第06讲 离散型随机变量的数字特征（2大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修三）

第06讲 离散型随机变量的数字特征 目录 题型归纳 1 题型01 求离散型随机变量的均值 3 题型02 均值的性质 3 题型03 由离散型随机变量的均值求参数 4 题型04 超几何分布、两点分布的均值 5 题型05 离散型随机变量的方差与标准差 6 题型06 方差的性质 7 题型07 方差的期望表示 7 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 12 知识点01离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 知识点02离散型随机变量的方差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)=+++=为随机变量X 的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X). (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 题型01求离散型随机变量的均值 【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（    ） A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．0.095 【变式1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）若从4道单选题、3道多选题、2道填空题中任选两道试题作答，记选出单选题的道数为，则 ． 【变式3】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，求. 题型02 均值的性质 【例2】（21-22高二下·北京大兴·期末）已知离散型随机变量的期望，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）若，是离散型随机变量，且，其中，为常数，则有.利用这个公式计算（ ） A． B． C． D．不确定 【变式2】（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则 . 【变式3】（23-24高二下·江苏盐城·期末）一种抛掷骰子游戏：若抛掷出点数为1，2，则得0分；若抛掷出点数为3，4，5，6，则得2分．现抛掷骰子10次，则得分X的期望值为 ． 题型03 由离散型随机变量的均值求参数 【例3】（2024高二下·江苏·专题练习）若随机变量Z的分布列为 Z 1 2 3 P 0.5 x y 且，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量的分布列如下： 4 9 且，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元（）．问a如何确定，可使保险公司期望获利？ 题型04 超几何分布、两点分布的均值 【例4】（22-23高二下·山东枣庄·期末）某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（22-23高二下·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求． 【变式3】（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 题型05 离散型随机变量的方差与标准差 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·山东济南·期末）随机变量X的分布列为，，.若，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【变式2】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 若，且，则 ． 【变式3】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 题型06 方差的性质 【例6】（23-24高二下·天津·期末）已知离散型随机变量的方差为2，则（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【变式1】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）随机变量与满足，若，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．2 【变式2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知随机变量，且，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】（23-24高二下·四川成都·期末）设随机变量的方差，则的值为 . 题型07 方差的期望表示 【例7】（20-21高二·全国·课后作业）已知随机变量ξ的分布列为： ξ m n P a 若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于（    ） A．0 B．2 C．4 D．无法计算 【变式1】（22-23高二上·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 【变式2】（23-24高二·全国·课堂例题）计算随机变量X的方差，除了应用定义式，还可用公式，你能对该公式进行证明吗？ 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）设X是一个随机变量，c是常数.求证：X＋c的方差与X的方差相等. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高二上·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则等于（    ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 3．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知X的分布列如表所示，设，则Y的数学期望的值是（    ） X 0 1 P a A． B． C．1 D． 二、多选题 5．（22-23高二下·广西河池·期末）已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）离散型随机变量X的分布列如表所示，则（   ） X 0 1 2 4 P a A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·天津滨海新·期末）随机变量的概率分布列如下表： 2 3 4 P a b a 根据随机变量的分布列，计算出 ，若，则b的数值应是 ． 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 四、解答题 9．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回, (1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率； (2)若抽3次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望 10．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，求： (1)的值； (2)的值. 11．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元;猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元.每次猜谜的结果相互独立. (1)若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量，求随机变量的分布列与期望; (2)现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语? 12．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分. 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为，参加“机器人操作”比赛合格的概率为. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记为博文同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由. 13．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）甲､乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示. 甲 答对题数 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 (1)求甲､乙两名同学答题答对题数的期望； (2)试分析甲､乙两名同学谁的成绩好一些. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列是．若，则（    ） 1 2 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高二下·山西长治·期中）离散型随机变量的分布列分别如表1、表2所示，且，则，的值分别为（    ） 表1 7 9 10 12 15 表2 15 19 21 25 31 A．20，5 B．20，4 C．21，5 D．21，4 3．（23-24高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（    ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A． B．7 C．5.61 D．6.61 4．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，，则下列说法正确的是（    ） A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 二、多选题 5．（23-24高二下·河南安阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量的分布列为，则 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为．若，则（    ） A．随机变量的均值为1 B．随机变量的均值为2 C．随机变量的方差为3 D．随机变量的方差为 三、填空题 7．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 0 1 2 0.1 0.2 0.4 则 . 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 四、解答题 9．（23-24高二下·山东滨州·期末）某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元； 制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表： 维修次数 0 1 2 机器台数 10 40 50 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数． (1)求 X 的分布列； (2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围． 10．（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 11．（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 12．（24-25高二上·吉林·期末）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元： 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元. (1)若用方案一，求X的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由； 13．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一､二等品，则为不合格品. (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品的件数，求的分布列和数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5 ①求2件减排器的利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 离散型随机变量的数字特征 目录 题型归纳 1 题型01 求离散型随机变量的均值 3 题型02 均值的性质 5 题型03 由离散型随机变量的均值求参数 6 题型04 超几何分布、两点分布的均值 9 题型05 离散型随机变量的方差与标准差 12 题型06 方差的性质 14 题型07 方差的期望表示 16 分层练习 18 夯实基础 18 能力提升 28 知识点01离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P p1 p2 pn 则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 知识点02离散型随机变量的方差 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)=+++=为随机变量X 的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X). (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 2．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=D(X). 3．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 题型01求离散型随机变量的均值 【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（    ） A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．0.095 【答案】A 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由均值的性质即可求解. 【详解】. 故选：A. 【变式1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出期望. 【详解】由题意可知的可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）若从4道单选题、3道多选题、2道填空题中任选两道试题作答，记选出单选题的道数为，则 ． 【答案】 【知识点】求离散型随机变量的均值 【分析】求得的所有取值并求出相对应的概率即可计算得出. 【详解】由题意可得的所有取值为， 则 所以． 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，求. 【答案】 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】ξ的取值可能为2，3，4，分别求出概率，列出分布列，求出即可. 【详解】由题意知变量ξ的取值可能为2，3，4， 故ξ的分布列为 ξ 2 3 4 所以 题型02 均值的性质 【例2】（21-22高二下·北京大兴·期末）已知离散型随机变量的期望，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】均值的性质 【分析】直接利用期望的性质即可得解. 【详解】解：因为， 所以. 故选：C. 【变式1】（20-21高二·全国·课后作业）若，是离散型随机变量，且，其中，为常数，则有.利用这个公式计算（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【知识点】均值的性质 【分析】由期望的运算性质直接求解即可. 【详解】是常数，. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）已知，则 . 【答案】5 【知识点】均值的性质 【分析】利用均值的性质求解. 【详解】已知，则. 故答案为：5 【变式3】（23-24高二下·江苏盐城·期末）一种抛掷骰子游戏：若抛掷出点数为1，2，则得0分；若抛掷出点数为3，4，5，6，则得2分．现抛掷骰子10次，则得分X的期望值为 ． 【答案】/ 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】设抛掷骰子一次得分为，求出的可能取值及其对应的概率，即可求出，又，由均值的性质即可得出答案. 【详解】设抛掷骰子一次得分为，则， ，， 所以，因为， 所以. 故答案为： 题型03 由离散型随机变量的均值求参数 【例3】（2024高二下·江苏·专题练习）若随机变量Z的分布列为 Z 1 2 3 P 0.5 x y 且，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据题意，结合分布列的性质和期望的公式，列出方程组，即可求解. 【详解】根据题意，可得，解得，所以. 故选：C. 【变式1】（21-22高二下·陕西渭南·期末）已知随机变量的分布列如下： 4 9 且，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据各个变量概率和为1，可得b值，代入期望公式，结合题中条件，即可得答案. 【详解】由题意得，解得 所以，解得. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知随机变量的分布列如下： 0 1 且，则 . 【答案】4 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】由分布列的期望公式解得. 【详解】， 即，解得. 故答案为：4. 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上的财产被盗，保险公司赔偿a元（）．问a如何确定，可使保险公司期望获利？ 【答案】当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利． 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、求离散型随机变量的均值 【分析】设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”，求出X的可能值及对应概率，再求出期望求解即可. 【详解】设X表示“保险公司在参加保险人身上的收益”， 则X的取值为和，，， 所以，解得， 又，因此， 即当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利． 题型04 超几何分布、两点分布的均值 【例4】（22-23高二下·山东枣庄·期末）某品牌饮料正在进行有奖促销活动，一盒5瓶装的饮料中有2瓶有奖，消费者从中随机取出2瓶，记X为其中有奖的瓶数，则为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】均值的性质、超几何分布的均值 【分析】根据给定条件，求出X的可能值及对应的概率，再利用期望的定义及性质计算作答. 【详解】依题意，X的可能值为，则， 因此， 所以. 故选：B 【变式1】（22-23高二下·广西·期末）若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】均值的性质、两点分布的均值 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则， 故，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求． 【答案】 【知识点】两点分布的均值 【分析】根据离散型随机变量的期望公式计算可得； 【详解】解：因为X只能取1，0这两个值，而且，所以． 【变式3】（23-24高二下·江苏泰州·期中）已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮. (1)记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望； (2)已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望. 【答案】(1) (2) 【知识点】求离散型随机变量的均值、超几何分布的均值 【分析】（1）选出名队员中主力队员，求解概率分布和数学期望； （2）根据每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或投完5次，可得，求出期分布和期望. 【详解】（1）根据题意可得， 则,, ,, 则的分布列为： 所以 （2）根据每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或投完5次，可得，则 则的分布列， . 题型05 离散型随机变量的方差与标准差 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】由随机变量的性质可得，再结合期望的公式，代入计算，即可求得，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得，又，解得， 则． 故选：D 【变式1】（23-24高二下·山东济南·期末）随机变量X的分布列为，，.若，则（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据题意可得求出，再利用方差公式可求得结果. 【详解】因为随机变量X的分布列为，，，， 所以，解得， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 若，且，则 ． 【答案】 【知识点】离散型随机变量的方差与标准差 【分析】由随机变量分布列的性质，得，解得，根据，求得，进而求得，由，求得，进而求出. 【详解】由随机变量分布列的性质，得， 解得， ， ， ， ， ， ． 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.1 0.2 0.3 0.4 求其方差和标准差． 【答案】1，1 【知识点】求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】计算出期望，进而利用方差公式求出方差，得到标准差. 【详解】， 所以， ． 故方差和标准差均为1. 题型06 方差的性质 【例6】（23-24高二下·天津·期末）已知离散型随机变量的方差为2，则（    ） A．2 B．3 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】方差的性质 【分析】根据方差的性质即可得解. 【详解】因为离散型随机变量的方差为2， 所以. 故选：D. 【变式1】（23-24高二下·安徽芜湖·期末）随机变量与满足，若，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【知识点】方差的性质 【分析】借助方差性质计算即可得. 【详解】. 故选：A. 【变式2】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知随机变量，且，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】方差的性质 【分析】根据随机变量方差的性质结合题意直接求解即可 【详解】因为随机变量， 所以，得. 故选：A 【变式3】（23-24高二下·四川成都·期末）设随机变量的方差，则的值为 . 【答案】 【知识点】方差的性质 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 题型07 方差的期望表示 【例7】（20-21高二·全国·课后作业）已知随机变量ξ的分布列为： ξ m n P a 若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于（    ） A．0 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】D 【知识点】方差的期望表示、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据题意，结合期望和方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题意得a＝1－＝，所以E(ξ)＝m＋n＝2，即m＋2n＝6. 又D(ξ)＝×(m－2)2＋×(n－2)2＝2(n－2)2， 当n＝2时，D(ξ)取得最小值，此时m＝2，不符合题意，故D(ξ)无法取得最小值． 故选：D 【变式1】（22-23高二上·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 【答案】/ 【知识点】方差的期望表示、两点分布的方差 【分析】先求出期望，借助期望求方差. 【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次， , 因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3， , 故答案为： 【变式2】（23-24高二·全国·课堂例题）计算随机变量X的方差，除了应用定义式，还可用公式，你能对该公式进行证明吗？ 【答案】答案见解析 【知识点】方差的期望表示 【详解】证明如下： 有时合理运用上式可使某些方差的求解问题变得非常简单． 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）设X是一个随机变量，c是常数.求证：X＋c的方差与X的方差相等. 【答案】证明见解析 【知识点】方差的期望表示、均值的性质 【分析】根据方差的公式和期望的性质证明即可. 【详解】由方差的公式可知， ， 故有 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高二上·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 则等于（    ） A．0 B．0.8 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的方差公式求解即可. 【详解】∵， ∴． 故选:B. 2．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（    ） A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·全国·随堂练习）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 3 则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列结合期望公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）已知X的分布列如表所示，设，则Y的数学期望的值是（    ） X 0 1 P a A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】借助概率之和为1，结合期望的性质计算即可得. 【详解】，，， . 故选：B. 二、多选题 5．（22-23高二下·广西河池·期末）已知随机变量满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据期望及方差的性质即可求解. 【详解】，则,故A正确，B错误； ，则，故C正确，D错误. 故选：AC 6．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）离散型随机变量X的分布列如表所示，则（   ） X 0 1 2 4 P a A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据概率和为1，可求a的值，判断A；由互斥事件的概率加法公式判断B；根据期望，方差的公式进行计算，判断C，D. 【详解】根据题意，，所以，A正确； ，B错误； ，C正确； ，D正确. 故选：ACD 三、填空题 7．（23-24高二下·天津滨海新·期末）随机变量的概率分布列如下表： 2 3 4 P a b a 根据随机变量的分布列，计算出 ，若，则b的数值应是 ． 【答案】 3 /0.5 【分析】根据随机变量分布列的性质得，利用数学期望的定义求出；再由方差计算公式列出方程求出值，即可得到的值. 【详解】依题意，， 解得，，代入得，. 故答案为：3； 8．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）随机变量的分布列如下表所示，则 . 1 2 3 【答案】 【分析】根据分布列的性质可得，即可求解期望，由方差的计算公式即可求解. 【详解】由题意可得，故，解得或（舍去）， 故随机变量的分布列如下：. 1 2 3 故，， 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）在9道试题中有4道代数题和5道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回, (1)求在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率； (2)若抽3次，抽到X道代数题，求随机变量X的分布列和期望 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）利用条件概率的公式求解即可； （2）先确定随机变量X的取值，再求分布列，利用期望公式可得答案. 【详解】（1）设事件“第一次抽到几何题”，事件“第二次抽到代数题”， 则，，所以, 即在第一次抽到几何题的条件下第二次抽到代数题的概率为. （2）由题意的取值为0,1,2,3， ，， ，， 分布列为 0 1 2 3 期望. 10．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 0.4 若，离散型随机变量满足，求： (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由概率和为1和列出方程组可求出的值； （2）根据分布列先求出，然后根据平均数和方差的性质可求得答案. 【详解】（1）由分布列的性质，可得，解得①， 因为，所以，即②， 联立①②解得， （2）因为， 所以， 因为， 所以， . 11．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元;猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元.每次猜谜的结果相互独立. (1)若张某猜完了这两道谜语，记张某猜对谜语的道数为随机变量，求随机变量的分布列与期望; (2)现规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道.如果猜谜顺序由张某选择，为了获得更多的奖金，他应该选择先猜哪一道谜语? 【答案】(1)分布列见解析， (2)先猜A 【分析】（1）根据题意，由条件可得的可能取值为，然后分别求得其对应概率，结合期望的定义，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别求得先猜A谜语得到的奖金期望与先猜B谜语得到的奖金期望，比较大小，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，的可能取值为， ， ， ， 则分布列为 则. （2）设选择先猜A谜语得到的奖金为元，选择先猜B谜语得到的奖金为元， 则随机变量的可能取值为：0，10，30， 可得，， ， 所以随机变量的的分布列为： Y 0 10 30 P 0.2 0.4 0.4 所以期望； 又由随机变量的可能取值为：0，20，30， 可得，，， 随机变量的分布列为： Z 0 20 30 P 0.5 0.1 0.4 所以期望为， ∴，所以小明应该先猜A. 12．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为了丰富学生的课余生活，赤峰四中决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分. 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为，参加“机器人操作”比赛合格的概率为. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记为博文同学的累计得分，求的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛，理由见解析 【分析】（1）依题意可得的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可求出的分布列； （2）求出，若甲同学先进行“机器人操作”，记为甲同学的累计得分，求出，即可判断. 【详解】（1）由题意得，的可能取值为，，， 所以，，， 所以的分布列为： 0 4 10 （2）由（1）可得， 若甲同学先进行“机器人操作”，记为甲同学的累计得分，的可能取值为，，， 所以，，， 所以， 因为，所以甲同学应该选择先进行“无人机表演”比赛. 13．（23-24高二下·广西河池·阶段练习）甲､乙两名同学在一次答题比赛中答对题数的概率分布分别如下表所示. 甲 答对题数 0 1 2 3 概率 0.1 0.2 0.4 0.3 乙 答对题数 0 1 2 3 概率 0.2 0.1 0.3 0.4 (1)求甲､乙两名同学答题答对题数的期望； (2)试分析甲､乙两名同学谁的成绩好一些. 【答案】(1)甲､乙两人成绩的均值分别为1.9，1.9 (2)甲同学的成绩较好 【分析】（1）利用数学期望公式可计算两名同学成绩的数学期望； （2）利用方差公式计算两名同的学的成绩的方差，可得结论. 【详解】（1）甲､乙两人成绩的均值分别为 （2）方差分别为 由上面的数据，可知. 这表示甲､乙两人答对题目的均值相等，但两人答对题的稳定程度不同， 甲同学较稳定，乙同学波动较大，所以甲同学的成绩较好. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列是．若，则（    ） 1 2 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用分步列的性质及条件得到，再利用方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以，又，得到， 故选：A. 2．（23-24高二下·山西长治·期中）离散型随机变量的分布列分别如表1、表2所示，且，则，的值分别为（    ） 表1 7 9 10 12 15 表2 15 19 21 25 31 A．20，5 B．20，4 C．21，5 D．21，4 【答案】D 【分析】根据期望方差的运算公式即可求得，的值. 【详解】根据题意知， ， . 故选：D 3．（23-24高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（    ） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A． B．7 C．5.61 D．6.61 【答案】B 【分析】根据随机变量的分布列的性质求得，再由期望的公式，求得，最后利用方差的公式，即可求解，得到答案． 【详解】根据随机变量的分布列性质，可得，解得， 又由，解得. 故选：B. 4．（23-24高二下·福建龙岩·期末）已知随机变量所有可能的取值为x，y，且，，则下列说法正确的是（    ） A．存在， B．对任意， C．存在， D．对任意， 【答案】D 【分析】对A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C：先求，利用作差法比较大小；对D：换元令，结合二次函数求的取值范围. 【详解】由题意可得：，且，即， 对A、B：由题意可得：， ∵开口向下，对称轴，， 则，故，即， 不存在，，A错误； 例如，则，即存在，，，B错误； 对C：， 则， 故对任意，，则，C错误； 对D：令， 则图象开口向下，对称轴，且， 故，即， 对任意，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据题意得到，，从而得解. 二、多选题 5．（23-24高二下·河南安阳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若随机变量，且，则 D．若随机变量的分布列为，则 【答案】ABC 【分析】利用条件概率公式可判断A，利用概率的性质可判断B，利用二项分布的期望和方差公式可判断C，利用离散型随机变量的期望公式可判断D． 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，解得， 所以，所以，故C正确； 对于D，因为随机变量的分布列为， 所以，，， 所以，故D错误． 故选：ABC． 6．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为．若，则（    ） A．随机变量的均值为1 B．随机变量的均值为2 C．随机变量的方差为3 D．随机变量的方差为 【答案】AD 【分析】根据题意，由随机变量的期望的计算公式即可判断A，再由期望的性质即可B，由随机变量方差的计算公式即可判断C，再由方差的性质即可判断D 【详解】由题可得，， ，， 故，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 三、填空题 7．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为 0 1 2 0.1 0.2 0.4 则 . 【答案】 【分析】先根据分布列概率和为1得出，再计算分布列的数学期望及方差，最后应用方差性质得出，再计算标准差即可. 【详解】由，得， 所以， ，， 所以. 故答案为：. 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据概率和为1可得，进而可得，再根据数学期望与方差的公式，结合二次函数的范围求解即可. 【详解】由题可得，因为，所以， 因为，即，化简得， 则 ， 当时，此时有最小值为1（舍去）， 即的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 9．（23-24高二下·山东滨州·期末）某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元； 制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表： 维修次数 0 1 2 机器台数 10 40 50 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数． (1)求 X 的分布列； (2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由概率公式计算取值为的概率，进而列出分布列； （2）分别计算出两种方案的分布列，进而得出期望，并通过期望的大小关系得出t 的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得的取值为. 所以的分布列为： （2）记选择方案一所需费用为元 则当时， 当时， 当时， 当时， 则的分布列为 记选择方案二所需费用为元. 则时， ； 时，； 时， 则的分布列为 因为，所以， 解得，所以的取值范围为. 10．（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，求分布列，进而可得方差； （2）由（1）可知：，，根据期望和方差的性质列式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，则有： ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． ． （2）由（1）可知：，， 若随机变量，且， 可得，解得. 11．（24-25高二下·全国·课后作业）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道．学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题．现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3． (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)选择方案一，能使得该生的得分更高 【分析】（1）根据题意，得到随机变量的取值可能是0，20，40，60，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）选择方案二，记得分为变量，可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，结合，即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意知，随机变量的取值可能是0，20，40，60， 可得， ， ， ， 则变量的分布列如下表所示： 0 20 40 60 0.008 0.096 0.384 0.512 所以期望为． （2）解：若该学生选择方案二，记得分为变量，则的取值可能为， 可得，， ， ， ， ， ， 则变量的分布列为： 0 10 20 30 40 50 70 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以期望为 ． 结合（1）知， 所以选择方案一，能使得该生的得分更高． 12．（24-25高二上·吉林·期末）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3个红球和3个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补充一个红球，这样反复进行3次，若最后袋中红球个数为X，则每位员工颁发奖金X万元： 方案二：从袋中一次性摸出3个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为Y，则每位员工颁发奖金Y万元. (1)若用方案一，求X的分布列与数学期望； (2)比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高?请说明理由； 【答案】(1)分布列见解析， (2)方案二，理由见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式，计算出概率，列分布列即可得出期望； （2）根据方案二，按照（1）的方法计算期望，比较方案一的期望即可. 【详解】（1）对于方案一，由条件可知有可能取值为3，4，5，6， ，， ，， ∴的分布列为： 3 4 5 6 期望值. （2）对于方案二，由条件可得值为3，4，5，6， ，， ， ， ∴的期望值 ∵所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高. 13．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一､二等品，则为不合格品. (1)若工厂已生产3件减排器，设为其中二等品的件数，求的分布列和数学期望； (2)已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5 ①求2件减排器的利润不少于1万元的概率； ②若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由.（参考数据：） 【答案】(1)分布列见解析； (2)①0.81；②要增加产量，增加3件最好 【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可； （2）①根据相互独立事件的乘法公式计算即可； ②先求出一件减排器的平均利润，进而可得出增加件产品，利润增加量和成本的提高量，进而可得出净利润，再利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）， ，， ，， 分布列如下： 0 1 2 3 P ； （2）①设2件减排器的利润为Y万元， ， 所以2件减排器的利润不少于1万元的概率为0.81； ②一件减排器的平均利润为（万元）， 则增加件产品，利润增加为万元，成本也相应提高万元， 所以净利润为， 设，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，因为x只能取正整数，所以或，此时可能为最大值， ， ， 所以要增加产量，增加3件最好. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下： （1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$