17.1-17.2三角形的有关概念与性质 讲义2024-2025学年沪教版（五四制） 七年级数学下册进阶优等生系列

【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 17.1-17.2三角形的有关概念与性质 目录 1、 【进门测试】共10题； 2、 【知识精讲】共7个知识点； 3、 【典例解析】共19例题； 4、 【拓展进阶】共19题； 5、 【温故知新】共15题:A组10题，B组5题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．如果三角形各边都扩大4倍，那么下列结论正确的是（　　） A．周长扩大4倍，面积扩大2倍 B．周长扩大2倍，面积扩大4倍 C．周长扩大4倍，面积扩大4倍 D．周长扩大4倍，面积扩大16倍 【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出结果． 【解答】解：根据相似三角形的周长之比等于相似比，所以当三角形各边都扩大4倍后，周长也扩大到原来的4倍； 根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，所以当三角形各边都扩大4倍后，面积扩大到原来的16倍； 故D正确，故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质． 2．如果一个三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．10 B．13 C．14 D．15 【分析】根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，得到三角形的周长的范围，判断即可． 【解答】解：∵三角形的两边长为2和5， ∴第三边x的长度范围是5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7， ∴这个三角形的周长a范围是2+5+3＜a＜5+2+7，即10＜a＜14，故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 3．若一个三角形的两个内角的度数分别为60°，50°，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【分析】根据三角形内角和等于180°求出第三个角的度数即可作出判断． 【解答】解：∵三角形的两个内角度数分别为60°、50°， ∴这个三角形的第三个角为180°﹣60°﹣50°＝70°， ∵最大的角70°是锐角， ∴这个三角形是锐角三角形．故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出第三个角的度数然后确定出最大的角是锐角是解题的关键． 4．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为 　27　度． 【分析】先根据对顶角的定义得出∠3的度数，再由三角形内角与外角的关系求出∠A的度数． 【解答】解：如图， ∵直线a∥b， ∴∠3＝∠1， ∵∠1＝56°， ∴∠3＝56°， ∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝29°， ∴∠A＝∠3﹣∠2＝56°﹣29°＝27°． 故答案为：27． 【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等是解答此题的关键． 5．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝　34°　． 【分析】先求∠DAC，再在△ADF可得答案． 【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝30°， ∴∠DAC＝∠B+∠C＝76°， ∵∠EFC＝70°， ∴∠AFD＝70°， ∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠AFD＝34°， 故答案为：34°． 【点评】本题考查三角形内角和定理及三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 6．下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（　　） A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E 【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可． 【解答】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意； B、∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，不符合题意； C、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，符合题意； D、∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；故选：C． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？ 【分析】根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可． 【解答】解：△BDO与△CEO全等， ∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB， ∵∠ADC＝∠AEB， ∴∠BDO＝∠CEO， 在△BDO与△CEO中， ， ∴△BDO≌△CEO（AAS）． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 8．在下列各组的三个条件中，能判定△ABC和△DEF全等的是（　　） A．AC＝DF，BC＝DE，∠B＝∠D B．∠A＝∠F，∠B＝∠E，∠C＝∠D C．AB＝DF，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判定即可． 【解答】解：A、根据AC＝DF，BC＝DE，∠A＝∠D，不符合SAS，不能判断△ABC和△DEF全等，故本选项不符合题意； B、根据∠A＝∠F，∠B＝∠E，∠C＝∠D，三个角相等不能判断△ABC和△DEF全等，故本选项不符合题意； B、AB＝DF，∠B＝∠E，∠C＝∠F，不满足AAS或ASA，不能判定△ABC和△DEF全等，故本选项不符合题意； D、根据AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F，根据ASA能判断△ABC≌△EFD，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型． 9．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分别为E、F，请说明△ADE≌△ADF的理由． 解：因为DE⊥AB、DF⊥AC （　已知　） 所以∠AED＝90°，∠AFD＝90°（　垂直定义　） 所以∠AED＝∠AFD （　等量代换　） 因为AD是△ABC的角平分线 （　已知　） 所以∠DAE＝∠DAF （　角平分线定义　） 在△ADE与△ADF中 ∠AED＝∠AFD、∠DAE＝∠DAF（　已证　） 所以△ADE≌△ADF （　AAS　）． 【分析】求出∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF，根据AAS推出两三角形全等即可． 【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知）， ∴∠AED＝90°，∠AFD＝90°（垂直定义）， ∴∠AED＝∠AFD（等量代换）， ∵AD是△ABC的角平分线（已知）， ∴∠DAE＝∠DAF（角平分线定义）， 在△ADE和△ADF中 ∠AED＝∠AFD，∠DAE＝∠DAF（已证），AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF（AAS）， 故答案为：已知，垂直定义，等量代换，已知，角平分线定义，已证，AAS． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，角平分线定义，垂直定义的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 10．如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′． 说理过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 　AB　＝　A′B′　，所以可以使点B与点B′重合．这是因为 　AC　＝　A′C′　，所以点 　C　与 　C′　重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 【分析】根据全等三角形的性质，结合题意填空即可． 【解答】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．这是因为AC＝A'C'，所以点C 与C'重合． 这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 故答案为：AB，A'B'，AC＝A'C'，C，C'． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 1． 三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 二．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 三．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 四．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 五．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略。 六．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 七．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 1．下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 【答案】A 【分析】根据三角形的高线、角平分线、中线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解．A．三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高的交点不一定在三角形内，说法错误，符合题意； B．三角形的三条中线交于三角形内一点，说法正确，不符合题意； C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点，说法正确，不符合题意； D．三角形的三条角平分线交于一点，是三角形的内心，说法正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握各性质定义． 2．已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次相接能围成一个三角形，那么a的取值可以是(   ) A．7 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再一一比较即可． 【详解】解：根据题意得： ∵只有选项B在这范围内， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟悉掌握三角形的定义是解题的关键． 3．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短． C．两定确定一条直线 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】三角形具有稳定性的实际应用． 【详解】根据题意窗钩AB可固定，用的是三角形（图中的）的稳定性， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性性质的实际应用，理解性质是解题关键． 4．如图，三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据三角形的定义可直接进行解答． 【详解】解：由图可得： 三角形有：△ABC、△ABD、△ADC，所以三角形的个数为3个； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角形的概念，正确理解三角形的概念是解题的关键． 5．三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高定义判断即可． 【详解】解：三角形的角平分线、中线、高都是线段． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义是解题关键． 6．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（　　） A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n° 【答案】D 【分析】由垂直的定义得到∠ADB＝∠BDC＝90，再根据三角形内角和定理得∠ABD＝180﹣∠ADB﹣∠A＝90﹣n，然后根据三角形的外角性质有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，计算即可得到∠BOC的度数． 【详解】解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高， ∴∠ADB＝∠BDC＝90， 又∵∠BAC＝n， ∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180﹣90﹣n＝90﹣n， ∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n+90°＝180﹣n． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质,垂直的定义以及三角形内角和定理,掌握以上性质定理是解答本题的关键. 7．下列说法中正确的是（    ） A．三角形的三条高交于一点 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 D．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直 【答案】D 【分析】分别对每个选项进行分析，即可解题． 【详解】A选项：三角形的三条高所在直线交于一点，所以本选项不符合题意，故A错误； B选项：有公共顶点且两边互为反向延长线两个角是对顶角，所以本选项不符合题意，故B错误； C选项：两条平行直线被第三条直线所截，所得的内错角相等，所以本选项不符合题意，故C错误； D选项：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，本选项符合题意，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的高线所在直线交于一点，对顶角的定义，平行线内错角相等、同旁内角互补的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 8．在中，已知，那么的形状________． 【答案】直角三角形 【分析】根据和三角形内角和求出∠A的度数，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的应用和三角形形状的判定，根据题意求出，是解题的关键． 9．已知△ABC，a＝6，b＝10，则第三边c的取值范围是_____． 【答案】 【分析】三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得10﹣6＜c＜6+10，即4＜c＜16， 故答案为：4＜c＜16． 【点睛】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． 10．在中，，，，那么是______三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ） 【答案】钝角 【分析】根据三角形按角的分类可得结论． 【详解】解：在中，，，， ， 是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题考查三角形的分类，熟知三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形是解题关键． 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的高．如果∠1＝54°，那么∠C＝_____度． 【答案】54 【分析】利用等角的余角相等证明∠C＝∠1即可． 【详解】解：∵BD⊥AC， ∴∠CDB＝90°， ∵∠CBA＝90°， ∴∠C+∠CBD＝90°，∠1+∠CBD＝90°， ∴∠C＝∠1＝54°， 故答案为：54． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用等角的余角相等完成证明． 12．如图，于点，过点作DF//BC，若，则=______． 【答案】##45度 【分析】先根据补角的定义求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质和垂线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 13．一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，若∠C＝86°，那么∠AEB＝__°． 【答案】43 【分析】由翻折可得，结合可证，利用平行线的性质求得，进而求． 【详解】解：由翻折可知，∠B＝∠AB′E，∠AEB＝∠AEB′， ∵∠B＝∠D， ∴∠AB′E＝∠D， ∴B′E∥CD． ， ． 故答案为：43． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 14．如图所示，在中，，，是角平分线，则________． 【答案】60 【分析】依据三角形内角和定理可得，再根据BD是的平分线，可得，依据三角形内角和定理，即可得到进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵BD是的平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为60． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的有关计算，解决本题的关键是三角形内角和是． 15．如图，在中，是边上的高，且，如果，那么_____． 【答案】 【分析】根据，和，求出，利用，进行计算即可． 【详解】解：∵在中，是边上的高，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高的三角形的面积比等于底边比，是解题的关键． 16．现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为_____个． 【答案】3 【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去． 【详解】解：共有4种方案： ①取4cm，6cm，8cm；由于8﹣4＜6＜8+4，能构成三角形； ②取4cm，8cm，10cm；由于10﹣4＜8＜10+4，能构成三角形； ③取4cm，6cm，10cm；由于6＝10﹣4，不能构成三角形，此种情况不成立； ④取6cm，8cm，10cm；由于10﹣6＜8＜10+6，能构成三角形． 所以有3种方案符合要求． 故答案为：3． 【点睛】此题考查三角形的边时，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 17．已知，，，，若，则____________． 【答案】88° 【分析】根据平行线的性质、角的和差倍分、三角形的内角和定理、外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案是： 【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分、三角形内角和定理、外角的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 18．如图，，则___________． 【答案】100°##100度 【分析】根据邻补角和为180°，以及∠2，∠3的比例，可求出∠2的度数，根据∠2与∠1的比例可求出∠1的度数，进而可求出∠4的度数． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴ 故答案为：100°． 【点睛】本题考查三角形的内角和，利用比例求各部分的角的值，补角的性质，能够熟练应用比例求出各部分的具体值是解决本题的关键． 19．如图，，、交于点，，其中面积相等的三角形有______对． 【答案】 【分析】利用平行线间的距离相等和三角形面积公式得到，，再利用三角形面积的和差得到，然后利用得到 【详解】解：， 点、到的距离相等， ，， ， 即， ， ． 图中面积相等的三角形有对． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 题型1：三角形中线有关的面积问题 1．设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了面积及等积变换，利用三角形同高则面积比与底边关系分别分析得出是解题关键． （1）利用三角形同高等底面积相等，进而求出即可； （2）利用三角形同高不等底面积比为底边长的比，进而求出即可； （3）利用三角形面积之间关系得出其边长比，得出关于，的方程求出即可． 【解析】（1）如图, 连接， , ，， ， 同理可得出：， ， 故答案为: ； （2）如图，连接， ， 根据等高两三角形的面积比等于底之比， ， ， ， 同理可得出：， ∴； 故答案为: ； （3）如图，过点作于点， ， ， ，即， 同理 ， 设 ，， ，即； ，， ， 又 ， ， 故答案为: ． 2．【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）①证明见解析；② 【分析】（1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，即可证明； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【解析】（1）①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即； ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图：    ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②15， 解：由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了中位线的判定和性质，三角形的面积公式，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键 ． 题型2：与三角形高有关的计算题 3．在中，，，于D． （1）如图①，已知于E，求证： （2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证： （3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，． 【分析】(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证； (2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证； (3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解． 【解析】解：（1）证明： （2）如图②，连接PB， ， （3）如图③，即为图像， 连接PB，作交BC的延长线于E点， ， 【点睛】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握． 题型3：三角形的高在平行线中的应用 4．已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，交直线于点. (1)如图1，若，，求的度数；. (2)如图2，在（1）问的条件下，过点作，交直线于点，交直线于点，连接，交直线于点，过点作于点；当平分时，求的度数；. (3)如图3，已知，，点到的距离与线段的长度之比是，点到的距离等于7，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)线段的长度为 【分析】（1）如图，过点做，证明，求出，进而求出，根据平行线的性质即可求出； （2）如图，先求出，再求出，过点做，即可求出； （3）过点做于点，过点做于点，设，，根据得到，求出，进而得到，，根据，即可求出线段的长度为． 【解析】（1）解：过点做， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴, ∵， ∴； （2）解：由（1）问得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点做， ∴，， ∴； （3）过点做于点，过点做于点， ∵点到的距离与线段的长度之比是， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点到的距离等于7， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查了利用平行线的性质进行角的计算，点到直线的距离，三角形形面积公式等知识，熟知平行线的性质定理，根据题意适当添加辅助线是解题关键，第3问利用方程思想解决问题是解题关键． 题型4：三角形的三边关系在平行线中的应用 5．如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD． （1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值； （2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由； （3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系． 【答案】（1）m＝4时，PC+PD有最小值；（2）当t＜4时，∠PCM+∠PDA＝∠CPD，理由见解析；（3）当t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°． 【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可； （2）当t＜m时，点P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论； （3）当t＞m时，点P在BE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论． 【解析】解：（1）在△PCD中，PC+PD≥CD， 当取等号时，P，C，D在同一条直线上，即点P与点E重合， 此时PC+PD最小， ∴AP＝AE， ∵AE：BE＝1：2，AB＝12cm， ∴AE＝AB＝4cm， ∴t＝＝4s， 故m＝4时，PC+PD有最小值； （2）当t＜m即t＜4时，点P在AE上，过点P作PH//a，如图： 又∵a//b， ∴PH//a//b， ∴∠PCM＝∠CPH，∠PDA＝∠DPH， ∴∠PCM+∠PDA＝∠CPH+∠DPH， ∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH， ∴∠PCM+∠PDA＝∠CPD， ∴当t＜4时，∠PCM+∠PDA＝∠CPD； （3）当t＞m即t＞4时，点P在BE上，过点P作PH//a，如图： 又∵a//b， ∴PH//a//b， ∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°， ∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°， 又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH， ∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°， 即当t＞4时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和平行公理的推理，熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 题型5：三角形个数问题 6．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形，……    （1）完成下表： 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 （2）若出现了45个三角形，则共连接了_____个点?若一直连接到An，则图中共有______个三角形． 【答案】（1），，，；（2）8，. 【分析】（1）根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数，当1个分点时，有三角形数为，当2个分点时，有三角形数为，由此可找出规律，据此即可得答案； （2）由（1）继续推导可解得若出现了45个三角形，若一直连接到An，由个分点，三角形数量为前一个分点数的三角形总数加个，可知个分点，则有个三角形． 【解析】（1）由图形可得：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数． 所以当1个分点时，有三角形数为； 2个分点时，有三角形数为； 3个分点时，有； 4个分点时，有； 5个分点时，有； 6个分点时，有； （2）若出现45=1+2+3+4+5+6+7+8+9个三角形，根据上述规律，则有8个分点； 若有个分点，则有． 【点睛】本题考查了三角形的扩展知识，需要注意此题数三角形的个数实际上就是数线段的条数，能够正确计算，解这类数列需要先设他们之和为，再重构一组倒序相同的数列，正序与倒序两式相加，合并可解． 题型6：与三角形角平分线有关的问题 7．佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关. 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分 线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … （1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______. （2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由. 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据，设，利用待定系数法进行计算，即可得到答案； （2）根据角平分线的性质，得到，，然后利用外角性质，以及角的和差关系，即可得到结论成立. 【解析】解：（1）根据题意，设， ∴，解得：， ∴. （2）. 理由：∵与的平分线交于点， ∴，. ∵， ∴ . ∵是的外角， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了角平分线定理，三角形内角和定理以及三角形外角性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握所学性质进行解题. 题型7：三角形的内角和与外角的性质 8．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【解析】解：（1）①如图1中，连接． ，， ， ，， ． 故答案为：； ②由①可知，， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图2中， ，， ． （3）结论：． 理由：如图3中，当在 内部时， ，， ， ． 当在四边形内部时，． 题型8：三角形的内角和与外角的性质在平行线中的应用 9．如图1，点在的延长线上，已知． (1)求证：； (2)连接的平分线和的平分线所在的直线相交于点（点与点不重合）． ①如图2，若，且点在平分线的反向延长线上，则______； ②试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①68；②或 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论； （2）①设、交于点G，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据三角形内角和求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出； ②分两种情况：当点在平分线的反向延长线上时，当点在平分线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①设、交于点G，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， 又∵为的角平分线的反向延长线， ∴， ∴． 故答案为：； ②当点在平分线的反向延长线上时，如图所示： 设，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， 又∵为的角平分线的反向延长线， ∴， ∴， ∴， 即； 当点在平分线上时，如图所示： 设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理应用，对顶角的性质．解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 10．已知，点P是直线，外一点． (1)【问题初探】如图1，点E，F分别在直线，上，连接，．求证： ①； ②． 证明：过点P作，…，请将问题①，②的证明过程补充完整； (2)【结论应用】如图2，的角平分线交于点E，点F是射线上一动点且点F不在直线上，连接，作的角平分线与相交于点Q，问：与有怎样的数量关系？说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，O是上一定点，．在内部作射线，使得，与相交于点F．动点P在射线上，点Q在上，连接，，若在点P的运动过程中，始终有，求n，α的值． 【答案】(1)①详见解析；②详见解析 (2)，详见解析 (3)， 【分析】（1）①过点P作，可得，再利用平行线的性质可得结论；②由，再结合平角的含义可得答案； （2）由（1）可得，结合，三角形的内角和定理可得结论； （3）先证明，，结合，可得，从而可得答案． 【解析】（1）证明：①过点P作． ∵， ∴， ∴，， ∴，即． ②∵， ∴． （2）． 理由如下： ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴根据（1）②可知，． ∵， ∴， ∴． ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵α，n为定值， ∴为变量， 要使等式恒成立，需要， ∴，． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质的应用，角的和差运算，整式的加减运算中与某项无关的含义，本题难度大，理清思路是解本题的关键． 题型9：旋转问题 16．如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，，分别交、于点、、的角平分线交于点，为线段上一动点（不与重合），连接交于点． (1)当，求证：． (2)在线段上任意移动时，求之间的关系． (3)在（1）的条件下将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6或12或21 【分析】（1）由，得到，由角平分线得到，即可得证； （2）由得到，由即可得到结论； （3）分五种情况画图求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）由（1）知，，， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ， ∴， 如图1，当时，， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图2，当时， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，（舍去）； 如图3，当时， ∵， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图4，当时，设与相交于点S， ∴， ∴， ∴此时是旋转了， 此时，； 如图5，当时， ∴， ∴此时是旋转了， 此时，（舍去）； ∴当的其中一边与的某一边平行时，t为6或12或21． 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、旋转等知识，分情况讨论是解题的关键． 题型10：定值问题 17．如图，分别在边上，的角平分线交于． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的平分线与交于点，，求的度数； (3)如图3，点是边上的一个动点（不与重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 【答案】(1)； (2) (3)不变，2 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形角平分线、外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是利用三角形的角平分线、外角得到角之间的关系． （1）根据，得到，再利用角平分线的性质，即可解答； （2）根据，，得到，利用外角的性质得到，再根据平分，平分，得到，，得到，利用三角形内角和为，． （3）不变，根据，，即可解答． 【解析】（1）如图1， ， ， ， ，， ， ， ， ． ； （2）如图2， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ． （3）不变，如图3， ，， ． 题型11：角平分线、三角形的内角和与外角的性质、平行线相结合问题 18．【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 【答案】问题：，；（）；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键； 问题：利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出； 探究：（）利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出； （）由三角形外角性质可得，，再根据角平分线的定义可得， ，代入即可求解； （）根据角平分线的定义可得，，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【解析】解：问题：若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； 若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，∵， ∴， ∵、三等分，、三等分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）． 理由：由三角形的外角性质得，，， ∵是与外角的平分线和的交点， ∴， ， ∴ ， ∴； （）． 理由：∵是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ， 在中， ， ， ∵， ∴． 19．【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、.若，，则的度数为________； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为________； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、.若，，、分别平分、，则的度数为________； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，、分别平分、.则与的数量关系为：________； 【拓展深化】 在中，D、E是、上的点，设，. （5）如图5，、分别平分、.用含m、n的式子表示的度数为________； （6）如图6，、分别平分、，射线与的平分线相交于点H，点H在内部，用含m、n的式子表示的度数为________. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）过点P作，再根据平行线的性质即可得出答案； （2）过G点作，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出答案； （3）过B点作，过点F作，再根据平行线的性质和角的等量关系即可得出答案； （4）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （5）根据第（4）问建立模型，延长、交于点F，再根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （6）根据三角形的内角和定理计算，，即可求解． 【解析】（1）过点P作，如图所示： ，， ， ，， ，， ； （2）过G点作，如图所示： ，， ，， ， ，则， 的平分线与的平分线交于点G， ，， ， ， ，则， ； （3）过B点作，过点F作，如图所示： 、分别平分、， ，， ，，， ， ，，，， ，， ， ，， ， ； （4）、分别平分、， ，， ， ， ， ， ； （5）根据第（4）问建立模型，延长、交于点F，可将图5补形成下图： ，，， ， 由题（4）问可知， ； （6）设，交于点F，如图所示： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定义与三角形的外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 能力提升练 1．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点． (1)画出直线和点； (2)连接、，如果，求的度数； (3)连接、、，如果，且的面积为4，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)28 【分析】（1）根据折叠的性质画出图形； （2）根据折叠的性质可得，再由，可得到的度数，再由对顶角相等，即可； （3）根据折叠的性质得到，，根据等高的两个三角形的面积比等于底的比求出的面积，进而得到的面积，即可． 【详解】（1）解：如图，直线和点即为所求； （2）解：∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、三角形的面积计算，掌握翻折变换是轴对称、翻折前后图形的对应边、对应角相等是解题的关键． 2．如图，已知ABCD，∠1＋3＝90°，BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE，试说明ABEF的理由． 解：∵ABCD（已知）， ∴∠1＝∠2（　    　）． ∵∠1＋∠3＝90°（已知）， ∴∠2＋∠3＝90°（　       ）． 即∠BCF＝90°． ∵　 ＝180°（三角形内角和等于180°）， ∴　 ＝90°（等式性质）． ∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知）， ∴　 　（　     　）． ∴∠ABF＋∠BFE＝180°（　     　）． ∴ABFE（　     　）． 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；∠BCF＋∠4＋∠5；∠4＋∠5；∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】根据平行线的性质结合三角形的内角和定理可求解∠4＋∠5＝90°，由角平分线的定义可求得∠ABF＋∠BFE＝180°，进而可证明结论． 【详解】解：∵ABCD（已知）， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＋∠3＝90°（已知）， ∴∠2＋∠3＝90°（等量代换）． 即∠BCF＝90°． ∵∠BCF＋∠4＋∠5＝180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠4＋∠5＝90°（等式性质）． ∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知）， ∴∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4（角平分线的定义）． ∴∠ABF＋∠BFE＝180°（等式的性质）． ∴ABFE（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；∠BCF＋∠4＋∠5；∠4＋∠5；∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质与判定，角平分线的定义，结合平行线的性质及三角形的内角和定理求解∠4＋∠5＝90°是解题的关键． 3．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据角平分线的定义画出图形即可； （3）根据三角形的中线的定义画出图形即可． （1） 如图，即为所求； （2） 如图，射线即为所求； （3） 如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．如图，按下列要求画图并解答（不要求写画法，只写出结论）． (1)过点A画BC的平行线AD； (2)画出△ABC的边BC上的高AH； (3)在直线AD上能否找一个点E（点E不与点A重合）使得△EBC的面积与△ABC的面积相等，如果能找到，请画出△EBC（画出一个三角形即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据三角形的高的定义画出图形即可； （3）在直线AD上任意取一点E，连接BE，EC，△EBC即为所求． （1） 解：如图，直线AD即为所求； ； （2） 解：如图，线段AH即为所求； （3） 解：如图，△EBC即为所求． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合射线所组成的角是角） (1)当动点P落在第①部分时，求证：； (2)当动点P落在第②部分时，是否成立？请说明理由． (3)当动点P在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）延长AP交BD于M，根据三角形外角性质和平行线性质得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可； （2）过P作EF∥AC，根据平行线性质得出∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，即可得出答案； （3））①当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．②当动点P在射线BA上时，结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB 【详解】（1）如图1，延长AP交BD于M． ∵AC//BD， ∴∠PAC＝∠AMB． ∵∠APB＝∠AMB＋∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD． （2）∠APB＝∠PAC＋∠PBD不成立． 理由：如图2，过点P作EF//AC． ∵AC//BD， ∴AC//EF//BD， ∴∠PAC＋∠APF＝180°，∠PBD＋∠BPF＝180°， ∴∠PAC＋∠APF＋∠PBD＋∠BPF＝360°， ∴∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360°， ∴∠APB＝360°－∠PAC－∠PBD． ∵∠APB≠180°， ∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD不成立； （3）①当动点P在射线BA右侧时， 如图3， 结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB． 理由是： ∵AC//BD ∴∠PMC＝∠PBD． ∵∠PMC＝∠PAC＋∠APB， ∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB； ②当动点P在射线BA上时，如图4， 结论是∠PBD＝∠PAC＋∠APB （或∠PAC＝∠PBD＋∠APB或∠APB＝0°）． 理由是：∵AC//BD， ∴∠PAC＝∠PBD． ∵∠APB＝0°， ∴∠PBD＝∠PAC＋∠APB或∠PAC＝∠PBD＋∠APB； 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，用了分类讨论思想，考查对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况． 6．如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空； (2)如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案） 解：（1）结论：______度． 说理如下：因为、平分和（已知）， 所以，（角平分线的意义）． 因为，（    ） （完成以下说理过程） 【答案】(1)32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质进行求解即可； （2）根据（1）的解法进行求解即可； （3）利用（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：结论：；理由如下： ∵、的角平分线、相交于点， ∴，（角平分线的意义）， ∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴，（等式性质）， ∴（等量代换）， ∴； （2）解：∵、的角平分线、相交于点， ∴，（角平分线的意义）， ∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴，（等式性质）， ∴（等量代换）， ∴； （3）解：∵，、， ∴当，=． 【点睛】本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，是解答本题的关键． 7．如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2， (1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由； 解：（1）结论：∠A2＝　 　度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知）， 所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（　 　）． 因为∠A1CM＝∠A1BC+∠　 　，∠2＝∠1+∠　 　（　 　）， （完成以下说理过程） (2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数； (3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案） 【答案】(1)34；角平分线的定义；A1；A2，过程见解析 (2)17° (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解； （2）根据（1）的解法即可直接求解∠A3的度数； （3）利用（1）的结论找到规律，求解即可． 【详解】（1）解：结论：∠A2＝34度． 说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知）， 所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（角平分线的意义）． 因为∠A1CM＝∠A1BC+∠A1，∠2＝∠1+∠A2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 所以∠A2＝∠A1， 因为∠A1＝68°， 所以∠A2＝34°， 故答案为：34；角平分线的定义；A1；A2． （2）解：∠A3＝17°，理由如下： 由（1）得：∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3， ∴∠A3＝∠A1=17°． （3）解：∠An＝，理由如下： 由（1）中结论知，∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∠A3＝2∠A4，…， ∴∠A1＝∠An， ∴∠An＝． 【点睛】本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解题关键是解决（1）后利用其结论解答． 8．如图，有一块三角形菜地，若从顶点修一条小路交于点，小路正好将菜地分成面积相等的两部分． (1)画出点的位置并说明理由． (2)假设在菜地中有一点（如图所示），上是否存在点，使折线将三角形的面积分为面积相等的两部分．若存在，请画出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)存在，见解析 【分析】（1）如图中，作直BC的中点D，连接即可； （2）如图中，作中线，连接，作，交于点，连接，折线即为所求． （1） 如图，作BC得中点D，点即为所求； 理由：三角形的中线平分三角形的面积． （2） 作AB的中点D，连接，连接，作，交于点，连接，折线即为所求， 如图，折线即为所求， 理由：设交于点， ， ， ， ∴点D到AF的距离与点E到AF的距离相等， ， ， 折线平分的面积． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解三角形的中线平分三角形的面积． 9．如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）． (1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”） (2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米； (3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有    个． 【答案】(1)十六分之七； (2)4； (3)5 【分析】（1）根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论； （2）根据三角形和正方形的面积即可得到结论； （3）画出图形即可得到结论． (1) 解：∵S△AEF＝4×4﹣， ∴三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的； (2) 解：∵三角形AEF的面积是28平方厘米， ∴大正方形ABCD面积＝28＝64， ∴每个小正方形的面积＝64÷16＝4； (3) 解：如备用图，符合要求的点G有5个， 故答案为：（1）十六分之七；（2）4，；（3）5． 【点睛】本题考查了三角形的面积，正方形的面积，正确的画出图形是解题的关键 10．已知：如图所示，中，D、E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值． 【答案】 【分析】先利用线段之比转换成面积之比，得到和，再求出，再利用即可得到答案； 【详解】解：如图，连接AF， ∵CD=3AD， ∴ , 设，则， 又∵BE：AE=3：2， ∴ , 设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴； 【点睛】本题主要考查了如何利用三角形的边长之比转换成三角形的面积之比，灵活性强，作正确的辅助线是解题的关键； 题组B 进阶培优练 1．探索：在图至图中，已知的面积为， (1)如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则______用含的代数式表示 (2)如图，延长的边到点，延长边到点，使，，连接若的面积为，则______用含的代数式表示 (3)在图的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图）若阴影部分的面积为，则______用含的代数式表示 (4)发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的______倍． (5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种红花，然后将向外扩展三次图已给出了前两次扩展的图案在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即的面积是平方米，请你运用上述结论求出： ①种紫花的区域的面积； ②种蓝花的区域的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)①种紫花的区域的面积420平方米，②种蓝花的区域的面积2940平方米 【分析】（1）过点A作于H，如图1，由于与底相等、高相同，因此它们的面积相等，问题得以解决； （2）连接，如图2，同（1）可求出的面积，就可解决问题； （3）如图3，同（2）可求出的面积，问题得以解决； （4）根据即可得出结论 （5）①利用探索与发现中的结论可得：种紫花的区域的面积等于△DEF面积的6倍，，根据条件平方米，就可解决问题； ②利用探索与发现中的结论可得：种蓝花的区域的面积等于面积的6倍，，只需把代入，就可解决问题． 【解析】（1）解：探索： 过点A作于H，如图1， ∵，， ∴. 故答案为a. （2）解：连接，如图2， 同理可得, ∴. 故答案为2a. （3）解：同（2）可得, ∴, 故答案为； （4）解：如图3，， 故答案为7； （5）解：① 根据上述结论可得： （平方米）， ∴种紫花的区域的面积（平方米）； ②同理可得： （平方米）， 种蓝花的区域的面积（平方米）； 所以，种紫花的区域的面积420平方米，种蓝花的区域的面积2940平方米． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，另外还考查了归纳、探究的能力，运用已有经验解决问题的能力，突出了对能力的考查． 2．设点为内任意一点，的延长线交于点,的延长线交于点，的延长线交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 过点作的延长线，交于点，根据三角形的面积公式可得，，推得，同理可得，，即可求解． 【解析】解：过点作的延长线，交于点，如图： 则， 同理可得， 即， ∴， 同理可得：，， ∴ ． 故答案为：． 3．【问题呈现】 小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD的值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 15 20 30 求上表中a的度数，并判断与、的数量关系； 【变式应用】 （2）小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”求的度数，并写出与、的数量关系． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用和角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理进行计算推理是解本题的关键． （1）先利用三角形内角和以及角平分线，求出和的大小，然后再求出的值，再分别用，表示出和，再由即可得出答案． （2）过点A作于点，证出，再分别求出，，再结合（1）可得到三者的关系． 【解析】解：（1），， ． 在中， ， ， 平分， ， ，即． ，，， 即． （2）过点A作于点G． ，， ， ，， 由（1）同理可得，， ， 由（1）同理可得，． 4．如图1，直角三角板的直角边所在直线与直线重合．将该三角板绕点A逆时针旋转一定角度后，如图2所示．记，过B作直线．P为射线上异于点A的一点，从点P出发且位于直线上方的射线交直线于点Q，记． (1)若，且，求的度数； (2)①若点Q在线段上（不含端点），则与，满足的数量关系为 ； ②若点Q在线段延长线上（不含端点），判断上述关系是否成立．若成立，请说明理由；若不成立，给出三者应满足的关系并说明理由； (3)若，且射线不经过点B，设直线分别交直线、于点R、S，直接写出当，满足什么条件时，有． 【答案】(1) (2)①；②不成立，，理由见解析； (3)当时，有． 【分析】（1）由题意可得，，，利用平行线的性质，得到，进而得出，再利用平行线的性质，即可求出的度数； （2）①由（1）可知，进而得出，再利用三角形外角的性质，即可得出结论； ②过点作，由平行线的性质，得到，，进而即可得出结论； （3）依题意分四种情况分析：①当与线段交于点，与的延长线交于点时；②当与的延长线交于点，与线段交于点时；③当与线段交于点，与的延长线交于点时；④当与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点时，利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，分别表示出、、，即可得出结论． 【解析】（1）解：，，， ，， ， ， ， ， ； （2）解：①由（1）可知， ， 是的外角， ， 故答案为：； ②不成立，，理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ，， ； （3）解：依题意有四种情况： ①如图，当与线段交于点，与的延长线交于点时， ， ， ， 是的外角， ， ， ， ， ， 整理得：， 即当时，有； ②如图，当与的延长线交于点，与线段交于点时， 同①理可得：， ， ， ， 整理得：， 即当时，有； ③如图，当与线段交于点，与的延长线交于点时， 同①理可得：， 是的外角， ， ， 是的外角， ， ， ， 整理得：， 即当时，有； ④如图，当与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点时， 同③理可得：， ， ， ， 又， ， 整理得：， 即当时，有； 综上可知，当时，有． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角等知识，灵活运用相关知识找出角度之间的数量关系是解题关键． 5．探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）50；（2），理由见解析；（3）200；（4）．理由见解析 【分析】（1）连接，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （2）设，，由平行线的性质得出，，由三角形外角的性质可得出答案； （3）连接，求出，由轴对称的性质求出，，则可得出答案； （4）由三角形内角和定理证出，则可得出结论． 【解析】解：（1）连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）． 理由：设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）连接， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，∴， ∴， ∵点P关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：200； （4）． 理由：设，， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 17.1-17.2三角形的有关概念与性质 目录 1、 【进门测试】共10题； 2、 【知识精讲】共7个知识点； 3、 【典例解析】共19例题； 4、 【拓展进阶】共19题； 5、 【温故知新】共15题:A组10题，B组5题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．如果三角形各边都扩大4倍，那么下列结论正确的是（　　） A．周长扩大4倍，面积扩大2倍 B．周长扩大2倍，面积扩大4倍 C．周长扩大4倍，面积扩大4倍 D．周长扩大4倍，面积扩大16倍 2．如果一个三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长可能是（　　） A．10 B．13 C．14 D．15 3．若一个三角形的两个内角的度数分别为60°，50°，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝56°，∠2＝29°，则∠A的度数为 　　度． 5．如图，E为△ABC的BC边上一点，点D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B＝46°，∠C＝30°，∠EFC＝70°，则∠D＝　　． 6．下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（　　） A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E 7．如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？ 8．在下列各组的三个条件中，能判定△ABC和△DEF全等的是（　　） A．AC＝DF，BC＝DE，∠B＝∠D B．∠A＝∠F，∠B＝∠E，∠C＝∠D C．AB＝DF，∠B＝∠E，∠C＝∠F D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F 9．已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC垂足分别为E、F，请说明△ADE≌△ADF的理由． 解：因为DE⊥AB、DF⊥AC （　　 　　） 所以∠AED＝90°，∠AFD＝90°（　 　） 所以∠AED＝∠AFD （　 　） 因为AD是△ABC的角平分线 （　 　） 所以∠DAE＝∠DAF （　 　） 在△ADE与△ADF中 ∠AED＝∠AFD、∠DAE＝∠DAF（　 　） 所以△ADE≌△ADF （　 　）． 10．如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′． 说理过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于 ＝ 　，所以可以使点B与点B′重合．这是因为 ＝　 ，所以点 与 重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 二．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 三．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 四．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 五．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略。 六．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 七．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 1．下列判断错误的是（    ） A．三角形的三条高的交点在三角形内 B．三角形的三条中线交于三角形内一点 C．直角三角形的三条高的交点在直角顶点 D．三角形的三条角平分线交于三角形内一点 2．已知三条线段长分别为2cm、4cm、acm，若这三条线段首尾顺次相接能围成一个三角形，那么a的取值可以是(   ) A．7 B．4 C．2 D．1 3．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短． C．两定确定一条直线 D．三角形具有稳定性 4．如图，三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．三角形的角平分线、中线和高都是 (    ) A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对 6．如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（　　） A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n° 7．下列说法中正确的是（    ） A．三角形的三条高交于一点 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等 D．两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直 8．在中，已知，那么的形状________． 9．已知△ABC，a＝6，b＝10，则第三边c的取值范围是_____． 10．在中，，，，那么是______三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角” ） 11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的高．如果∠1＝54°，那么∠C＝_____度． 12．如图，于点，过点作DF//BC，若，则=______． 13．一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，若∠C＝86°，那么∠AEB＝__°． 14．如图所示，在中，，，是角平分线，则________． 15．如图，在中，是边上的高，且，如果，那么_____． 16．现有四根木棒，长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为_____个． 17．已知，，，，若，则____________． 18．如图，，则___________． 19．如图，，、交于点，，其中面积相等的三角形有______对． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 题型1：三角形中线有关的面积问题 1．设的面积为． (1)如图1，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则______．（用含的式子表示） (2)如图2，延长的各边得到，且，，，记的面积为，则________．（用含的式子表示） (3)如图3，P为内一点，连接、、并延长分别交边、、于点D、E、F，则把分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到的面积________． 2．【问题情境】 苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．又因为高相同，所以，于是．据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积．    【深入探究】 （1）如图2，点在的边上，点在上． ①若是的中线，求证：； ②若，则______． 【拓展延伸】 （2）如图3，分别延长四边形的各边，使得点、、、分别为、、、的中点，依次连结、、、得四边形． ①求证：； ②若，则______． 题型2：与三角形高有关的计算题 3．在中，，，于D． （1）如图①，已知于E，求证： （2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证： （3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系． 题型3：三角形的高在平行线中的应用 4．已知，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，交直线于点. (1)如图1，若，，求的度数；. (2)如图2，在（1）问的条件下，过点作，交直线于点，交直线于点，连接，交直线于点，过点作于点；当平分时，求的度数；. (3)如图3，已知，，点到的距离与线段的长度之比是，点到的距离等于7，求线段的长度． 题型4：三角形的三边关系在平行线中的应用 5．如图，直线a∥b，点A，点D在直线b上，射线AB交直线a于点B，CD⊥a于点C，交射线AB于点E，AB＝12cm，AE：BE＝1：2，P为射线AB上一动点，P从A点开始沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD． （1）当t＝m为何值时，PC+PD有最小值，求m的值； （2）当t＜m（m为（1）中的取值）时探究∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系，并说明理由； （3）当t＞m（m为（1）中的取值）时，直接写出∠PCM、∠PDA与∠CPD的关系． 题型5：三角形个数问题 6．如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形，……    （1）完成下表： 连接个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 （2）若出现了45个三角形，则共连接了_____个点?若一直连接到An，则图中共有______个三角形． 题型6：与三角形角平分线有关的问题 7．佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关. 测量数据如下表： 测量和度数 测量工具 量角器 示意图 与的平分 线交于点 测量数据 第一次 第二次 第三次 第四次 … … （1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______. （2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由. 题型7：三角形的内角和与外角的性质 8．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 题型8：三角形的内角和与外角的性质在平行线中的应用 9．如图1，点在的延长线上，已知． (1)求证：； (2)连接的平分线和的平分线所在的直线相交于点（点与点不重合）． ①如图2，若，且点在平分线的反向延长线上，则______； ②试探究与之间的数量关系，并说明理由． 10．已知，点P是直线，外一点． (1)【问题初探】如图1，点E，F分别在直线，上，连接，．求证： ①； ②． 证明：过点P作，…，请将问题①，②的证明过程补充完整； (2)【结论应用】如图2，的角平分线交于点E，点F是射线上一动点且点F不在直线上，连接，作的角平分线与相交于点Q，问：与有怎样的数量关系？说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，O是上一定点，．在内部作射线，使得，与相交于点F．动点P在射线上，点Q在上，连接，，若在点P的运动过程中，始终有，求n，α的值． 题型9：旋转问题 16．如图1，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：，，，，分别交、于点、、的角平分线交于点，为线段上一动点（不与重合），连接交于点． (1)当，求证：． (2)在线段上任意移动时，求之间的关系． (3)在（1）的条件下将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，求此时的值． 题型10：定值问题 17．如图，分别在边上，的角平分线交于． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的平分线与交于点，，求的度数； (3)如图3，点是边上的一个动点（不与重合），交于点，的平分线交于点，当点在上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 题型11：角平分线、三角形的内角和与外角的性质、平行线相结合问题 18．【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 19．【基础探究】 （1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、.若，，则的度数为________； （2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为________； （3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、.若，，、分别平分、，则的度数为________； 【问题迁移】 （4）如图4，在中，、分别平分、.则与的数量关系为：________； 【拓展深化】 在中，D、E是、上的点，设，. （5）如图5，、分别平分、.用含m、n的式子表示的度数为________； （6）如图6，、分别平分、，射线与的平分线相交于点H，点H在内部，用含m、n的式子表示的度数为________. 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 能力提升练 1．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点与点重合，折痕分别与边、交于点、，点关于直线的对称点为点． (1)画出直线和点； (2)连接、，如果，求的度数； (3)连接、、，如果，且的面积为4，求的面积． 2．如图，已知ABCD，∠1＋3＝90°，BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE，试说明ABEF的理由． 解：∵ABCD（已知）， ∴∠1＝∠2（　    　）． ∵∠1＋∠3＝90°（已知）， ∴∠2＋∠3＝90°（　       ）．即∠BCF＝90°． ∵　 ＝180°（三角形内角和等于180°），∴　 ＝90°（等式性质）． ∵BC、CF分别平分∠ABF和∠BFE（已知）， ∴　 　（　     　）． ∴∠ABF＋∠BFE＝180°（　     　）．∴ABFE（　     　）． 3．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 4．如图，按下列要求画图并解答（不要求写画法，只写出结论）． (1)过点A画BC的平行线AD； (2)画出△ABC的边BC上的高AH； (3)在直线AD上能否找一个点E（点E不与点A重合）使得△EBC的面积与△ABC的面积相等，如果能找到，请画出△EBC（画出一个三角形即可）． 5．如图，直线，连接，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合射线所组成的角是角） (1)当动点P落在第①部分时，求证：； (2)当动点P落在第②部分时，是否成立？请说明理由． (3)当动点P在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明． 6．如图1，、的角平分线、相交于点， (1)如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空； (2)如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数； (3)如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案） 解：（1）结论：______度． 说理如下：因为、平分和（已知）， 所以，（角平分线的意义）． 因为，（    ） （完成以下说理过程） 7．如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2， (1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由； 解：（1）结论：∠A2＝　 　度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知）， 所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（　 　）． 因为∠A1CM＝∠A1BC+∠　 　，∠2＝∠1+∠　 　（　 　）， （完成以下说理过程） (2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数； (3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案） 8．如图，有一块三角形菜地，若从顶点修一条小路交于点，小路正好将菜地分成面积相等的两部分． (1)画出点的位置并说明理由． (2)假设在菜地中有一点（如图所示），上是否存在点，使折线将三角形的面积分为面积相等的两部分．若存在，请画出点的位置． 9．如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）． (1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”） (2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米； (3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有    个． 10．已知：如图所示，中，D、E分别在边AC、AB上，CD=3AD，BE：AE=3：2，求DF：FB的值． 题组B 进阶培优练 1．探索：在图至图中，已知的面积为， (1)如图，延长的边到点，使，连接若的面积为，则______用含的代数式表示 (2)如图，延长的边到点，延长边到点，使，，连接若的面积为，则______用含的代数式表示 (3)在图的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图）若阴影部分的面积为，则______用含的代数式表示 (4)发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到如图，此时，我们称向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的的面积是原来面积的______倍． (5)应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在的空地上种红花，然后将向外扩展三次图已给出了前两次扩展的图案在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域即的面积是平方米，请你运用上述结论求出： ①种紫花的区域的面积； ②种蓝花的区域的面积． 2．设点为内任意一点，的延长线交于点,的延长线交于点，的延长线交于点，则的值为 ． 3．【问题呈现】 小明在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD的值，得到下面几组对应值： /度 10 30 30 20 20 /度 70 70 60 60 80 /度 30 15 20 30 求上表中a的度数，并判断与、的数量关系； 【变式应用】 （2）小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”求的度数，并写出与、的数量关系． 4．如图1，直角三角板的直角边所在直线与直线重合．将该三角板绕点A逆时针旋转一定角度后，如图2所示．记，过B作直线．P为射线上异于点A的一点，从点P出发且位于直线上方的射线交直线于点Q，记． (1)若，且，求的度数； (2)①若点Q在线段上（不含端点），则与，满足的数量关系为 ； ②若点Q在线段延长线上（不含端点），判断上述关系是否成立．若成立，请说明理由；若不成立，给出三者应满足的关系并说明理由； (3)若，且射线不经过点B，设直线分别交直线、于点R、S，直接写出当，满足什么条件时，有． 5．探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$