第八章 实数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（湖北专用，人教版）

第八章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的概念，熟记相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可求得一个数的相反数． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2．如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，数轴上点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根，掌握网格求面积的方法，以及实数在数轴的表示是解题的关键．根据网格的数据，可求正方形的面积，从而得到正方形的边长，从而得到结果． 【详解】大正方形面积为， ∴大正方形边长为， ∴数轴上点A表示的数为， 故选：A． 3．下列各数中：，3.1515926，，，，无理数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：与有关的数，如，等；开方开不尽的数，如，等；无限不循环但有规律的数，如0.1010010001…等．根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 这些数中，无理数的是，，共2个． 故选：B 4．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 5．的算术平方根等于（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的意义，掌握一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根是解题的关键． 先化简，再根据算术平方根的意义求解即可． 【详解】解：∵，4的算术平方根等于2， ∴的算术平方根是2． 故选：C． 6．如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得到大正方形的边长，即可解题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：， 故选：． 7．在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的应用，弄清题意是解本题的关键．由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：， 即 解得：或（舍）， 答：溢水杯内部的底面半径约为． 故选：D． 8．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的应用，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出，计算即可得解． 【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 解得：， 故选：B． 9．下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、立方根，根据平方根和立方根的定义逐项判断即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：①一个数的平方根有两个，它们互为相反数，该选项说法错误； ②负数有立方根，该选项说法错误； ③任何数的立方根都只有一个，该选项说法正确； ④一个数有立方根，这个数不一定有平方根，比如负数，该选项说法错误； ∴正确的说法有个， 故选：． 10．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若，则x的立方根是 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的定义可求出x的值，再求它的立方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴x的立方根是3． 故答案为：3． 12．写出一个比大且比小的整数是 ． 【答案】2或3 【分析】先估算出、的大小，然后确定范围在其中的整数即可． 【详解】∵ ， ∴ 即比大且比小的整数为2或3， 故答案为：2或3 【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键． 13．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图列式计算，求解即可． 【详解】解：当输入的x值为时：为有理数， 输入3，为无理数，输出； 故答案为：． 14．定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 【答案】35 【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的最大整数为35． 故答案为：35． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键． 15．如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据溢出的水的体积等于圆柱的体积建立方程求解即可．弄清题意并列出方程是解题的关键． 【详解】解：烧杯内部的底面半径为， 根据题意，得： ， ∴， ∴或， ∵， ∴ 即烧杯内部的底面半径为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16．把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 【答案】有理数数集合：｛、、0、、…｝无理数数集合：｛、，3.1041004…｝ 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的各个分类依据是解题的关键．无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：开不尽方的数、含的数，有规律但不循环的数．根据有理数、无理数的定义进行解答即可． 【详解】解： 有理数数集合：｛、、0、、…｝ 无理数数集合：｛、，3.1041004…｝． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)．（精确到，其中 【答案】(1)0 (2)14 (3)12 (4) 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数加法法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先根据有理数的乘方、立方根、算术平方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （4）先算乘法，再算加减，最后取近似值即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 18．请你将，，，，在数轴上表示出来，并用“”将上列各数连接起来． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，立方根和数轴等知识点，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 先根据算术平方根、有理数的乘法和立方根的定义化简各数，再在数轴上表示出各个数，最后比较大小即可． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示为： ． 19．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程； （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）根据立方根的定义解方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴ 解得：或 （2）解： ∴ 解得： 20．已知某正数的两个平方根是和，的算术平方根是2，若c是 的整数部分. (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、求一个数的立方根、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． （1）先依据平方根的定义可求得a的值，再根据算术平方根的定义可求出b的值，然后估算出的大小，可求得c的值， （2）根据（1）求a，b，c的值代入，得的值，最后求它的立方根即可． 【详解】（1）由题意得， 解得， 又， ， （2）由（1）得：， ， 的立方根是． 21．如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键． （1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解； （2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：因为． 所以棱长． 22．对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 23．先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：有一间活动室地面由A和B两种正方形地砖铺成，活动室地面也是正方形，已知：A地砖使用了36块，每块面积为，每平米单价为50元；B地砖使用了块，每块面积为，每平米单价为元； (1)用x，y表示铺设活动室地面的费用． (2)试说出代数式 所表示的的实际含义． 【答案】(1)元 (2)表示该正方形活动室地面的边长 【分析】题目主要考查列代数式及算术平方根的应用，理解题意，列代数式是解题关键． （1）根据题意得出A地砖一共面积为，花费（元）；B地砖一共面积为，花费（元），然后求和即可； （2）根据题意得表示的是活动室的地面面积，再由活动室是正方形的，即可得出结果． 【详解】（1）解：A地砖一共面积为，花费（元）； B地砖一共面积为，花费（元）， 一共元． （2）解：表示的是活动室的地面面积， 因为活动室是正方形的， 所以将其开平方是表示这个活动室的边长． 答：表示该正方形活动室地面的边长． 24．我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题考查了无理数的大小的估算和算术平方根，根据平方根的意义正确确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键． （1）根据，即可求出的值； （2）先求出的整数部分和分数部分，再求出x和y的值，把x和y值代入中，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，为的整数部分，是的小数部分， ∴，， 故答案为：3，． （2）解：，即， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， 是整数，且， ，， ， 的算术平方根为4， 的算术平方根为4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，组成正方形网格的小正方形边长为1，数轴上点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 3．下列各数中：，3.1515926，，，，无理数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 5．的算术平方根等于（   ） A．4 B． C．2 D． 6．如图，每个小正方形的边长为，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（   ） A． B． C． D． 7．在做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后，量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（    ） A． B． C． D． 8．已知一个正数的两个平方根分别是和，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．下列说法：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②负数没有立方根；③任何数的立方根都只有一个；④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若，则x的立方根是 12．写出一个比大且比小的整数是 ． 13．如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示． 当输入的x值为时，则输出的y值为 ． 14．定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ． 15．如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．） 16．（6分）把下列各数填入相应的集合内； ，3.1041004… 有理数数集合：｛___________________________｝ 无理数数集合：｛___________________________｝ 17．（6分）计算： (1)； (2)； (3)； (4)．（精确到，其中 18．（6分）请你将，，，，在数轴上表示出来，并用“”将上列各数连接起来． 19．（6分）解方程 (1)； (2)． 20．（8分）已知某正数的两个平方根是和，的算术平方根是2，若c是 的整数部分. (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 21．（8分）如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）． (1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？ (2)正方体容器的棱长是多少厘米？ 22．（10分）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 23．（11分）先阅读材料，再解决问题． 阅读材料：有一间活动室地面由A和B两种正方形地砖铺成，活动室地面也是正方形，已知：A地砖使用了36块，每块面积为，每平米单价为50元；B地砖使用了块，每块面积为，每平米单价为元； (1)用x，y表示铺设活动室地面的费用． (2)试说出代数式 所表示的的实际含义． 24．（12分）我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$