江苏省八年级下学期开学考试模拟卷（范围：苏科版八上+八下统计、概率、平行四边形）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（苏科版）

2025年春季江苏省八年级下学期开学考试模拟卷 数 学 （试卷满分：120分 测试范围：苏科版八上+八下统计、概率、平行四边形） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解答本题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2．今年盐城市有5万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，射阳教育部门抽取了1500名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（   ） A．1500名考生是总体的一个样本 B．每个考生是个体 C．这5万名学生的数学中考成绩的全体是总体 D．样本容量是1500名学生 【答案】C 【详解】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【解答】解：A、1500名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项不合题意； B、每个考生的数学成绩是个体，此选项不合题意； C、这5万名学生的数学中考成绩的全体是总体，此选项符合题意； D、样本容量是1500，此选项不合题意． 故选：C． 3．下列事件中属于必然事件的是（   ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球 C．抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D．九年级 370名学生中至少有2名学生生日是同一天 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数，是随机事件； B、在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球，是不可能事件； C、抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上，是随机事件； D、一年365天， 370名学生中至少有2名学生生日是同一天，是必然事件； 故选：D． 4．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义，进行计算即可解答，掌握算术平方根、平方根以及立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 5．如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、两点间距离公式，先求得的长度，然后根据矩形的对角线相等求解即可． 【详解】解：连接，， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 6．图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（   ）                图1                                             图2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 7．在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键． 先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵当时，，即直线过定点， ∴当直线经过点，得：， 解得：， 当直线经过点，得：， 解得：， ∴当直线与线段有交点， ∴或， 故选：C． 8．已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练平行四边形的判定条件是解题的关键．根据题意，对题目中的条件任取两个组合，分类讨论所有情况，再结合平行四边形的判定条件，找出符合题意的情况即可． 【详解】解：如图， 当①②组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①③组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①④组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当①⑤组合时， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑦组合时， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②③组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当②④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑤组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑦组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑥组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑤⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑧组合时， ， 将绕点旋转，则点的对应点为点，点的对应点为点， 设点的对应点为点，则有， 、、在同一直线上， 由旋转的性质得，点可能落在线段上，落在延长线上，或者与点重合， 假设点落在线段上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 假设点落在延长线上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 综上所述，点只能与点重合，即， 四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑦组合时，同理⑤⑧组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑦⑧组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 综上所述，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有16种． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 9．一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇数属于 事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件分类的概念“随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；必然事件是在一定条件下，不可能发生的事件；不可能事件是在一定条件下一定不发生的事件”，由此即可求解 ． 【详解】解：根据题意，座位号码是奇数属于随机事件， 故答案为：随机 ． 10．在平行四边形中，，则 ． 【答案】55 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到一组邻角互补，即，据此可得答案． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 11．小明为了解学校八年级学生的身高情况，收集了全班同学的身高数据，其中个子最高的是，个子最矮的是，在绘制频数分布直方图时，若以5为组距，则可将数据分为 组． 【答案】6 【分析】本题考查了频数分布直方图中组数的确定方法，组数=极差÷组距．计算最大值与最小值的差，除以组距即可求得． 【详解】解：， 故答案为：6． 12．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据立方根的定义解方程，关键是能由求出．由，两边开立方根，即可求出． 【详解】解： 故答案为：． 13．如图，一根垂直于地面的竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则竹子折断处离地面的高度是 尺（其中1丈尺）． 【答案】// 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：1丈尺， 设折断处离地面的高度为尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得： 解得：． 答：折断处离地面的高度为尺． 故答案为：． 14．如图，在中，平分．点，分别是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、三角形的中位线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用、三角形的中位线的性质是解题的关键．过点作于点，先证明，可得，，设，则，在中，，从而得出，解出方程，再利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则， 在中，， 解得：， ， 点，分别是的中点， ， 故答案为：． 15．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 【答案】（或或或） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ①添加条件为：， 在和中， ， ∴； ②添加条件为：， 在和中， ， ∴； ③添加条件为：， ∴， 在和中， ， ∴； ④添加条件为： ， 在和中， ， ∴； ∴这个条件可以是（或或或）, 故答案为：（或或或）． 16．如图，四边形中，，，，，为射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．将绕点顺时针旋转至，连接，可证得，从而得出，可得出，，从而得出，从而，故当点在处时，最小，从而，从而得出的最小值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当点在处时，最小， ， 的最小值为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共72分.解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17．如图，在四边形中，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，结合题目的条件可得，，进而得到，再利用全等三角形判定证出，即可得出结论． 【详解】证明：如图，过点作交延长线于点，   ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 18．如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并准确识图准确找出对应边是解题的关键． （1）由三角形外角性质求得，然后由全等三角形的对应角相等来求的度数； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ． ， ； （2）解：，， ， ， ． 19．某学校为了解在校生的体能素质情况，从全体八年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀，B级：良好，C级：及格，D级：不及格），其中B级占30%．解答下列问题： (1)除去题中文本和统计图中所给信息外，请再写出两条信息，并简要说明理由； 信息1： ； 理由： ； 信息2： ； 理由： ； (2)如果从该校八年级学生中随机抽取一位学生，你预测抽到哪个等级的学生可能性最大 ． 【答案】(1)信息1： 总人数40人；理由见解析；信息2：C级人数为14人；理由见解析； (2)C级 【分析】本题考查的是条形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）信息1：根据B级的人数除以B级所占的百分比，可得抽测的人数； 信息2：用总人数分别减去A级，B级，D级得到C级人数； （2）分别求出A级，C级，D级各级人数在总人数中的百分比和B级所占百分比进行比较即可． 【详解】（1）信息1：本次抽样测试的学生人数是40； 本次抽样测试的学生人数是（人）， 故答案为：40； 信息2：C级人数为14人， C级的人数为：（人）； 故答案为：14； （2）由（1）可知A级可能性为： ， C级可能性为： ； D级可能性为： ， ∴ ∴抽到C级的学生可能性最大． 故答案为：C级. 20．劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为、、、、五个组别，其中组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 5 20 15 8 各组劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息解答下列问题． (1)本次调查的样本容量为________，频数分布表中的的值为________； (2)组所在扇形的圆心角的大小为________； (3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数． 【答案】(1)60，12 (2) (3)860人 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、样本容量、用样本估计总体等知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，并准确计算是解题的关键． （1）利用组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量；利用样本容量减去组的频数得到组的频数； （2）用乘以组占样本的百分比，即可得到组所在扇形的圆心角的大小； （3）用该校学生总数乘以样本中劳动时间超过的人数的占比，即可估计该校学生劳动时间超过的人数． 【详解】（1）解：由题意可得，本次调查的样本容量是， 则． 故答案为：60，12； （2）组所在扇形的圆心角的大小是． 故答案为：； （3）（人）． 答：该校学生劳动时间超过的人数为860人． 21．在如图所示的正方形网格中有，，，． (1)试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)若点B的坐标为，点A的坐标为，是关于A点中心对称的图形，写出，两点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查复杂作图----旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质． （1）分别作出点B和点C以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后所得对应点，再顺次连接即可得； （2）由点B和点A的坐标作出坐标系，分别作出点B，C关于点A的对称点，再顺次连接即可得，再确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求，，两点的坐标分别为 22．在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【分析】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得： ∵四边形是矩形， ， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； （3）如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 23．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出所有满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】（1）2；45；（2），2，3；（3）255 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力． （1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ，； （2），，且， ，2，3； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， ∴对100连续求根整数，3次之后结果为1； （4）最大的正整数是255， 理由是：∵，，，， ∴，，， 对255只需进行3次操作后变为1， ∵，，，， 对256只需进行4次操作后变为1， 只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255． 24．如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，正确求出交点坐标，是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式解答即可； （2）根据函数图象直接得出的解集即可； （3）联立两直线解析式，解方程组得到点D的坐标，以及点E的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：； （2）解：当时，，解得， ∴， 根据函数图象可知，不等式的解集是：． 故答案为：； （3）解：联立， 解得：， ∴点D的坐标为， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，此时点P的坐标为； 当时，，此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或． 25．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若A（m，n）满足．点M是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．    (1)当点P与与点O重合时，在图2中用直尺和圆规作出点M（不写作法，保留作图痕迹）），并求点M的坐标； (2)当时，如图3，求点P的坐标； (3)如图4，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1)图见解析， (2) (3) 【分析】（1）作的角平分线交于点M，由非负数的性质求出，由勾股定理得，设，在中利用勾股定理求出x即可； （2）由折叠得，，可证，由余角的性质证明得， 然后证明四边形是平行四边形即可求解； （3）取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【详解】（1）如图，点M即为所求，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，． 由折叠得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接．    由折叠得，， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， ； （3）取的中点，连接，．   ，点是的中点，． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点的坐标为， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，矩形的性质，等角对等边，直角三角形斜边的中线，勾股定理，平行四边形的判定与性质、轴对称的性质，坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 26．矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）①由折叠性质和可求出度数； ②由折叠和勾股定理可求出，设，再利用中利用勾股定理列出式子，求解即可； （2）过点作，为垂足，设，在中利用勾股定理列出式子，求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当时和当时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由翻折得， ∵，， ∴， 故答案为：； ②如图，由折叠知，，， 在中，， 设，则，， 则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作，为垂足， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； （3）解：①当时，如图， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； ②当时，如图，过点作于点， ∴， 设，则，， ∴， 由翻折知， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； 故答案为：或． 27．【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点与重合，边放到轴上，若，，过线段的中点，作直线垂直线段交轴于点，直线垂直线段交轴于点，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）点的坐标为或或 【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证； （2）过点作，交于，过作轴于，则是等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式； （3）由（1）得，得，再根据中点坐标公式求出，待定系数法求出直线的解析式为，直线的解析式为，根据直线平移，求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，最后求出结果即可； （4）分点为直角顶点或点为直角顶点时或点为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型全等可得点的坐标，即可解决问题． 【详解】证明：（1），， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）过点作，交于，过作轴于，如图所示：    则， 根据旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）同理可证， ，， 把代入得：，把代入得：， 解得：， ，， ，， ，， ， 设的函数解析式为， 将点，的坐标代入得， 解得：，， 直线的函数解析式为； （3）由（1）得， ，， ∴， ，， ∵Q为的中点， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理得：直线的解析式为， ∵， ∴， ∵，， ∴设直线的解析式为，直线的解析式为，把分别代入得：，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 把分别代入得：，， 解得：，， ∴，， ∴．    （4）①若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为， ，，， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为； ②若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， 点的坐标为， 又点在直线上， ， 解得：， 此时点与点重合，点与点重合， 即点的坐标为； ③若点为直角顶点时，如图，    设点的坐标为，则的长为，， 同理可证明， ，， ， 又点在直线上， ， 解得：， 即点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春季江苏省八年级下学期开学考试模拟卷 数 学 （试卷满分：120分 测试范围：苏科版八上+八下统计、概率、平行四边形） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．今年盐城市有5万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，射阳教育部门抽取了1500名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（   ） A．1500名考生是总体的一个样本 B．每个考生是个体 C．这5万名学生的数学中考成绩的全体是总体 D．样本容量是1500名学生 3．下列事件中属于必然事件的是（   ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．在装有2个黄球和3个白球的盒子中摸出一个球是红球 C．抛一枚质地均匀的硬币，反面朝上 D．九年级 370名学生中至少有2名学生生日是同一天 4．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（   ） A．3 B． C． D．4 6．图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（   ）                图1                                             图2 A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 8．已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 9．一影院正在放映《热辣滚烫》，某人在售票窗口购票一张，该票座位号码是奇数属于 事件． 10．在平行四边形中，，则 ． 11．小明为了解学校八年级学生的身高情况，收集了全班同学的身高数据，其中个子最高的是，个子最矮的是，在绘制频数分布直方图时，若以5为组距，则可将数据分为 组． 12．方程的根是 ． 13．如图，一根垂直于地面的竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则竹子折断处离地面的高度是 尺（其中1丈尺）． 14．如图，在中，平分．点，分别是的中点，则的长为 ． 15．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 16．如图，四边形中，，，，，为射线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到，的最小值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，共72分.解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17．如图，在四边形中，，，求证：．    18．如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 19．某学校为了解在校生的体能素质情况，从全体八年级学生中随机抽取部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀，B级：良好，C级：及格，D级：不及格），其中B级占30%．解答下列问题： (1)除去题中文本和统计图中所给信息外，请再写出两条信息，并简要说明理由； 信息1： ； 理由： ； 信息2： ； 理由： ； (2)如果从该校八年级学生中随机抽取一位学生，你预测抽到哪个等级的学生可能性最大 ． 20．劳动教育是新时代党对教育的新要求，某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个星期日做家务的时间（单位：）作为样本，将收集的数据整理后分为、、、、五个组别，其中组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表． 各组劳动时间的频数分布表 组别 时间 频数 5 20 15 8 各组劳动时间的扇形统计图 请根据以上信息解答下列问题． (1)本次调查的样本容量为________，频数分布表中的的值为________； (2)组所在扇形的圆心角的大小为________； (3)若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数． 21．在如图所示的正方形网格中有，，，． (1)试在图中作出以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； (2)若点B的坐标为，点A的坐标为，是关于A点中心对称的图形，写出，两点的坐标． 22．在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 23．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ； ． （2）若，写出所有满足题意的的整数值 ． 如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1． （3）对100连续求根整数， 次之后结果为1． （4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 ． 24．如图，已知直线经过点，，并与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与轴交于点，在直线上是否存在点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 25．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若A（m，n）满足．点M是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P．    (1)当点P与与点O重合时，在图2中用直尺和圆规作出点M（不写作法，保留作图痕迹）），并求点M的坐标； (2)当时，如图3，求点P的坐标； (3)如图4，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．直接写出线段长度的最大值． 26．矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 27．【背景提出】 （1）如图1，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，已知直线：与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式． （3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点与重合，边放到轴上，若，，过线段的中点，作直线垂直线段交轴于点，直线垂直线段交轴于点，求线段的长． （4）如图4，平面直角坐标系内有一点，过点作轴于点，轴于点，点是线段上的动点，点是直线上的动点且在第四象限内．若是等腰直角三角形．请直接写出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$