17.2 勾股定理的逆定理（第1课时 勾股定理的逆定理）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第17章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定 理的概念、关系及勾股数.（重点） 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点） 情景导入 据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似方法确定直角． 新知探究 前面的问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，它们满足关系 “32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形． 画画看，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm， 它们满足关系 “2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？ 换成三边分别为 4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试． 由上面的几个例子，我们猜想： 命题2：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 新知探究 我们看到，命题2与上节的命题1的题设、 结论正好相反．我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题． 上节已证明命题1正确，能证明命题2正确吗？ 这两个命题的题设、结论分别是什么？ 命题2 如果三角形 ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形． 命题1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2 = c2． 题设 结论 题设 结论 在图（1）中，已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2=c2． 要证△ABC一定是直角三角形． 证明：如图（2）作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a， ∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)， ∴∠C= ∠C′=90° ， 即△ABC是直角三角形. 则 这样我们证明了勾股定理的逆命题是正确的， 它也是一个定理．我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理．它是判定直角三角形的一个依据． 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．如本章中的命题1成立，它的逆命题命题2也成立；命题“对顶角相等”成立， 而它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立． 一般地，如果一个定理的逆命题经过 证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 例题讲解 课本例题 例1　判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a = 15，b = 8，c = 17；（2）a = 13，b = 14，c = 15. 解：（1）因为 152 + 82 = 225 + 64 = 289， 172 = 289， 所以 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理， 这个三角形是直角三角形. （2）因为 132 + 142 = 169 + 196 = 365， 152 = 225， 所以 132 + 142 ≠ 152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形. 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方． 像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 例题讲解 补充例题 例1 若△ABC的三边a，b，c满足 a:b: c=3:4:5，试判断△ABC的形状. 解：设a=3k，b=4k，c=5k(k＞0)， ∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2， ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角. 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形. 例题讲解 补充例题 例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF.理由如下： 设正方形的边长为4a， 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 概念归纳 方法总结：直角三角形的判定方法 (1)用角判定：①(定义法)有一个角为90° 的三角形是直角三角形； ②(判定定理)有两个角互余的三角形是直角三角形； (2)用边判定：勾股定理的逆定理. 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，∠C＝90° 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 △ABC 为直角三角形，且∠C＝90° 关系 课堂练习 1. 如果三条线段长 a，b，c 满足 a2 = c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解: 这三条线段组成的三角形是直角三角形. ∵ a2 = c2-b2， ∴ a2 + b2 = c2， 由勾股定理的逆定理知这个三角形是直角三角形. 2. 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 内错角相等，两条直线平行. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 对应角相等的三角形全等 . 在角平分线上的点到角两边的距离相等. 成立 不成立 不成立 成立 分层练习 1. 下面四组数中是勾股数的一组是(　　) A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，3 D．21，28，35 D 基础题 2. 四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中的直角三角形是(　　) A．5，9，12 B．5，9，13 C．5，12，13 D．9，12，13 C 3. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是( ) B A.1，1，1 B.1，2， C.3，4，6 D.2，3，4 4.在中，,,的对边的长分别为,,.若,, 满足 ，则( ) B A. B. C. D.无法确定 5．下列命题的逆命题是真命题的是(　　) A．若ac2＜bc2，则a＜b B．若a＝b，则a2＝b2 C．全等三角形的面积相等 D．等边三角形的每一个角都等于60° 【点拨】A选项的逆命题为：若a＜b，则ac2＜bc2. ∵当c＝0时，ac2＜bc2不成立，故A选项的逆命题为假命题，选项A不符合题意；B选项的逆命题为：若a2＝b2，则a＝b.∵当a2＝b2时，a＝b或a＝－b，故B选项的逆命题为假命题，选项B不符合题意；C选项的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，易知该命题为假命题，故C选项的逆命题为假命题，选项C不符合题意；D选项的逆命题为：每一个角都等于60°的三角形为等边三角形，故D选项的逆命题为真命题，选项D符合题意． 【答案】D 6.下列说法中正确的是( ) B A.每个定理都有逆定理 B.每个命题都有逆命题 C.原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D.真命题的逆命题是真命题 7. 已知△ABC中，AB＝k，AC＝k＋1，BC＝3，当k_______时，∠B＝90°. 4 8. [2024安庆期末]如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2，则∠ACB＝________°. 90 9.若5，13，是一组勾股数，则 的值为( ) B A.5 B.12 C.13 D. 10.如图，已知点在边长为5的正方形 内，测 得， ，则阴影部分的面积是( ) C A.12 B.16 C.19 D.25 11.如图，在中，，，以点为 圆心， 长为半径画弧，交于点，. 则____ . 90 12. 如图，在△ABC内部有一点D，且∠ADC＝90°， AB＝13，BC＝12，AD＝4，CD＝3. (1)试判断△ABC的形状； (2)求四边形ABCD的面积． 13. 我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样 一道题目：“今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈， 大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长 分别为7丈，24丈，25丈，则这块沙田的面积是多少？可求得这块沙田的 面积是____平方丈. 84 综合应用题 14.[2024·广州黄浦区期末] 若的三边长分别为，， ，且满足 ，则 的形状为( ) D A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 15.如图，已知，以为圆心，长为半径画弧，与射线 相 交于点，连接，过点作，垂足为.若， ， ，则 的长为___. 2 （第13题） [解析] 点拨：,,， ， ，， 为直角三角形，且 . ， . ， . 由题意知 . 在和中， ， ， . 【答案】D 17.如图，在3×3的网格中，A(1，1)，B(3，0)，C均为格点，当△ABC是直角三角形时，点C的坐标可以是_____________________． (1，0)或(3，1)或(2，3) m 19.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个 直角三角形，下列选项中正确的是( ) C A. B. C. D. 创新拓展题 (1)已知点A(2，4)，B(－3，－8)，试求A，B两点间的距离； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标． 【解】∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4， ∴点A的纵坐标为6或－2. (3)已知△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，1)，B(1，－1)，C(3，2)，你能判断△ABC的形状吗？说明理由． 课堂小结 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形. 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 【解】∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC＝＝＝5.∵AB＝13，BC＝12，∴AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝132＝169.∴AC2＋BC2＝AB2. 根据勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形． 【解】四边形ABCD的面积＝S△ABC－S△ACD＝×5×12－×3×4＝24. 16. △ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【点拨】由题意得解得∴a2＋b2＝c2，且a＝b.∴△ABC是等腰直角三角形，故选D. 【点拨】如图，连接AC3，BC3. ∵AC1＝BC2＝1，BC1＝AC2＝2，AB＝AC3＝ ＝，BC3＝＝， ∴AC12＋BC12＝12＋22＝5＝()2＝AB2，AC22＋BC22＝22＋12＝5＝()2＝AB2，AB2＋AC32＝()2＋()2＝10＝()2＝BC32.∴△ABC1，△ABC2，△ABC3都是直角三角形．∴点C的坐标可以是(1，0)或(3，1)或(2，3)． 18.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2－，c＝m2＋，m是大于1的奇数，则b＝________(用含m的式子表示)． 【点拨】∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a＝m2－， c＝m2＋，∴b2＝c2－a2＝－＝m4＋＋m2－＝m2.∵m是大于1的奇数，∴b＝m. 【解】AB＝＝13， 即A，B两点间的距离为13. 20.先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点间的距离P1P2＝.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2－x1|或|y2－y1|. 20.先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点间的距离P1P2＝.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2－x1|或|y2－y1|. 20.先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，这两点间的距离P1P2＝.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2－x1|或|y2－y1|. 【解】△ABC为等腰直角三角形．理由如下： ∵AB＝＝， AC＝＝， BC＝＝， ∴AB＝BC，且AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC为等腰直角三角形． $$