信息必刷卷01（新高考八省专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷01（新八省专用） 数 学 考情速递 高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等 如第5题，第14题，第18题新定义问题，体现创新考法 高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等 高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等 如第6题，第9题，第15题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用 命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等 深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平. （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A．16 B．8 C． D． 3．已知（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 4．已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（    ） A． B． C． D． 6．不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知定义域为的函数满足，当时，，则在区间上的零点的个数为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从分布，且，则 D．若随机变量满足，则 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，得到的图象 C．，都有 D．函数的单调递减区间为 11．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点作的切线，交准线于点，交轴于点，下列说法正确的有（   ） A． B．直线QB与也相切 C． D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 13．早在几千年之前，在文字还未发明出来的时候，人们通过绳结来记录简单的数字，即“结绳记事”如图为一部落为记录羊群数量的绳结图，已知其记数的规则为左大右小，即从右往左依次打结，每打8个结则在该道绳子的左侧的绳子上打1个结，并解开这8个结，则该部落的羊共 14．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动，活动分为A、两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加. A类 类 男同学 25 15 女同学 10 若采用分层抽样从该班级中抽取6名同学，则有男同学4名，女同学2名. (1)求以及该班同学选择A类项目的概率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为同学选择项目的类别与其性别有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 16．（本小题满分15分）已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和． （1）求数列、的通项公式； （2）求使得成立的最小值； （3）若，求证：数列为递减数列． 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 19．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，． (1)若，求：向量在向量上的投影向量的模； (2)当，且时，四棱锥是否有外接球?若有，请求出四棱锥的外接球的表面积． (3)若，且，求二面角的正切值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考考前信息必刷卷01（新八省专用） 数 学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B C B A C C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．15 13．596只 14．12 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分） 【解】（1）依题意男女同学的比例为，则，解得； 该班同学选择A类项目的概率为. （2）由（1）完善列联表可得： A类 类 总计 男同学 25 15 40 女同学 10 10 20 总计 35 25 60 零假设为：同学选择项目的类别与其性别无关， 可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以能认为同学选择项目的类别与其性别无关 16．（本小题满分15分） 【解】（1）点在双曲线上， 是以为首项，公差为的等差数列， ；点在直线上， ，当时，， 当时，， ， 是以为首项，公比为的等比数列，. （2）， 解得，成立的最小值为7. （3）， ， ，所以数列为递减数列. 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由，， 则， 所以，即切线斜率为， 又，则切点为，切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）根据题意得，， 则． 由0为的极小值点，可知． 设， 则． （ⅰ）当时，， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅱ）当时，设， 则， 所以在上单调递增，， ， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅲ）当时，，且在上单调递增， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又，所以，单调递增，不符合题意． （ⅳ）当时，，在上单调递增，， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，又， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以0是的极大值点，不符合题意． 综上，的取值范围是． 18．（本小题满分17分） 【解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    19．（本小题满分17分） 【解】（1）因为平面ABCD，而平面ABCD，所以， 又，，PB，平面， 所以平面，而平面， 所以． 因为，所以，根据平面知识可知， 结合平面PAB，可知平面，平面，所以， 故在向量上的投影向量的模即为向量的模长1． 或者利用是和的夹角，在中，，，，，故向量在上的投影向量的模为． （2）“当，且时”，则四边形ABCD是长方形，可将四棱锥补成一个长、宽、高分别为、1、2的长方体，体对角线长度为， 则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，所以四棱锥有外接球，且该外接球半径为，表面积； （3）如图所示，过点D作于E，过点E作于点F，连接DF， 因为平面ABCD，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面，所以平面， 平面，所以， 又，平面，所以平面DEF， 平面DEF，故, 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 因为，，，则， 在中由等面积法可得，， 所以在中，，而为等腰直角三角形，所以， 故． 试卷第2页，共22页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷01（新八省专用） 数 学 考情速递 高考·新动向：包含高考命题趋势变化，题目呈现方式的变化等 如第5题，第14题，第18题新定义问题，体现创新考法 高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等 高考·新情境：可涉及情境题目的创新性、实时性、开放性以及跨学科的融合性等 如第6题，第9题，第15题，涉及生活情境，社会生产生活，加强学科的应用 命题·大预测：基于本卷的题目进行具体分析，给出趋势性预测，也可提出备考方向等 深化基础性考查，强调对学科基础知识、基本方法的深刻理解，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养。增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的灵活性和开放性，使学生在考试中能够充分展示自己的思维能力和创新水平. （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，故选B. 2．函数的最小正周期为（    ） A．16 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】的最小正周期为．故选：B. 3．已知（为虚数单位），则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由，得，所以复数的虚部为1.故选：B. 4．已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，可得， 又因为，所以，解得． 故选：C． 5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若双曲线是黄金双曲线，则a=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，则， 所以. 故选：B 6．不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成．如下图，已知一陀螺的圆柱的底面直径为16，圆柱和圆锥的高均为6，则该陀螺的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】该陀螺的表面积有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面， 因为圆柱的底面直径为16，所以半径为8， 则底面圆面面积为：， 因为圆柱的高为6， 所以圆柱的侧面为：， 根据圆锥的高为6，底面圆的半径为8， 得圆锥母线长为， 所以圆锥的侧面为：， 所以该陀螺的表面积为：， 故选：A. 7．在中，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理得， 由两边平方得， 所以，所以. 故选：C 8．已知定义域为的函数满足，当时，，则在区间上的零点的个数为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 【答案】C 【解析】由，则， 即，即是周期为的周期函数， 当时，， 令，解得或， 则无解，由，则当时，无解， 故当时，有零点、， 即当时，有零点、， 即在一个周期内有个零点， 则当时，有个零点. 当时，有零点， 故在区间上的零点的个数为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（   ） A．若随机变量，则 B．若随机变量，则 C．若随机变量服从分布，且，则 D．若随机变量满足，则 【答案】ABD 【解析】A.若随机变量，则，故正确； B.若随机变量，则，故正确； C.若随机变量服从分布，且，则，故错误； D.由随机变量满足，则， 所以，故正确； 故选：ABD 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．将的图象向右平移个单位，得到的图象 C．，都有 D．函数的单调递减区间为 【答案】ACD 【解析】由图知，，即， 所以，由题意，结合图象解得， 又因为， 所以， 所以的解析式为：， 对A，，故A正确； 对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误； 对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确； 对D，由，得，所以函数的单调递减区间为，故D正确. 故选：ACD. 11．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点作的切线，交准线于点，交轴于点，下列说法正确的有（   ） A． B．直线QB与也相切 C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】依题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 不妨设点在第一象限，且，如图， 因为，所以， 则有点处的切线方程为：，即， 令，于是，则，选项A正确； 同理有点B处的切线方程为：，交轴于， 当时直线才是抛物线的切线，否则直线不是抛物线C的切线，故B错误； 点B处的切线方程为：， 设直线的方程为：，由可得， 所以， 点B处的切线方程为：，该切线与准线的交点的纵坐标为，同理，所以直线也是抛物线C的切线， 所以，所以，故C正确； 由A可知，为等腰三角形，且，于是， 则，又，解得，则，选项D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则 ． 【答案】 【解析】由，得，而，所以. 13．早在几千年之前，在文字还未发明出来的时候，人们通过绳结来记录简单的数字，即“结绳记事”如图为一部落为记录羊群数量的绳结图，已知其记数的规则为左大右小，即从右往左依次打结，每打8个结则在该道绳子的左侧的绳子上打1个结，并解开这8个结，则该部落的羊共 【答案】596只 【解析】按8进制计算，逢8进1，则图中羊有：只， 14．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则 ． 【答案】 【解析】令，因为， 所以，因为的对称中心为， 所以是奇函数， 故，化简得， 当时，有定义，故， 即得到，而， ， 故， 解得，，可得关于中心对称， 故，即， ，， 故， . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分13分）2023年5月30日，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.实验中学某班为弘扬“载人航天精神——特别能吃苦、特别能战斗、特别能攻关、特别能奉献”，举行航天知识问答活动，活动分为A、两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加. A类 类 男同学 25 15 女同学 10 若采用分层抽样从该班级中抽取6名同学，则有男同学4名，女同学2名. (1)求以及该班同学选择A类项目的概率； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为同学选择项目的类别与其性别有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 【解】（1）依题意男女同学的比例为，则，解得； 该班同学选择A类项目的概率为. （2）由（1）完善列联表可得： A类 类 总计 男同学 25 15 40 女同学 10 10 20 总计 35 25 60 零假设为：同学选择项目的类别与其性别无关， 可得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以能认为同学选择项目的类别与其性别无关 16．（本小题满分15分）已知在正项数列中，首项，点在双曲线上，数列中，点在直线上，其中是数列的前项和． （1）求数列、的通项公式； （2）求使得成立的最小值； （3）若，求证：数列为递减数列． 【解】（1）点在双曲线上， 是以为首项，公差为的等差数列， ；点在直线上， ，当时，， 当时，， ， 是以为首项，公比为的等比数列，. （2）， 解得，成立的最小值为7. （3）， ， ，所以数列为递减数列. 17．（本小题满分15分）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围． 【解】（1）由，， 则， 所以，即切线斜率为， 又，则切点为，切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）根据题意得，， 则． 由0为的极小值点，可知． 设， 则． （ⅰ）当时，， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅱ）当时，设， 则， 所以在上单调递增，， ， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以0是的极小值点，符合题意． （ⅲ）当时，，且在上单调递增， 所以当时，，单调递减，即单调递减； 当时，，单调递增，即单调递增. 又，所以，单调递增，不符合题意． （ⅳ）当时，，在上单调递增，， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减，又， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以0是的极大值点，不符合题意． 综上，的取值范围是． 18．（本小题满分17分）已知分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆上的动点，过动点作椭圆的切线.分别与直线和相交于两点，四边形的对角线相交于点，记动点的轨迹为. (1)证明：椭圆在点处的切线方程为. (2)求动点的轨迹的方程. (3)过点作斜率不为的直线与相交于点，直线与的交点为，判断点是否在定直线上. 【解】（1）证明：联立方程组， 消去整理得，又， 即， 整理得，解得， 所以直线与椭圆有且仅有一个交点， 即切线方程为. （2）解：由（1）中切线方程，令，得， 令，得， 因为，所以直线，① 因为，所以直线，② 由①②得. 因为，得， 所以动点的轨迹的方程为）. （3）解：设直线的方程为， 联立方程组得， 则，所以. 因为直线的方程为，直线的方程为， 所以，所以， 所以， 整理得 所以，即点在定直线上.    19．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，． (1)若，求：向量在向量上的投影向量的模； (2)当，且时，四棱锥是否有外接球?若有，请求出四棱锥的外接球的表面积． (3)若，且，求二面角的正切值． 【解】（1）因为平面ABCD，而平面ABCD，所以， 又，，PB，平面， 所以平面，而平面， 所以． 因为，所以，根据平面知识可知， 结合平面PAB，可知平面，平面，所以， 故在向量上的投影向量的模即为向量的模长1． 或者利用是和的夹角，在中，，，，，故向量在上的投影向量的模为． （2）“当，且时”，则四边形ABCD是长方形，可将四棱锥补成一个长、宽、高分别为、1、2的长方体，体对角线长度为， 则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，所以四棱锥有外接球，且该外接球半径为，表面积； （3）如图所示，过点D作于E，过点E作于点F，连接DF， 因为平面ABCD，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面，所以平面， 平面，所以， 又，平面，所以平面DEF， 平面DEF，故, 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 因为，，，则， 在中由等面积法可得，， 所以在中，，而为等腰直角三角形，所以， 故． 7 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$