3）解：由（2）可得：第个图形中有块黑色正方形，有块白色正方形， ∴， ∴， 解得（不符合题意的根舍去）． 题型五：换元法法解一元二次方程 17．（18-19八年级下·安徽合肥·期中） 阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 【答案】（1）C；（2）x1=-1，x2=3． 【难度】0.94 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（1）利用换元法解方程； （2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0，求出y，把y的值代入x2-2x=y，求出x即可． 【详解】解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设x2-2x=y，原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 解得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，得x2-2x=-2，即（x-1）2=-1，方程无解， 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3． 【点睛】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．此题难度较大，不容易掌握． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用整体思想解一元二次方程是解题的关键．利用整体思想设得到方程，再根据关于x的一元二次方程有一根为，即可得到t的值，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，即．　 设，则． ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴一元二次方程必有一根为2026． 故选C． 19．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式，列出关于的方程，利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 设，则， 整理，得，解得． 当时，，∴（负值舍去）； 当时，，∴（负值舍去）． 故选D． 20．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）若，都是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法，因式分解法一元二次方程，根据题意，设，则原式得，根据因式分解法求解即可． 【详解】解：设， ∴，整理得，， 解得，， ∵， ∴， 故答案为：4 ． 题型六：配方法的应用 21．（21-22九年级上·河南南阳·阶段练习）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】配方法的应用 【分析】利用配方法把M−N的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】解：M−N＝（a2−a）−（a−1）＝a2−2a＋1＝（a−1）2， ∵（a−1）2≥0， ∴M≥N， 故选：B． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 22．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、配方法的应用 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程及坐标与图形，解题时要注意解题步骤．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为，一次项的系数是的倍数．根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再找出，的值即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴点关于轴对称的点的坐标为， 故选：． 23．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 【答案】(1)该方程是“和美方程”，见解析 (2)最小值为 【难度】0.85 【知识点】配方法的应用、一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，配方法解一元二次方程的应用， （1）将代入方程看左右两边是否相等即可得到答案； （2）将代入得到字母关系，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当时，方程左边，右边， ∴左边=右边， ∴是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）解：由题意得：， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为． 24．（2024九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系． （1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键． 先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 【详解】解：， 方程左右两边同时除以2可得：，即小明正确； 由等式的性质可得， 所以， ∴，故小红出错． 故选C． 2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（   ） A．50 B．54 C．60 D．63 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查等积法及一元二次方程的解法，熟练掌握等积法是解题的关键；设，由题意易得，，然后可建立方程进行求解． 【详解】解：设，由等积法可知：， ∴，即①， ∵， ∴，即②， 联立①②可得：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∴； 故选C． 3．（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】倒数、同底数幂相乘、配方法的应用 【分析】本题考查了倒数的定义，配方法的应用，由倒数的定义可得，进而得到，把代入，配方可得，再根据非负数的即可求出的最小值，由倒数的定义得到是解题的关键． 【详解】解：∵与互为倒数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 4．已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】根据相等关系，代入消元，运用解一元二次方程的相关知识，判断各选项即可． 【详解】A．若，则，即，代入第二个等式得，所以A错误； B．若，则，代入后得到，于是解得，所以B选项错误； C．若，则，代入后得到，于是解得；所以C选项错误； D．若，则，，所以D选项正确． 故选D 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】无理方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，将无理方程转化为有理方程是解题的关键． 按照题干中的步骤，先等式两边同时平方，再进行解方程，最后验根即可， 【详解】解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程 即 ， 解整式方程得，， 将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意， 即是原方程的解， 故答案为． 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，设，将原方程变为求解即可． 【详解】解：设，则方程为， 即， 解得，（舍去）， 则， 故答案为：． 7．已知的解是1，，则方程的解为 ． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】利用换元法，解一元二次方程即可． 【详解】解：令， 则：方程转化为： ， ∵的解是1，， ∴的解为：， 即：或， 解得：，； 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，是解题的关键． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2020 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的定义、配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得， ， 则代数式的最小值是2020． 故答案为：2020． 三、解答题 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）解方程和不等式组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解，”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ， 不等式组的解集为． 10．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：，根据这个规则求中x的值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】根据题意可得方程：，再利用直接开平方法解方程即可； 【详解】由题意得：， ， 或 解得：； 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是正确理解题意，列出方程． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期末）计算： (1)计算： (2)解方程：. 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式、二次根式的混合运算、解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，配方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握二次根式的混合运算法则及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 配方，得：， ∴， ∴， 解得：，． 12．（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】数字类规律探索、解一元二次方程——配方法、解分式方程 【分析】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律． 配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数． 【详解】（1）解：方程整理得：， 其解为，； （2）解：猜想得：其解为，， 故答案为：（或； （3）解：方程二次项系数化为1， 得． 配方得， ，即， 开方得， ， 解得，． 经检验，，都是原方程的解． 13．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）根据表格中的信息回答后面提出的问题． 方程 方程的根， 第1个方程 ， 第2个方程 ， 第3个方程 ， 第4个方程 ， … … … (1)请你根据上表中的规律猜想：第5个方程为______，第5个方程的根为______，______． (2)你能猜想出第个方程及其方程的根吗？请用公式法证明猜想的正确性． 【答案】(1)，，6 (2)第个方程为，第个方程的根为，，详见解析 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法、公式法： （1）利用所给方程的一次项系数和常数项与序号数的关系写出第5个方程，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用所给方程的一次项系数和常数项与序号数的关系写出第个方程和方程的解，然后利用公式法解方程检验猜想的结论． 【详解】（1）解：第5个方程为，第5个方程的根为，； 故答案为：，，6； （2）解：第个方程为，第个方程的根为，． 理由如下：，，， ， ， ，． 14．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）小明同学解方程的过程如下： 解：∵，，，…第一步 ∴，…第二步 ∴，……第三步 ∴，……第四步 (1)小明的解答过程存在错误，他是从第________步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)过程见解析， 【难度】0.65 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）观察解题过程可知，他是从第一步开始出错的，原因是没有先把原方程化为一般式，导致c的值错误； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，他是从第一步开始出错的，原因是没有先把原方程化为一般式，导致c的值错误， 故答案为：一． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元次方程的两个根，求的值． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.4 【知识点】含乘方的有理数混合运算、公式法解一元二次方程 【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识，理解新定义是解题关键． （1）根据定义的新运算即可求解； （2）先解方程得或，再分，和，两种情况分类讨论，根据定义的新运算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：解方程得或， 当，时，∵， ∴； 当，时，∵， ． ∴的值为或． 16．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，先利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 17．（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．    【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程； （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第2个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第3个图案中黄梅花的盆数可表示为， 第4个图案中黄梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中黄梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为， 第2个图案中红梅花的盆数可表示为， 第3个图案中红梅花的盆数可表示为， 第4个图案中红梅花的盆数可表示为， …； 第n个图案中红梅花的盆数可表示为； 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得，即， 解得（舍去）或． 18．观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． 若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； 请写出第n个方程和它的根． 【答案】（1）k＝－15，x1＝7，x2＝8.（2）x1＝n－1，x2＝n. 【难度】0.4 【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解. 【详解】解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，则(x－7)·(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8. (2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n. 【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键. 19．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 【答案】(1)； (2)，，，． 【难度】0.65 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案； （）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想． 【详解】（1）设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， （2）设最小正整数为，则， 即：， 设，则，解得：，， ∵为正整数， ∴，解得，（舍去）， ∴这四个连续正整数为，，，． 20．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： (1)利用配方法分解因式：． (2)求二次三项式的最小值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【难度】0.65 【知识点】因式分解的应用、配方法的应用 【分析】本题主要考查配方法及整式的加减运算，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键， （1）利用配方法先对原式，然后再，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）利用配方法求出二次三项式的最小值即可； （3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当时，二次三项式的最小值为； （3） ， ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.2一元二次方程的解法（6种题型基础练+能力提升练） 题型一：解一元二次方程——直接开平方法 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）解方程：． 4．（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 题型二：解一元二次方程——配方法 5．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）一元二次方程配方后可变形为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）一元二次方程配方为，则的值是 ． 7．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）用配方法解方程：． 8．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 题型三：公式法解一元二次方程 9．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）若是一元二次方程的根，则（    ） A．5 B．7 C． D． 10．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）用指定的方法解一元二次方程： (1)；（配方法） (2)．（公式法） 11．（2023·安徽淮北·模拟预测）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：    (1)图6中的“☆”的个数有_________个； (2)图中的“☆”的个数有_________个； (3)图中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由． 12．（22-23九年级·湖南株洲·阶段练习）定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题： (1)写出方程的“对称方程”：____________________． (2)若关于的方程与互为“对称方程”， ①__________、__________． ②求方程的解． 题型四：因式分解法解一元二次方程 13．（22-23九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，数轴上点代表的数字为，点代表的数字为，已知，且点在数轴的负半轴上，则的值为 ． 14．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）解方程：． 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）解方程：． 16．（2024·安徽芜湖·三模）用相同规格的黑、白两种颜色的正方形按如图所示的方式铺成图形． (1)铺第4个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形_________块． (2)按照此方式，铺第n个图形需要黑色正方形_________块，白色正方形__________块．（用含的代数式表示） (3)若第个图形中黑色正方形数量的4倍等于白色正方形数量的平方，请求出的值． 题型五：换元法法解一元二次方程 17．（18-19八年级下·安徽合肥·期中） 阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0”” 解：设x2=y，原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是______ A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 19．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或 20．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）若，都是实数，且满足，则的值为 ． 题型六：配方法的应用 21．（21-22九年级上·河南南阳·阶段练习）已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N 22．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）把方程化成的形式则点关于轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）如果关于的一元二次方程有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． (1)判断一元二次方程是否为“和美方程”，请说明理由． (2)已知关于的一元二次方程是“和美方程”，求的最小值． 24．（2024九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（    ）． A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，D，E，F分别为三边上一点，且交于点G，若，则（   ） A．50 B．54 C．60 D．63 3．（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知与互为倒数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知三个实数a，b，c满足，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 7．已知的解是1，，则方程的解为 ． 8．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 三、解答题 9．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）解方程和不等式组 (1)； (2) 10．在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：，根据这个规则求中x的值． 11．（24-25九年级上·安徽六安·期末）计算： (1)计算： (2)解方程：. 12．（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 13．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）根据表格中的信息回答后面提出的问题． 方程 方程的根， 第1个方程 ， 第2个方程 ， 第3个方程 ， 第4个方程 ， … … … (1)请你根据上表中的规律猜想：第5个方程为______，第5个方程的根为______，______． (2)你能猜想出第个方程及其方程的根吗？请用公式法证明猜想的正确性． 14．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）小明同学解方程的过程如下： 解：∵，，，…第一步 ∴，…第二步 ∴，……第三步 ∴，……第四步 (1)小明的解答过程存在错误，他是从第________步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答过程． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求的值； (2)若，是一元次方程的两个根，求的值． 16．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）解方程：． 17．（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】 如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．    【规律总结】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【问题解决】 （3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值． 18．观察下列一组方程：；；；；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． 若也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程； 请写出第n个方程和它的根． 19．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)设，满足等式，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数． 20．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法．利用以上配方法解决下列问题： (1)利用配方法分解因式：． (2)求二次三项式的最小值． (3)已知是实数，试比较与的大小，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$