第18章18.3-18.4等边三角形与线段的垂直平分线【进阶优等生系列】2024-2025学年沪教版五四制数学七年级下册

【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 18.3-18.4等边三角形与线段的垂直平分线 目录 1、 【进门测试】共4题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共4例题； 4、 【拓展进阶】共6题； 5、 【温故知新】共17题:A组10题，B组7题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠BDC＝72°，则∠A的度数为 　36°　． 【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可推出∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，再根据三角形内角和定理可求得∠DBC的度数，最后根据三角形外角的性质不难求解． 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC， ∵∠DBC+∠ACB+∠BDC＝180°，∠BDC＝72°， ∴3∠DBC+72°＝180°， ∴∠DBC＝36°， ∴∠BAC＝72°﹣36°＝36°， 故答案为：36°． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质的综合运用． 2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD＝　3　cm． 【分析】根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BOC＝∠DCO，然后求出∠AOC＝∠DCO，再根据等角对等边的性质可得CD＝OD． 【解答】解：∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵CD∥OB， ∴∠BOC＝∠DCO， ∴∠AOC＝∠DCO， ∴CD＝OD＝3cm． 故答案为：3． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 3.如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝　120°　． 【分析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°，进而利用三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：∵E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形， ∴BD＝DE＝EC＝AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°． 故答案为：120°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与等腰三角形的性质等知识，得出∠B＝∠C的度数是解题关键． 4.小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是 　40°　． 【分析】过A点作AP∥m，如图，则n∥AP，根据平行线的性质得到∠PAE＝20°，再利用等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，所以∠BAP＝40°，然后根据平行线的性质得到∠ADF的度数． 【解答】解：过A点作AP∥m，如图， ∵m∥n， ∴n∥AP， ∴∠PAE＝∠AEG＝20°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BAP＝∠BAC﹣∠PAE＝60°﹣20°＝40°， ∵PA∥m， ∴∠ADF＝∠BAP＝40°． 故答案为40°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，作PA∥m是解决问题的关键．也考查了平行线的性质． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 二．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．等边三角形的性质 1．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP； ⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．（根据等边三角形的性质可证∠DCB＝60°，由三角形内角和外角定理可证∠DPC＞60°，所以DP≠DE） 【解答】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴AC＝BC，EC＝DC，∠BCE＝∠ACD＝120° ∴△ACD≌△ECB ∴AD＝BE，故本选项正确； ②∵△ACD≌△ECB ∴∠CBQ＝∠CAP， 又∵∠PCQ＝∠ACB＝60°，CB＝AC， ∴△BCQ≌△ACP， ∴CQ＝CP，又∠PCQ＝60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC＝60°＝∠ACB， ∴PQ∥AE，故本选项正确； ③∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝60°， ∴∠ACP＝∠BCQ， ∵AC＝BC，∠DAC＝∠QBC， ∴△ACP≌△BCQ（ASA）， ∴CP＝CQ，AP＝BQ，故本选项正确； ④已知△ABC、△DCE为正三角形， 故∠DCE＝∠BCA＝60°⇒∠DCB＝60°， 又因为∠DPC＝∠DAC+∠BCA，∠BCA＝60°⇒∠DPC＞60°， 故DP不等于DE，故本选项错误； ⑤∵△ABC、△DCE为正三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CAD＝∠CBE， ∴∠AOB＝∠CAD+∠CEB＝∠CBE+∠CEB， ∵∠ACB＝∠CBE+∠CEB＝60°， ∴∠AOB＝60°， 故本选项正确． 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用． 2．如图，在等边△ABC中，边AB＝6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒． （1）当t＝3时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由； （2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值； （3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【分析】（1）根据等边三角形的性质即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据等边三角形的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：（1）判断：AP⊥BC， 理由如下：如图1， ∵t＝3， ∴BP＝CP＝3， ∵AB＝AC， ∴AP⊥BC； （2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，点P为AB中点或点P为AC中点，则CB+CP＝9或CB+BA+CP＝15， ∴t＝9或t＝15， ∴当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，t的值为9或15； （3）当点P在边BC上，且点Q在边AC上时，CP＝t，CQ＝1.5t 则t+1.5t＝9， ∴t＝3.6， 当点P在边AB上，且点Q在边BC上时，BP＝t﹣6，BQ＝1.5t﹣12， 则t﹣6+1.5t﹣12＝9， ∴t＝10.8， 所以当t为3.6或10.8秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 二．等边三角形的判定 3.在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　等边三角形　． 【分析】可利用等腰三角形的判定，说明三角形的三条边都相等，亦可利用等腰三角形的性质，说明该三角形的三个角都相等． 【解答】解：（法一）在△ABC中，∵∠A＝∠C， ∴BA＝BC． 又∵AB＝AC， AB＝AC＝BC． 所以△ABC是等边三角形． 故答案为：等边三角形． （法二）在△ABC中，∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 又∵∠A＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C． 所以△ABC是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质和判定是解决本题的关键． 三．等边三角形的判定与性质 4.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点， （1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论． 【分析】（1）由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF＝DE＝EF，即△DEF是等边三角形； （2）先证明∠1+∠2＝120°，∠2+∠3＝120°．可得∠1＝∠3．同理∠3＝∠4．则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD＝BE＝CF． 【解答】解：（1）△DEF是等边三角形． 证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA， 又∵AD＝BE＝CF， ∴DB＝EC＝FA，（2分） ∴△ADF≌△BED≌△CFE，（3分） ∴DF＝DE＝EF，即△DEF是等边三角形；（4分） （2）AD＝BE＝CF成立． 证明如下： 如图，∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°， ∴∠1+∠2＝120°， 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠2+∠3＝120°， ∴∠1＝∠3，（6分） 同理∠3＝∠4， ∴△ADF≌△BED≌△CFE，（7分） ∴AD＝BE＝CF．（8分） 【点评】本题利用了等边三角形的三边都相等，三个内角相等都是60°，以及全等三角形的判定和性质． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 题型4：等腰三角形、等边三角形与全等三角形综合 1．[问题初探】 （1）如图1，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．则线段，，数量关系是______． 【类比分析】 （2）如图2，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．证明：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，则的面积为______． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质、定理是解题的关键． （1）在上截取，连接．先证可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （2）如图:在上截取，连接；先说明为等腰直角三角形可得，再证明可得，再说明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图：过A作于H，先说明，根据等角对等边可得；再证明可得，进而得到，，最后根据三角形面积公式即可解答． 【解析】解：（1）如图：在上截取，连接．     ， ， 又， ， ． ， , ． 故答案为：； （2）证明：如图:在上截取，连接，   为等边三角形， ，即为等腰直角三角形， ∴， ，，． 又， ， ． 是边上的中线， 平分， ， ∴是等边三角形， ． （3）如图：过A作于H   ， ， ， 于E, ， , ． 于， ， ， ， 又， ， ． ， 又， ， ． ， ， ． ． 2．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接． ①的度数为 __________； ②线段、之间的数量关系为 _________； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点、、在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，证明，进而得到，，即可得到的度数；由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，即可得到线段、、之间的数量关系； （3）证明，得到，推出，最后根据，即可求解． 【解析】解：（1）①和都是等边三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：； （2），理由如下： 和是等腰直角三角形，， ，，，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形，为中边上的高， ， ； （3）和都是等腰三角形，， ，，，， ，， 在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形，， ， ． 题型5：手拉手模型 3．如图，C为线段上一动点，（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若改变C的位置，其余条件都不变，点P恰好为的中点时，请问Q是否也为的中点，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)是，理由见详解 【分析】（1）因为正和正得到，，，运用角的和差，证明，即可作答． （2）结合（1）的结论，得，结合全等三角形的性质证明即可； （3）证明，结合（1）和（2）的结论，以及根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明即可． 【解析】（1）证明： 和是正三角形， ，，， ，， ， ， ； （2）解：∵ ∴ ，， ． ， ， 是等边三角形． （3）解：Q是的中点，理由如下 同理可证， 则 同理可证， 则 ，，， ； ∵点P恰好为的中点 ∴ 即Q是的中点． 题型6：垂线模型 4．直线l经过点A，在直线l上方，．    (1)如图1，，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．若，，则______； (2)如图2，D，A，E三点在直线l上，若（为任意锐角或钝角），猜想线段、、的数量关系是否仍然成立？若成立，写出证明过程； (3)如图3，，过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是延长线上的一个动点，连接，作，使得，连接，，直线l与交于点G．求证：G是的中点． 【答案】(1)5 (2)，证明过程详见解析 (3)证明过程详见解析 【分析】（1）由直角三角形的性质证出，可证明，即可得出线段之间的关系，从而得出答案； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （3）分别过点C、E作，，由（1）可知，，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出结论． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和 ， ∴（AAS） ∴，, ∴； （2）猜想：， 证明如下：∵， ∴， ， ∴， 在与中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∴； （3）证明：分别过点C、E作，，如图所示    由（1）可知，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∴G是的中点． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 题型7：面积问题 5．如图，在中，，过点A作于点D，E为边上一点，且，过点E作于点F．    (1)求证：； (2)连接，若G为线段的中点，连接． （i）试判断的形状，并说明理由； （ii）连接，记的面积分别为，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）是等腰直角三角形，理由见解析；（ii） 【分析】（1）根据垂直的定义得到，再根据同角的余角相等证明，由此即可证明； （2）（i）如图所示，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，再由三线合一定理得到，进而证明，可证明，得到，再证明，即可证明是等腰直角三角形； （ii）如图所示，延长交于H，过点B作于M，设，先得到，，证明，得到，则可得，；证明，得到，则；进一步证明是等腰直角三角形，得到，求出则． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：（i）是等腰直角三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵G为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰直角三角形；    （ii）如图所示，延长交于H，过点B作于M， 设， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型8：等腰三角形中的动点问题 6．如图，在等边中，，点分别从点同时出发，沿三角形的边运动，当点第一次返回到达点时，同时停止运动．已知点的速度是，点的速度是．设点的运动时间为． (1)当为何值时，两点重合？ (2)当为何值时，为等边三角形？ (3)当点在边上运动时，是否存在时间，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t的值为8时，两点重合 (2)点N运动后，为等边三角形 (3)存在， 【分析】（1）设点运动后，两点重合.由题意可得，解方程即可． （2）设运动时，为等边三角形，根据题意，得，结合等边，，得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，得即，解答即可． （3）当时，可证明，继而得到,设运动时，，故，解答即可．本题考查了等边的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等边三角形的坡度和性质是解题的关键. 【解析】（1）设点运动后，两点重合. 由题意得， 解得， 答：当t的值为时，两点重合. （2）设运动时，为等边三角形， 根据题意，得， ∵，， ∴， 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形， ∴即， 解得． （3）存在，当时，点在边上运动时，是以为底边的等腰三角形，理由如下： ∵等边三角形，， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴, 故是以为底边的等腰三角形， 设运动时，， 故， 解得， ∴当点在边上运动时，存在是以为底边的等腰三角形，此时点N运动的时间为 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 能力提升练 1．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（   ） A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．边长均为5厘米的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 【答案】C 【分析】综合运用判定方法判断．根据已知条件，结合全等的判定方法逐一验证． 【详解】解：A.两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形； B. 腰对应相等的两个等腰三角形，夹角不一定相等，所以不是全等形； C. 等边三角形的每个内角都等于60°，所以边长均为5厘米的两个等边三角形，各条边相等，各个角也相等，是全等三角形； D. 一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形． 故选C 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法；需注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，还要找准对应关系． 2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____ 【答案】60°或120° 【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时（如图1）， ∵， ∴，即顶角是60°； 当高在三角形外部时（如图2）， ∵， ∴， ∴，即顶角是120°． 故答案为：60或120． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题． 3．将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是_____（写出2个）． 【答案】，（或介于和之间的任意两个实数） 【分析】根据等边三角形的性质，最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径，根据等边三角形的性质求出高线，然后写出即可． 【详解】解：如图，EFBC时，EF为最短面径， 此时，（）2＝， 即＝， 解得：EF＝， 等边三角形的高AD是最长的面径， AD＝×2＝， 所以，它的面径长可以是，（或介于和之间的任意两个实数）． 故答案为：，（或介于和之间的任意两个实数）． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，解题的关键是读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径． 4.如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长等于___________cm． 【答案】25 【分析】分为腰和为腰，两种情况求解． 【详解】解：因为等腰三角形的两边长分别为和， 当腰长为时，三边长分别为， 因为， 所以三角形不存在； 当腰长为时，三边长分别为， 因为， 所以三角形存在； 所以三角形的周长为， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了等腰三角形周长的分类计算，正确进行分类和判定三角形的存在性是解题的关键． 5．在中，是顶角的平分线，，则_______°． 【答案】 【分析】根据是顶角的平分线可求出，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵是顶角的平分线，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 6．如图，在△ABC中，AD=CD，AM=CM，DMBC，试说明：△CMB是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得，再根据平行线的性质可得，，再根据等量代换可得，根据等角对等边可得，进而得到是等腰三角形． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合． 7．已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线． (1)如图1，求∠P的度数； (2)过点P作与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)35° (2)；理由见解析 【分析】（1）由角平分线、三角形的外角的性质，可知，，，根据三角形内角和定理可得，计算求解即可； （2）由题意，易证△PEB与△PFC是等腰三角形，进而可得到线段BE、EF、CF之间的数量关系． （1） 解：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为 （2） 解：BE＝EF+CF． 理由如下：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCD， ∵， ∴∠EPB＝∠PBD，∠EPC＝∠PCD， ∴∠ABP＝∠EPB，∠ACP＝∠EPC， ∴BE＝PE，CF＝PF， ∵PE＝EF+PF， ∴BE＝EF+CF． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 8．如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，试说明BC＝FC的理由． 解：因为AB＝AC，又∠1＝∠2 所以AD⊥BC（ ） 所以∠ADC＝90°（垂直的意义） 因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180° ∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（ ） 所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE 又∠2＝∠3（已知） 所以∠BEC＝∠ ＝90°（等式性质） 因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义） 所以∠FEC＝90°（等式性质） 所以∠BEC＝FEC（等量代换） 在△BEC与△FEC中， 所以△BEC≌△FEC（ ） 得BC＝FC（ ） 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，利用各角之间的等量代换得出∠BEC＝∠ADC＝90°，然后利用全等三角形的判定和性质即可证明结果． 【详解】解：因为AB＝AC，又∠1＝∠2 所以AD⊥BC（等腰三角形三线合一的性质） 所以∠ADC＝90°（垂直的意义） 因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180° ∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（三角形内角和定理） 所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE 又∠2＝∠3（已知） 所以∠BEC＝∠ADC＝90°（等式性质） 因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义） 所以∠FEC＝90°（等式性质） 所以∠BEC＝∠FEC（等量代换） 在△BEC与△FEC中， 所以△BEC≌△FEC（SAS） 得BC＝FC（全等三角形的对应边相等） 故答案为：等腰三角形三线合一的性质；三角形内角和定理；ADC；SAS；全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 9．如图，是等题三角形，，过点B作，垂足为E，在线段上截取，的延长线交于点P，连接． (1)请说明的理由． (2)请说明的理由． 【答案】(1)理由见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）由题意知，，可得，证明 ，进而可证； （2）由可知．由，可知是等腰三角形，进而可证． (1) 解：理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． (2) 解：理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 10．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点． （1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论． 【答案】（1）△DEF是等边三角形，证明见解析；（2）AD＝BE＝CF成立，证明见解析． 【分析】（1）由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF＝DE＝EF，即△DEF是等边三角形； （2）先证明∠1＋∠2＝120°，∠2＋∠3＝120°．可得∠1＝∠3，同理∠3＝∠4.则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD＝BE＝CF． 【详解】解：（1）△DEF是等边三角形．证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA． 又∵AD＝BE＝CF， ∴DB＝EC＝FA． ∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴DF＝ED＝FE． ∴△DEF是等边三角形． （2）AD＝BE＝CF成立．证明如下：如图， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°． ∴∠1＋∠2＝120°． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠2＋∠3＝120°， ∴∠1＝∠3. 同理∠3＝∠4， ∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS）， ∴AD＝BE＝CF． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 题组B 进阶培优练 1．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若△ABC是优三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．则这个三角形的面积是 　或　． 【分析】根据题意画出图形，作AH⊥CB交CB的延长线于H．分两种情形：若AB＜BC，则AB+AC＝2BC＝8．若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，分别利用参数构建方程求解即可． 【解答】解：作AH⊥CB交CB的延长线于H． 若AB＜BC，则AB+AC＝2BC＝8，设BH＝x， 在Rt△ABH中，∠H＝90°，∠ABH＝180°﹣120°＝60°， ∴AB＝2x，AH＝BH＝x， ∴AC＝8﹣2x， 在Rt△ACH中，则有（x）2+（x+4）2＝（8﹣2x）2， 解得x＝， ∴AH＝， ∴S△ABC＝•BC•AH＝×4×＝， 若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，设BH＝x，则AB＝2x，AH＝x，AC＝4x﹣4， 在Rt△ACH中，则有（x）2+（x+4）2＝（4x﹣4）2， 解得x＝或x＝0（舍去）， ∴S△ABC＝•BC•AH＝×4×＝， 故答案为：或． 【点评】本题考查了”优三角形”以及”优比”的定义，三角形的三边关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建不等式或方程解决问题． 2．如图，在等腰直角中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接．    (1)求证：； (2)当点落在上，试判断的形状，并说明理由； (3)当点在内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形；证明见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得出，，，，由等腰三角形的性质可得出答案； （2）当点落在上，可得，同理可得：，由（1）得：，，证明，可得，可得，从而可得结论； （3）如图，过作，交于，连接，证明，可得，，吗，与，可得，，可得，从而可得答案． 【解析】（1）证明：如图，    绕点 B顺时针旋转 得到， ，， ， ， ， 将绕点 D逆时针旋转 得到， ，， ，， ； （2）∵，，当点落在上， ∴， 同理可得：， 如图，    由（1）得：， ， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）如图，过作，交于，连接，    则，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．将两个等腰直角与如图放置，． (1)如图1，若点、、三点共线时，交线段于点，点是线段的点，满足，，求的度数； (2)当绕着点顺时针旋转至如图时，分别连接，，若点是线段的中点，连接，求证：； (3)当绕着点顺时针旋转至如图时，分别连接，，若点是线段的中点，，，，四边形面积为时，直接写出点到的距离． 【答案】(1)的度数是 (2)证明见解析 (3)点到的距离是 【分析】（1）由，，，得，由，得，则，所以． （2）延长到点，使，连接，可证明，得，，所以，，可证明，进而证明，得，因为，所以． （3）延长到点，使，连接，则，而，所以，可证明，作交的延长线于点，可求得，，，进而建立方程，求得，即可求解． 【解析】（1）解：如图1，∵，，， ， 点、、三点共线， ， ，， ， ， ， 的度数是． （2）证明：如图2，延长到点，使，连接， 点是线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：点到的距离是， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， 点是线段的中点， ， ， ， ， 由（）得， ， ， 作交的延长线于点， ，，，，， ， ，， ， ， 解得， 点到的距离是． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．在中，点E在边上，将沿翻折，使点A落在处，且，连接交于点F． (1)若，．（） ①如图1，当时，________，线段与边的数量关系是________； ②如图2，当为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由． (2)如图3，若，，猜想的度数及线段与边的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)①，；②成立，理由见解析； (2)，． 【分析】（1）①根据，，得到，结合折叠的性质，得到，继而得到，利用勾股定理证明线段的关系即可． ②当为任意角度数时，上面的度数不会发生改变，故结论不变，仿照上面的思路证明即可． （2）延长到点M，根据，得到，仿照（1）证明即可． 【解析】（1）①∵，， ∴， 根据折叠的性质，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． ②当为任意角度数时，上面的度数不会发生改变，故结论不变．理由如下： ∵，， ∴， 根据折叠的性质，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故当为任意角度数时，上面的度数不会发生改变，故结论不变． （2）如图，延长到点M，∵， ∴， ∵，， ∴，， 根据折叠的性质，得到， ∴， ∴， ∴． 5．已知等腰和等腰中，，． (1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______； ②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______； (2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由； (3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明． 【答案】(1)①10；②或 (2)的度数不变，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】 （1）①连接，由，得，则线段的最大值为10，于是得到问题的答案；②分两种情况讨论，一是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，由，，，得，，可证明，得，所以，则，即可求得；二是、、三点共线，且点在线段上，设交于点，则，，可证明，得，于是得到问题的答案； （2）由，得，，则，所以的度数不变． （3）在线段上截取，连接，可证明是等边三角形，得，，由，得，则，再证明垂直平分，则，所以是等边三角形，则，，可推导出，即可证明，得，所以． 【解析】（1）解：①如图（1），连接， ，， ， ， ， 线段的最大值为10， 故答案为：10． ②如图（1）①，、、三点共线，且点在线段上，设交于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ； 如图（1）②，、、三点共线，且点在线段上，设交于点， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：或． （2）的度数不变， 理由：，，，且与重合， ， ，， ， ， 的度数不变． （3）， 证明：如图（3），在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， 点、点都在的垂直平分线上， 垂直平分， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 6．在锐角中，，点D，E分别是边上一点，的相交于点F． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，若，且，，证明：； (3)如图3，，，，且，线段与相交，点N是的中点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)60° (2)见详解 (3)4 【分析】（1）先根据角平分线的定义，得出再结合三角形内角和，得出，因为邻补角性质，列式计算即可作答． （2）如图，延长至点，使得，证明，推出，，再根据邻补角定义、四边形内角和定理推出，根据等腰三角形的判定定理及等量代换可得结论； （3）首先证明，如图，延长到，使得，连接，连接，，证明，推出，延长到，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论． 【解析】（1）解：∵ ∴ ∵平分，平分， ∴ ∵ ∴； （2）解：解：如图，延长至点，使得， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3）证明：延长到Q，使得，连接， ，， ∴是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ∴， ， ∴ ∴ 延长到，使得，则是等边三角形，连接， ∵， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴ 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题． 7．如图，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于，连接交于，连接． (1)求证：； (2)求证：． (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】（1）欲证明，只要证明即可． （2）欲证明，只要证明即可． （3）根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可判断． 【解析】（1）证明：和是等边三角形， ，，，， ， ，， 在与中， ， ， ． （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）得，， ， ，而、、三点共线， ， 在与中， ， ， ． （3）解：，， 为等边三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 18.3-18.4等边三角形与线段的垂直平分线 目录 1、 【进门测试】共4题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共4例题； 4、 【拓展进阶】共6题； 5、 【温故知新】共17题:A组10题，B组7题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一条角平分线，若∠BDC＝72°，则∠A的度数为 　 　． 2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD＝　　cm． 3.如图，在△ABC中D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，则∠BAC＝　　． 4.小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是 　　． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 二．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．等边三角形的性质 1.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP； ⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.如图，在等边△ABC中，边AB＝6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒． （1）当t＝3时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由； （2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值； （3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 二．等边三角形的判定 3.在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　 　． 三．等边三角形的判定与性质 4.如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点， （1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 题型4：等腰三角形、等边三角形与全等三角形综合 1．[问题初探】 （1）如图1，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．则线段，，数量关系是______． 【类比分析】 （2）如图2，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交与点F．证明：． 【学以致用】 （3）如图3，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，则的面积为______． 2．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接． ①的度数为 __________； ②线段、之间的数量关系为 _________； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点、、在同一条直线上，请直接写出的度数． 题型5：手拉手模型 3．如图，C为线段上一动点，（不与点A、E重合），在同侧分别作正和正与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)若改变C的位置，其余条件都不变，点P恰好为的中点时，请问Q是否也为的中点，并说明理由． 题型6：垂线模型 4．直线l经过点A，在直线l上方，．    (1)如图1，，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．若，，则______； (2)如图2，D，A，E三点在直线l上，若（为任意锐角或钝角），猜想线段、、的数量关系是否仍然成立？若成立，写出证明过程； (3)如图3，，过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是延长线上的一个动点，连接，作，使得，连接，，直线l与交于点G．求证：G是的中点． 题型7：面积问题 5．如图，在中，，过点A作于点D，E为边上一点，且，过点E作于点F．   (1)求证：； (2)连接，若G为线段的中点，连接． （i）试判断的形状，并说明理由； （ii）连接，记的面积分别为，若，求的值． 题型8：等腰三角形中的动点问题 6．如图，在等边中，，点分别从点同时出发，沿三角形的边运动，当点第一次返回到达点时，同时停止运动．已知点的速度是，点的速度是．设点的运动时间为． (1)当为何值时，两点重合？ (2)当为何值时，为等边三角形？ (3)当点在边上运动时，是否存在时间，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 能力提升练 1．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（   ） A．含角的两个直角三角形 B．腰对应相等的两个等腰三角形 C．边长均为5厘米的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形 2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为____ 3．将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是_____（写出2个）． 4．如果等腰三角形的两边长分别为和，那么它的周长等于___________cm． 5．在中，是顶角的平分线，，则_______°． 6．如图，在△ABC中，AD=CD，AM=CM，DMBC，试说明：△CMB是等腰三角形． 7．已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线． (1)如图1，求∠P的度数； (2)过点P作与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由． 8．如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，试说明BC＝FC的理由． 解：因为AB＝AC，又∠1＝∠2 所以AD⊥BC（ ） 所以∠ADC＝90°（垂直的意义） 因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180° ∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（ ） 所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE 又∠2＝∠3（已知） 所以∠BEC＝∠ ＝90°（等式性质） 因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义） 所以∠FEC＝90°（等式性质） 所以∠BEC＝FEC（等量代换） 在△BEC与△FEC中，所以△BEC≌△FEC（ ） 得BC＝FC（ ） 9．如图，是等题三角形，，过点B作，垂足为E，在线段上截取，的延长线交于点P，连接． (1)请说明的理由．(2)请说明的理由． 10．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点． （1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论． 题组B 进阶培优练 1．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若△ABC是优三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．则这个三角形的面积是 　　． 2．如图，在等腰直角中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接．   (1)求证：； (2)当点落在上，试判断的形状，并说明理由； (3)当点在内部时，若点为的中点，且，求的长． 3．将两个等腰直角与如图放置，． (1)如图1，若点、、三点共线时，交线段于点，点是线段的点，满足，，求的度数； (2)当绕着点顺时针旋转至如图时，分别连接，，若点是线段的中点，连接，求证：； (3)当绕着点顺时针旋转至如图时，分别连接，，若点是线段的中点，，，，四边形面积为时，直接写出点到的距离． 4．在中，点E在边上，将沿翻折，使点A落在处，且，连接交于点F． (1)若，．（） ①如图1，当时，________，线段与边的数量关系是________； ②如图2，当为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由． (2)如图3，若，，猜想的度数及线段与边的数量关系，直接写出结果． 5．已知等腰和等腰中，，． (1)如图（1），①若，，在等腰可绕点A旋转过程中，线段的最大值为______； ②若，当B、D、E三点共线时，则的度数为______； (2)如图（2），若，且C与D重合，．当的大小在范围内之间任意改变，的度数是否随之改变？请说明理由； (3)在（2）的条件下，F是延长线上一点，且，连接，如图3，试探究之间的关系，并证明． 6．在锐角中，，点D，E分别是边上一点，的相交于点F． (1)如图1，若平分，平分，求的度数； (2)如图2，若，且，，证明：； (3)如图3，，，，且，线段与相交，点N是的中点，连接，若，，求的长． 7．如图，点是线段上除点、外的任意一点，分别以、为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于，连接交于，连接． (1)求证：； (2)求证：． (3)判断的形状，并说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$