2024-2025学年苏科版八年级数学下册寒假讲义第2讲： 平行四边形的性质

第2讲 平行四边形的性质 考点：平行四边形的性质 ( A D E F B C )【例1】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ABCD，∴∠BAE＝∠DCF ∵AE＝CF，∴△ABE≌CDF ∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD ∴∠FEB＝∠EFD，∴BE∥DF，∴BEDF 【变式1】略 【变式2】略 【变式3】略 【例2】24°，34° 【例3】AD＝3，AB＝，S□ABCD ＝6 【变式1】CD＝5，AD＝BC＝5，AC＝6，BD＝8 【变式2】S□ABCD ＝18 【思维拓展】 1．8 2．6，8，6，8 3．AC＝4，BD＝2 4．参见学习评估7题 5．①②③④ 6．72，10 7．1，， 8．4 9． 10．4.5 11．（1）S重叠 ＝10；（2）AC＝4 【课后作业】 1．10＜a＜22 2．55°或35° 3．9cm2 4．19cm 5．8 6．4a－2b 提示：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，AB＝CD ∵OC＝BC，∴OC＝BC＝AO＝AD 设AB＝x，BC＝y，BO＝z 则AB＋BO＋AO＝x＋y＋z＝a ① AB＋BD＋AD＝x＋2z＋y＝b ② 由①×②－②得：AB＋BC＝x＋y＝2a－b ∴2( AB＋BC )＝4a－2b 7．a＝－ ，b＝1 9．证明：∵四边形EFGH是平行四边形，∴EH＝GF，EH∥GF ∴∠EHF＝∠GFH，∴∠EHD＝∠GFB ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠EDH＝∠GBF ∴△EHD≌△GBF，∴BF＝DH 10．证明：∵∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90° ( D E A F B C )∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠FAE ∵∠A＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∴∠A＋∠AEF＝90° ∴∠DEC＝∠A ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD ∴∠DEC＝∠BCE，∴∠BCE＝∠BCD ∴∠BCE＝∠DCE，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 平行四边形的性质 【学习目标】 1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理． 2．能熟练利用平行四边形的性质定理进行证明和计算． 【教学重难点】 平行四边形的性质及其应用． 考点：平行四边形的性质 知识点与方法技巧梳理： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用“□”表示，如图1，平行四边形ABCD记作“□ABCD”． 平行的四边是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心． ( A D B C 图1 )平行四边形具有以下性质（定理）： 平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分． 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等． 平行四边形的面积： ①如图2，S□ABCD ＝BC·AE＝CD·AF． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图3，□ABCD与□EBCF有公共边BC，则S□ABCD ＝S□EBCF ．特别地，当点P是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图4． ( A D B C E F A D B C E F P A D B C 图2 图3 图4 ) 【例1】如图，在□ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BEDF． ( A D E F B C ) 【变式1】如图，在□ABCD中，E，F分别是BC和AD上的点，且BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． ( A D B C F E ) ( D E A F B C )【变式2】如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．求证：BF＝DE． 【变式3】 ( A D E B C F O )如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE＝OF． 【变式4】如图，点A、B、C分别在△EFD的各边上，且AB∥DE，BC∥EF，CA∥FD，求证：A、B、C分别是△DEF各边的中点． ( A D E F C B ) 【例2】如图，在□ABCD中，∠ADC＝122°，∠CAD＝24°，求∠ACB和∠CAB的度数． ( A D B C ) 【例3】如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝90°，OA＝，OB＝1．求AD，AB的长度和□ABCD的面积． ( D C A B O ) 【变式1】已知□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其它各边以及两条对角线的长度． 【变式2】如图，在□ABCD中，已知AB＝4cm，BC＝9cm，∠B＝30°，求□ABCD的面积． ( A D B C ) 【思维拓展】 1．在□ABCD中，已知AB＝6，AD为□ABCD周长的，则BC的长度为_________． 2．已知□ABCD的周长为28，两邻边之比为3︰4，则各边长为____________________． ( A D B C O )3．如图，□ABCD的面积为12，周长为16，AB＝3，对角线AC与BD相交于点O（AC＜BD）．求AC和BD的长度． 4．如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD，EF⊥AE交CD于点F，求证：CE＝CF． ( A D B C E F ) 5．如图，在□ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF，CF．则下列结论中一定成立的是______________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①∠DCF＝ ∠BCD；②EF＝CF；③若S△BEC＝S△CEF，则AE＝ BE；④∠DFE＝3∠AEF． ( F D A E C B ) ( A D B C E ) ( A D B C F E ) 6．如图，在□ABCD中，E是BC中点，连接AE，BD，若AE⊥BD，AE＝9，BD＝12，则□ABCD的面积为__________，BC的长为__________． 7．如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，若AB＝3，AD＝5，则EF的长为__________，若AE＝2，则DF的长为__________，□ABCD的面积为__________． 8．如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∠EAF＝45°，AE＋AF＝，则平行四边形ABCD的周长是__________． ( A B C D E F ) ( A D B C E F ) ( A D F B C E ) 9．如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝60°，BE＝3，CF＝2，则EF＝__________． 10．如图，将□ABCD沿着过B点的直线折叠，使得点C落在AD边上的F点处，折痕BE交CD于点E，若△ABF的周长为15，△DEF的周长为6，则AF的长为__________． 11．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC对折，BC边与AD边交于点E，已知AB＝AE＝5cm，DE＝6cm． ( B C B ′ A D E )（1）求重叠部分的面积；（2）求AC的长度． 【课后作业】 1．一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线a的取值范围为_________． 2．在□ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为__________． 3．一个平行四边形的周长为15cm，两组对边间的距离分别为2cm和3cm，那么这个平行四边形的面积为__________． ( D A O B C )4．如图，□ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长少8cm，求AB的长为__________． ( A B C D O ) ( D C O A B ) 5．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知AB＝5cm，△OAB的周长比△BOC的周长小3cm，则AD的长为__________ cm． 6．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OC＝BC，若△ABO的周长为a，△ABD的周长为b，则□ABCD的周长为__________（用含a，b的式子表示）． 7．在直角坐标系中，已知点A（2a，a－b＋1），B（b，a＋1）关于原点对称，求a，b的值． 8．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AO，CO上，且AE＝CF，求证：∠EBO＝∠FDO． ( D A O E F B C ) ( A D E B C G F H )9．如图，□EFGH的顶点E，G分别在□ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在□ABCD的对角线BD上．求证：BF＝DH． 10．如图，□ABCD中，点E，F分别在边AD，AB上，AE＝AF，且∠FEC＝90°． ( D E A F B C )求证：DE＝DC． 学科网（北京）股份有限公司 $$