8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　§8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平　面 学习目标 1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.(重点) 3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.(难点) 导语 前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素，我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征.为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究.本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系. 一、平面的概念、画法及表示 二、基本事实及应用 随堂演练 内容索引 平面的概念、画法及表示 一 问题1　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？ 提示　无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等. 知识梳理 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 平面的画法及表示 ABCD AC BD α β γ ①平行四边形的四个顶点：平面 ； ②对角顶点：平面 或平面 ； ③希腊字母：平面 ，平面 ，平面 知识梳理 注意点： 一般按逆时针的顺序用大写字母标注平行四边形的四个顶点. 例1　(多选)下列说法正确的是 A.平面是处处平的面 B.平面是无限延展的 C.平面的形状是平行四边形 D.一个平面的厚度可以是0.001 cm 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄， √ √ AB两种说法是正确的； CD两种说法是错误的. 反思感悟 (1)“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)； (2)“平面”无厚薄之分； (3)“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与 “平面图形”的依据. 跟踪训练1　下列说法正确的是 A.平行四边形是一个平面 B.任何一个平面图形都是一个平面 C.平静的太平洋面就是一个平面 D.一个平面可以将空间分成两部分 √ A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边 形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的； B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以 无限延展的； C不正确，太平洋再大也会有边际，也不可能是绝对平面； D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分. 二 基本事实及应用 问题2　我们知道，两点确定一条直线，要确定一个平面需要几个点呢？ 提示　不共线的三个点； 问题3　如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？ 提示　不在； 如果三点共线， 无数个平面； 无数个平面； 则有无数个平面， 如果三点不共线，有唯一的一个平面. 在. 过空间一点有几个平面？ 两个点呢？ 三个点呢？ 如果直线 与平面有两个公共点，直线在平面内吗？ 问题4　我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与桌面是否只有一个公共点？ 提示　不是.三角尺所在的平面是可以无限延展的，用它去“穿透”课桌 面，两个平面相交于一条直线. 知识梳理 1.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示 文字语言 符号语言 点A在平面α外 直线l在平面α内 平面α，β相交于直线l A∈α A∉α l⊂α l⊄α α∩β＝l 点 A 在直线 l 上 A ∈ l 点 A 在直线 l 外 A ∉ l 点A在平面α内 直线l不在平面α内 知识梳理 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 基本事实2 2.公理 过不在一条直线上的三个点， 一个平面 有且只有 A，B，C三点不共线⇒ 存在唯一的平面α 使A，B，C∈α A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α⇒_____ 如果一条直线上的 在一个平面内，那 么这条直线在___________ 两个点 这个平面内 l⊂α 知识梳理 基本事实3 如果两个不重合的平面 有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点 的_________ 公共直线 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ⇒ 知识梳理 3.推论 推论 内容 图形 推论1 推论2 推论3 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 经过两条相交直线，有且只有一个平面 经过两条平行直线，有且只有一个平面 注意点： 有时可用平面内不共线的三点来表示平面，例如平面ABC. 例2　用符号表示下列语句，并画出图形. (1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. 角度1　立体几何三种语言的相互转化 用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图1. 图1 (2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上. 用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图2. 图2 反思感悟 根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 跟踪训练2　(1)(多选)若点A在直线b上，直线b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作 A.A∈b B.b⊂β C.A∈β D.A⊂β √ √ √ (2)如图所示，用符号语言可表述为 A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n √ 如图所示， 例3　已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 角度2　点、线共面问题 ∵a∥b， ∴过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面. 反思感悟 证明点、线共面问题的常用方法 (1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”. (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β 重合，即用“同一法”. 跟踪训练3　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法一　( ) ∵l1∩l2＝A， ∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B， ∴B∈l2. 又∵l2⊂α， ∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内. 方法二　 ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β， ∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内. 纳入法 (同一法) 同理可证C∈α. ∴B∈α. 例4　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”， 求证：点D，A，M三点共线. 角度3　共线、共点问题 因为D1F∩CE＝M， 且D1F⊂平面A1D1DA， 所以M∈平面A1D1DA， 从而M在两个平面的交线上， 同理M∈平面BCDA。 因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD， 所以M∈AD成立. 所以点D，A，M三点共线. 反思感悟 (1)证明三点共线的方法 (2)证明三线共点的步骤 跟踪训练4　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点. 因为在梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两腰， 所以AB，CD必定相交于一点， 如图，设AB∩CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β， 所以M∈α且M∈β， 又因为α∩β＝l， 所以M∈l.即AB，CD，l共点. 课堂小结 1.知识清单： (1)平面的概念. (2)基本事实. (3)共面、共线、共点问题. 2.方法归纳：同一法、纳入法. 3.常见误区：三种语言的相互转换. 随堂演练 三 表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP. 1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 A.平面MN B.平面NQP C.平面α D.平面MNPQ √ 1 2 3 4 2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是 1 2 3 4 √ B中直线a不应超出平面α； C中直线a不在平面α内； D中直线a与平面α相交. 3.空间四个点中，三点共线是这四个点共面的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 空间四个点中，有三个点共线，根据“一条直线与直线外一点可以确定一个平面” 得到这四个点共面，前者可以推出后者。 1 2 3 4 当四个点共面时，不一定有三点共线，后者不一定推出前者。 所以空间四个点中，三点共线是这四个点共面的充分不必要条件. 4.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为 . 1 2 3 4 A∈l，l⊄α $$