18.1-18.2等腰三角形的性质与判定讲义 2024 -2025学年 沪教版(五四制)七年级数学下册【进阶优等生系列】

【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 18.1-18.2等腰三角形的性质与判定 目录 1、 【进门测试】共4题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共12例题； 4、 【拓展进阶】共5题； 5、 【温故知新】共11题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（　　） A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高 C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线 2．如图，已知∠A＝13°，AB＝BC＝CD，那么∠BCD＝　　度． 3．如图，已知在三角形ABC中，AC＝AB，过点C作AB的平行线DE，证明：BC平分∠ACE． 4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，若△ABC的面积为27，问：PD+PE的值是 　　． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 二．等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．等腰三角形的性质 1．如图，G是直线HA上的点，若HA∥BF，FH＝FG，∠HFG＝46°，则∠HFB＝　　度． 2．若△ABC中，AB＝AC，且三角形的周长为20，那么底边BC的取值范围是 　　． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为　 　． 4．等腰三角形的对称轴是　 　． 5．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为14cm和21cm两部分，这个等腰三角形底边的长为 　　 ． 二．等腰三角形的判定 6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 三．等腰三角形的判定与性质 7．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是 ①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 8．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于D，DE∥BC，且DE＝6cm，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 　　cm． 9． 如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于　　． 10．（2021春•普陀区校级期中）如图，△ABC中，DE∥AC，EF∥AB，∠BED＝∠CEF， （1）试说明△ABC是等腰三角形，（2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系． 11．如图，在△ABE中，∠EAC＝∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由． 解：结论：　 　． 因为AD平分∠BAC（已知）， 所以　 　（角的平分线的意义）． 因为∠B＝∠EAC，（已知）， 所以 　＝∠2+∠EAC．（等式性质） 而∠EDA＝　 　+　 　（　 　　 ）， ∠EAD＝∠2+∠EAC， 所以∠EDA＝∠EAD（等量代换）． 所以　　 　（　　 　）． 又因为AF＝DF（线段中点的意义） 所以　　 　（　　 　）． 12．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE． 求证：AC﹣AB＝2BE． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 题型1：旋转问题 1．如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，满足，与交于点F． (1)求的度数； (2)以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形；②若，求k的值． 2．已知等腰中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于，连接． (1)如图1，当时，连接，判断的形状为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 题型2：翻折问题 3．如图①，在中，延长AC到D，使，E是AD上方一点，且，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； (3)在如图②，若，，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，若，，求线段的长度． 4．贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究： 在中，已知，． (1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小； (2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由． (3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______． 题型3：等腰三角形与平行线的判定和性质 5．已知，点P是平面内一点，过点P作射线、，与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数； (2)如图2，若点P为直线、之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，设．当时，请直接用含的代数式表示． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．等腰三角形的两边长分别为5cm和9cm，则该等腰三角形的周长为 　　 cm． 2．已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为　 　． 3．若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为 　　． 4．已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，BD＝3cm，那么BC＝　　cm． 5．下列判断错误的是（　　） A．等腰三角形是轴对称图形 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，已知△ADC的面积为4，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为　　． 8．如图，已知直线l1∥l2，等边三角形ABC的顶点A、C分别在直线l1、l2上，如果边AB与直线l1的夹角∠1＝26°，那么边BC与直线l2的夹角∠2＝　　度． 9．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为　 　． 10．用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 　　cm． 11．如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长＝　　． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 18.1-18.2等腰三角形的性质与判定 目录 1、 【进门测试】共4题； 2、 【知识精讲】共2个知识点； 3、 【典例解析】共12例题； 4、 【拓展进阶】共5题； 5、 【温故知新】共11题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．性质“等腰三角形的三线合一”，其中所指的“线”之一是（　　） A．等腰三角形底角的平分线 B．等腰三角形腰上的高 C．等腰三角形腰上的中线 D．等腰三角形顶角的平分线 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，逐个选项进行分析即可得出结果． 【解答】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合， 只有选项D符合条件， 故选：D． 【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是正确解答本题的关键，比较简单． 2．如图，已知∠A＝13°，AB＝BC＝CD，那么∠BCD＝　128　度． 【分析】由AB＝BC可知∠BCA＝∠A＝13°，由三角形外角性质得∠CBD＝∠A+∠BCD＝26°，再由BC＝CD可知，△BCD为等腰三角形，由内角和定理求∠BCD． 【解答】解：∵AB＝BC， ∴∠BCA＝∠A＝13°， ∴∠CBD＝∠A+∠BCD＝26°， 又∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠D＝26°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠D＝128°． 故答案为：128． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质．关键是根据“等边对等角”，外角性质，内角和定理求解． 3．如图，已知在三角形ABC中，AC＝AB，过点C作AB的平行线DE，证明：BC平分∠ACE． 【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【解答】证明：∵AC＝AB， ∴∠B＝∠ACB， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠BCE， ∴∠ACB＝∠BCE， ∴BC平分∠ACE． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，若△ABC的面积为27，问：PD+PE的值是 　9　． 【分析】可连接AP，由图得，SABC＝SABP+SACP，代入数值，解答出即可． 【解答】解：连接AP， 由图可得，SABC＝SABP+SACP， ∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，AB＝AC＝6，△ABC的面积为6， ∴27＝×6×PD+×6×PE， ＝3（PD+PE）， ∴PD+PE＝9； 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 二．等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 三．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．等腰三角形的性质 1．如图，G是直线HA上的点，若HA∥BF，FH＝FG，∠HFG＝46°，则∠HFB＝　113　度． 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠H，再根据平行线的性质即可求出∠HFB． 【解答】解：∵FH＝FG，∠HFG＝46°， ∴∠H＝∠FGH＝（180°﹣∠HFG）＝67°， ∵HA∥BF， ∴∠HFB＝180°﹣∠H＝113°． 故答案为：113． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理已经平行线的性质．掌握各定理是解题的关键． 2．若△ABC中，AB＝AC，且三角形的周长为20，那么底边BC的取值范围是 　0＜x＜10　． 【分析】设BC＝x，根据等腰三角形以及三角形的周长可知AB＝AC＝，根据等腰三角形各边长为正数且三角形的三边关系，即可求出BC的取值范围． 【解答】解：设BC＝x， ∵AB＝AC，且三角形的周长为20， ∴AB＝AC＝， ∵x＞0，＞0且20﹣x＞x， 解得0＜x＜10， 故答案为：0＜x＜10． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为　50°或130°　． 【分析】等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，另外两种情况可以根据垂直的性质及外角的性质求出顶角的度数． 【解答】解：①当为锐角三角形时，如图， 高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°； ②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面， 因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°， 所以三角形的顶角为130°． 故答案为50°或130°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 4．等腰三角形的对称轴是　底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线　． 【分析】本题根据等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是底边上的高所在的直线，因为等腰三角形底边上的高，顶角平分线，底边上的中线三线合一，所以等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线． 【解答】解：根据等腰三角形的性质，等腰三角形的对称轴是底边上的高（顶角平分线或底边的中线）所在的直线． 故填底边上的高（顶角平分线或底边的中线）． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质及轴对称图形的知识；对两个性质的熟练掌握是正确解答本题的关键． 5．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为14cm和21cm两部分，这个等腰三角形底边的长为 　cm或7cm　． 【分析】根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论． 【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm．根据题意，得： 或， 解得：或． 根据三角形的三边关系，两组值都能组成三角形． 故答案为：cm或7cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分两种情况考虑．最后一定要注意检查是否符合三角形的三边关系．分类讨论是解题的关键． 二．等腰三角形的判定 6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（　　）个． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°， ∴∠A＝54°， ∵BC＝BD， ∴∠CDB＝∠DCB＝72°， ∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°， ∴CE＝BE，AE＝CE， ∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形， 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型． 三．等腰三角形的判定与性质 7．如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是 ①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD＝CE．（　　） A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④ 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB， ∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC＝∠DFB，∠FCE＝∠FCB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝EC，即有DE＝DF+FE＝DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE＝AD+AE+DB+EC＝AB+AC． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键． 8．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于D，DE∥BC，且DE＝6cm，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 　12　cm． 【分析】根据角平分线的性质得∠BCD＝∠ACD，由平行线的性质得∠BCD＝∠EDC，最后根据等腰三角形的判定与性质可得答案． 【解答】解：∵∠ACB的平分线CD交AB于D， ∴∠BCD＝∠ACD， ∵DE∥BC， ∴∠BCD＝∠EDC， ∴∠ACD＝∠EDC， ∴DE＝CE＝6cm， ∵E是AC中点， ∴AC＝2CE＝12cm． 故答案为：12． 【点评】此题考查的是等腰三角形的判定与性质，掌握其性质是解决此题的关键． 9．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于　10　． 【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案． 【解答】解：∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠CBF＝∠DFB， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴BD＝DF， 同理FE＝EC， ∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键． 10．如图，△ABC中，DE∥AC，EF∥AB，∠BED＝∠CEF， （1）试说明△ABC是等腰三角形， （2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠EAD＝∠F，∠BAF＝∠E，进而再通过角之间的转化得出结论； （2）由平行线的性质可得∠EAD＝∠F，∠BAF＝∠E，由于∠BED＝∠CEF，得到∠C＝∠CEF＝∠BED＝∠B，于是得到EF＝CF，DE＝DB，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵DE∥AC ∴∠BED＝∠C， ∵EF∥AB， ∴∠CEF＝∠B， ∵∠BED＝∠CEF， ∴∠B＝∠C， ∴△ABC是等腰三角形； （2）AB+AC＝四边形ADEF的周长， 理由：∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠C， ∵EF∥AB， ∴∠CEF＝∠B， ∵∠BED＝∠CEF， ∴∠C＝∠CEF＝∠BED＝∠B， ∴EF＝CF，DE＝DB， ∴AC+AB＝CF+AF+AD+BD＝EF+AF+AD+DE＝四边形EFAD的周长． 【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 11．如图，在△ABE中，∠EAC＝∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由． 解：结论：　∠AEF＝∠DEF　． 因为AD平分∠BAC（已知）， 所以　∠1＝∠2　（角的平分线的意义）． 因为∠B＝∠EAC，（已知）， 所以　∠1+∠B　＝∠2+∠EAC．（等式性质） 而∠EDA＝　∠1　+　∠B　（　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和　）， ∠EAD＝∠2+∠EAC， 所以∠EDA＝∠EAD（等量代换）． 所以　EA＝ED　（　等角对等边　）． 又因为AF＝DF（线段中点的意义） 所以　∠AEF＝∠DEF　（　等腰三角形的三线合一　）． 【分析】直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案． 【解答】解：结论：∠AEF＝∠DEF． 因为AD平分∠BAC（已知）， 所以∠1＝∠2（角的平分线的意义）． 因为∠B＝∠EAC，（已知）， 所以∠1+∠B＝∠2+∠EAC．（等式性质） 而∠EDA＝∠1+∠B（ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）， ∠EAD＝∠2+∠EAC， 所以∠EDA＝∠EAD（等量代换）． 所以 EA＝ED（ 等角对等边）． 又因为AF＝DF（线段中点的意义） 所以∠AEF＝∠DEF（ 等腰三角形的三线合一）． 故答案为：∠AEF＝∠DEF，∠1＝∠2，∠1+∠B，∠1，∠B，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，EA＝ED， 等角对等边，∠AEF＝∠DEF，等腰三角形的三线合一． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出EA＝ED是解题关键． 12．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE． 求证：AC﹣AB＝2BE． 【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM． 再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证． 【解答】证明：延长BE交AC于M ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEM＝90° 在△ABE中， ∵∠1+∠3+∠AEB＝180°， ∴∠3＝90°﹣∠1 同理，∠4＝90°﹣∠2 ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∴AB＝AM ∵BE⊥AE， ∴BM＝2BE， ∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM， ∵∠4是△BCM的外角 ∴∠4＝∠5+∠C ∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5 ∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C ∴∠5＝∠C ∴CM＝BM ∴AC﹣AB＝BM＝2BE 【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 题型1：旋转问题 1．如图，是等边三角形，D，E两点分别在边，满足，与交于点F． (1)求的度数； (2)以C为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形； ②若，求k的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②k的值为2 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结果； （2）①根据题意画出图形即可；②首先先作辅助线，得到，然后再作辅助线得到，证明出来，再作出辅助线得到，最后推出是等边三角形，即可得到结果． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：①依题意补全图形如图1所示； ， ②如图2中，由（1）知， ∴， ∴， ∴， 如图2中，延长到Q，使得，连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长到P，使得，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的综合题，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确找到全等三角形． 2．已知等腰中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作于，连接． (1)如图1，当时，连接，判断的形状为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)当时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，直接用等式表示线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3)或 【分析】（1）根据旋转的性质得到的度数，和，结合的度数，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解， （2）在和中，根据三角形内角和是，得到，进而确定是等腰直角三角形，由，得到，即可求解， （3）当时，作，通过证明等腰直角三角形，得到，通过证明，得到，即可求解，当时，过点作，通过证明是等腰直角三角形，得到，由，得到，由是等腰直角三角形，得到，，由，得到，即可求解； 本题考查了等边三角形的判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，梯形的中位线，解题的关键是：通过几何变换，将所求线段拼接成一条线段． 【解析】（1）解：由旋转可知，，， 是等腰三角形， 又， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形， （2）解：连接， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：， （3）当时，连接，过点作，交于点，连接， ，， ， ， 等腰直角三角形， ，， ，， 是正方形， ，， ，即：， ， ， ， 当时，连接，过点作，交延长线于点，连接， ，， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， 是正方形， ，， ，即：， ， ， ， 故答案为：或． 题型2：翻折问题 3．如图①，在中，延长AC到D，使，E是AD上方一点，且，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点； (3)在如图②，若，，将沿直线翻折得到，连接交于F，交于G，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得，即可证明结论； （2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点； （3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得． 【解析】（1）证明：，，， ， 在与中， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）证明：，，， ， 在与中， ， ， ， ∴， 如图，连接， 将沿直线翻折得到， ， ， ，即． 由三线合一，得：F是的中点； （3）解：如图，连，延长交于M， 根据折叠的性质，则， ，， ， ∵， ∴， 在与中， ， ， 由（2）知，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键． 4．贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究： 在中，已知，． (1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小； (2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由． (3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 或 或 【分析】（），求出，根据折叠得出，求出，最后由平角的定义即可求解； （）根据折叠得出， ，，求出，根据得出即可； （）分情况讨论：当点在线段上，当点在线段延长线上时，当点在线段延长线上，分别画出图形求出结果即可； 本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 【解析】（1）∵将沿着进行翻折后得到，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ，理由如下： ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴， 即； （3）将沿进行翻折后得到连接，根据折叠可知，，， ∴，，     若中存在的内角时，分以下几种情况讨论： 当点在线段上，时，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在线段上，时，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在线段延长线上时，如图所示： ∵， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴， ∴此时中的角不存在的角； 当点在线段延长线上，时，如图所示： 根据折叠可知，， ∴ ∴， 当点在线段延长线上，时，如图所示， ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∴； 综上分析可知，的值为或 或 或 ． 故答案为：或 或 或 ． 题型3：等腰三角形与平行线的判定和性质 5．已知，点P是平面内一点，过点P作射线、，与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数； (2)如图2，若点P为直线、之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明：； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，连接并延长交的角平分线于点Q，射线交于点G，设．当时，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或 【分析】(1)根据两直线平行，同位角相等证明即可． (2)延长交于点Q，根据平行线的性质，三角形外角性质，平角的定义计算即可． (3)分点P在H的左侧和右侧，利用平行线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质计算即可． 【解析】（1）如图，∵，， ∴ ∵， ∴． （2）如图2，延长交于点Q， ∵， ∴，， ∵和的角平分线交于点F． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ． （3）当点P在点H的左侧时，． 根据题意，得, ∵平分, ∴， ∵, ∴， ∴， , ∵， ∴， ∴； 当点P在点H的右侧时， 根据题意，得, ∴， ∵平分, ∴， ∵, ∴， ∴， , ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的平分线，等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质是解题的关键． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．等腰三角形的两边长分别为5cm和9cm，则该等腰三角形的周长为 　19或23　cm． 【分析】等腰三角形两边的长为5cm和9cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【解答】解：当腰为9cm时，则三角形的三边长分别为9cm、9cm、5cm，满足三角形的三边关系，周长为23cm； 当腰为5cm时，则三角形的三边长分别为5cm、5cm、9cm，满足三角形的三边关系，周长为19cm； 综上可知，等腰三角形的周长为19cm或23cm． 故答案为：19或23． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调． 2．已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为25°，则该等腰三角形的顶角为　65°或115°　． 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数． 【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝25°， ∴∠A＝65°， 即顶角的度数为65°． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝25°， ∴∠BAD＝65°， ∴∠BAC＝115°． 故答案为65°或115°． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算． 3．若等腰三角形的边长分别为3和6，则它的周长为 　15　． 【分析】因为3和6不知道那个是底那个是腰，所以要分不同的情况讨论，当3是腰时，当6是腰时等． 【解答】解：当3是腰时，边长为3，3，6，但3+3＝6，故不能构成三角形，这种情况不可以． 当6是腰时，边长为6，6，3，且3+6＞6，能构成三角形故周长为6+6+3＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两边相等，以及三角形的三边关系，两个小边的和必须大于大边才能组成三角形． 4．已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，BD＝3cm，那么BC＝　6　cm． 【分析】根据等腰三角形性质即可得到答案． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高， ∴BC＝2BD＝2×3＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查等腰三角形性质：等腰三角形底边上三线合一． 5．下列判断错误的是（　　） A．等腰三角形是轴对称图形 B．有两条边相等的三角形是等腰三角形 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合 【分析】根据如果一个图形，沿着一条直线对折，两边的图形能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形和等腰三角形的判定与性质分别对每一项进行分析即可． 【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，正确； B、两条边相等的三角形叫做等腰三角形，正确； C、等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，正确； D、等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线、底边上的高线互相重合，故本选项错误； 故选：D． 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，用到的知识点是轴对称图形、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握有关性质与定义是本题的关键． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是△ABC的角平分线，则图中的等腰三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由BD是△ABC的角平分线，可得∠ABC＝2∠ABD＝72°，又可求∠ABC＝∠C＝72°，所以△ABC是等腰三角形；又∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°，故∠A＝∠ABD，所以△ABD是等腰三角形；由∠DBC＝∠ABD＝36°，得∠C＝72°，可求∠BDC＝72°，故∠BDC＝∠C，所以△BDC是等腰三角形． 【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD＝72°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∴△ABC是等腰三角形…①． ∠A＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2×72°＝36°， ∴∠A＝∠ABD， ∴△ABD是等腰三角形…②． ∵∠DBC＝∠ABD＝36°，∠C＝72°， ∴∠BDC＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴△BDC是等腰三角形…③． 故图中的等腰三角形有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键． 7．如图，已知△ADC的面积为4，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，那么△ABC的面积为　8　． 【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ABC＝2S△ADC． 【解答】解：如图，延长BD交AC于点E， ∵AD平分∠BAE，AD⊥BD， ∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE， 在△ABD和△AED中， ， ∴△ABD≌△AED（ASA）， ∴BD＝DE， ∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE， ∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC， ∴S△ABC＝2S△ADC＝2×4＝8， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解题的关键． 8．如图，已知直线l1∥l2，等边三角形ABC的顶点A、C分别在直线l1、l2上，如果边AB与直线l1的夹角∠1＝26°，那么边BC与直线l2的夹角∠2＝　34　度． 【分析】由等边三角形的性质得∠BAC＝∠BCA＝60°，再由平行线的性质得∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°，则∠1+∠2＝60°，即可求解． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠BCA＝60°， ∵直线l1∥l2， ∴∠1+∠BAC+∠BCA+∠2＝180°， ∴∠1+∠2＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵∠1＝26°， ∴∠2＝60°﹣26°＝34°， 故答案为：34． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和平行线的性质，证出∠1+∠2＝60°是解题的关键． 9．如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为　60°　． 【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝60°，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE＝∠AFD＝90°，根据三角形外角的性质求出∠AED的度数，由四边形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°． ∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠BDE＝∠AFD＝90°． ∵∠AED是△BDE的外角， ∴∠AED＝∠B+∠BDE＝60°+90°＝150°， ∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝360°﹣60°﹣150°﹣90°＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查的是等边三角形，三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 10．用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 　4　cm． 【分析】等边三角形的三条边相等，用12除以3就得这个三角形的边长，由此可得答案． 【解答】解：12÷3＝4（cm）． 答：这个等边三角形的边长为4cm． 故答案为：4． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，掌握其性质是解决此题关键． 11．如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长＝　5　． 【分析】在等腰三角形中，2个底角是相等的，这里用180°减去60°就是两个底角的和，再除以2就是等腰三角形的底角的度数，进而判断出三角形为等边三角形，即可求得腰长 【解答】解∵等腰三角形的顶角为60°， ∴底角＝＝60°， ∴三角形为等边三角形， ∴腰长＝底边长＝5， 所以它的腰长为5， 故答案为5． 【点评】本题考查了三角形的内角和是180°和等腰三角形2个底角是相等的，运用内角和求角． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$