信息必刷卷01（天津专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷01（天津卷） 数 学 考情速递 高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等 1.如第6题，第7题新定义问题，体现创新考法 高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等 高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等 如第13题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用 命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等 深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平. （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的充要条件 C．q是p的必要不充分条件 D．q是p的充分不必要条件 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 5．在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是（    ） A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变 C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大 6．若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（   ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 7．同时具有性质“⑴ 最小正周期是；⑵ 图象关于直线对称；⑶ 在上是减函数”的一个函数可以是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（    ） A． B． C． D． 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．计算： . 11．的展开式中含项的系数为 . 12．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，，则 . 13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 ；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ． 14．如图，在直角梯形中，已知，对角线交于点O，点M在上，且满足，则的值为 ，点P为线段上的动点则的取值范围为 ． 15．设函数，其中，若只存在两个整数x，使得，则a的取值范围是 ． 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 17．（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°． (1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)求二面角A－BD－C的正切值； (3)求点C到平面ABD的距离． 18．（本小题满分15分）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，过点的直线l与C交于M，N两点，△的周长为8，当直线l垂直于x轴时， (1)求椭圆C的标准方程： (2)设椭圆C的右顶点为A，直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，当的面积是△AMN面积的5倍时，求直线l的方程. 19．（本小题满分15分）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式. (2)已知，求数列的前2n项和. (3)求证：. 20．（本小题满分16分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考考前信息必刷卷01（天津卷） 数 学·参考答案 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A D D A D A D A C 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10． 11. 12. 13． 14． 15. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分） 【解】（1）由余弦定理知，， 所以，即，     解得或（舍负），所以． （2）由正弦定理知，， 所以， 所以． （3）由余弦定理知，，     所以，，     所以 . 17．（本小题满分15分） 【解】（1）设正三棱柱的侧棱长为x，取BC中点E，连接AE， ∵是正三角形，∴， 又底面侧面，且两平面交线为BC，∴侧面． 连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面所成的角，∴∠ADE＝45°， 在中，，解得，∴此正三棱柱的侧棱长为． （2）过E作于F，连接AF， ∵侧面，∴，可知，∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角． 在中，，又BE＝1，，∴． 又，∴在中，． （3）由（2）可知，平面AEF，∴平面平面ABD，且交线为AF． 过E作于G，则平面ABD．∴EG的长为点E到平面ABD的距离． 在中，． ∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为． 18．（本小题满分15分） 【解】（1）由椭圆定义知△的周长为，， 代入椭圆方程有，，， 所以，， 椭圆方程为； （2）由（1），，若轴，，，到直线的距离为，所以，， ， 因此与轴不垂直，设方程为，，， 由，得， ，， 直线方程为，代入得，即，同理，，， ， 由题意，即，， ，代入化简得： ， ，所以， ，解得． 直线的方程为，即． 19．（本小题满分15分） 【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为, 由得①， 将①代入，得， 即② 将①代入，得③， 将②代入③，得，又， 所以 解得：，所以， 所以，，故， 所以. （2）当是奇数时，， 当是偶数时，， 则① ② ①-②得： 即 化简得：. 所以. （3） ， 当时，， 因为，所以； 当时，也成立. 故. 20．（本小题满分16分） 【解】（1）当时，，的定义域为，， 曲线在点处的切线方程的斜率为，又 则切线方程为. （2）若恒成立，则， 设，， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以. （3）令，则，即，则， 因为， ， ……， ， 所以. 试卷第2页，共22页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷01（天津卷） 数 学 考情速递 高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等 1.如第6题，第7题新定义问题，体现创新考法 高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等 高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等 如第13题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用 命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等 深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平. （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，则.故选A. 2．已知，则（    ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的充要条件 C．q是p的必要不充分条件 D．q是p的充分不必要条件 【答案】D 【解析】由题得. 当命题成立时，命题不一定成立，所以p是q的非充分条件，q是p的非必要条件； 当命题成立时，命题一定成立，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件. 所以p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件. 故选：D 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知，，，而，故， 又因为，，故，即， 所以， 故选：D. 4．如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A选项：易知为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故A正确； B选项：记，则，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：记，则，故D错误. 故选：A 5．在一次试验中，测得的五组数据分别为，，，，，去掉一组数据后，下列说法正确的是（    ） A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变 C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大 【答案】D 【解析】由题意，去掉离群点后，仍然为正相关，相关性变强，相关系数变大，故A、B、C错误，D正确. 故选：D. 6．若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”.例如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，，则（   ） A．39700 B．39800 C．39900 D．40000 【答案】A 【解析】设，由，得，则， 故 ． 故选：A 7．同时具有性质“⑴ 最小正周期是；⑵ 图象关于直线对称；⑶ 在上是减函数”的一个函数可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A的最小正周期为,不正确； 当时， B、C没有取得最值，所以不正确; 将代入D,三项都符号， 故选D. 8．如图，在直三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取三棱柱上底面中心D，下底面中心，连接、.取中点O，连接 则点O为三棱柱外接球球心，为三棱柱外接球半径. 由，可得， 则 则三棱柱外接球表面积为 延长交与，则为四棱锥的高 则 则三棱柱外接球表面积与四棱锥体积之比为 故选：A 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，且为中点，所以，且， 因为，所以，解得， 直线l的方程为，所以，则，在直角三角形中利用勾股定理得，解得，所以双曲线的标准方程为. 故选：C. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．计算： . 【答案】 【解析】 11．的展开式中含项的系数为 . 【答案】 【解析】的展开式中，通项公式为， 令，求得，可得展开式中含项的系数. 12．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，，则 . 【答案】 【解析】如图所示， 设，则，，且， 所以；又；所以， 即；又，所以,解得；所以p=. 13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 ；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ． 【答案】 【解析】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 记 “加工的零件为优秀品”， “零件为第1台车床加工“， “零件为第2台车床加工“，，，，， 由全概率公式可得， 14．如图，在直角梯形中，已知，对角线交于点O，点M在上，且满足，则的值为 ，点P为线段上的动点则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 . 设， ， 所以 . 的开口向上，对称轴为， 所以在上递减. 当，当，所以. 15．设函数，其中，若只存在两个整数x，使得，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为 即： ， 即 的图像只有两个整数点位于 的下方， 只有两个整数x，使得，当 时： ， 此时，令，解得， 此时有两个整数满足 即或， 结合图像可得的取值范围是， 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（本小题满分14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【解】（1）由余弦定理知，， 所以，即，     解得或（舍负），所以． （2）由正弦定理知，， 所以， 所以． （3）由余弦定理知，，     所以，，     所以 . 17．（本小题满分15分）如图，已知正三棱柱的底面边长是2，D是侧棱的中点，直线AD与侧面所成的角为45°． (1)求此正三棱柱的侧棱长； (2)求二面角A－BD－C的正切值； (3)求点C到平面ABD的距离． 【解】（1）设正三棱柱的侧棱长为x，取BC中点E，连接AE， ∵是正三角形，∴， 又底面侧面，且两平面交线为BC，∴侧面． 连接ED，则∠ADE为直线AD与侧面所成的角，∴∠ADE＝45°， 在中，，解得，∴此正三棱柱的侧棱长为． （2）过E作于F，连接AF， ∵侧面，∴，可知，∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角． 在中，，又BE＝1，，∴． 又，∴在中，． （3）由（2）可知，平面AEF，∴平面平面ABD，且交线为AF． 过E作于G，则平面ABD．∴EG的长为点E到平面ABD的距离． 在中，． ∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为． 18．（本小题满分15分）已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，过点的直线l与C交于M，N两点，△的周长为8，当直线l垂直于x轴时， (1)求椭圆C的标准方程： (2)设椭圆C的右顶点为A，直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，当的面积是△AMN面积的5倍时，求直线l的方程. 【解】（1）由椭圆定义知△的周长为，， 代入椭圆方程有，，， 所以，， 椭圆方程为； （2）由（1），，若轴，，，到直线的距离为，所以，， ， 因此与轴不垂直，设方程为，，， 由，得， ，， 直线方程为，代入得，即，同理，，， ， 由题意，即，， ，代入化简得： ， ，所以， ，解得． 直线的方程为，即． 19．（本小题满分15分）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式. (2)已知，求数列的前2n项和. (3)求证：. 【解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为, 由得①， 将①代入，得， 即② 将①代入，得③， 将②代入③，得，又， 所以 解得：，所以， 所以，，故， 所以. （2）当是奇数时，， 当是偶数时，， 则① ② ①-②得： 即 化简得：. 所以. （3） ， 当时，， 因为，所以； 当时，也成立. 故. 20．（本小题满分16分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【解】（1）当时，，的定义域为，， 曲线在点处的切线方程的斜率为，又 则切线方程为. （2）若恒成立，则， 设，， 由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以. （3）令，则，即，则， 因为， ， ……， ， 所以. 7 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$