6.2无理数和实数（8种题型基础练+能力提升练）（题型专练）数学新教材沪科版七年级下册

6.2无理数和实数（8种题型基础练+能力提升练） 题型一 无理数 1．（2024·安徽滁州·一模）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列各数：0.13113111311113…，2018，3.14159，，5，．其中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 实数的性质与数轴 3．（22-23七年级上·北京朝阳·期中）在同一条数轴上分别用点表示实数，则其中最左边的点表示的实数是(   ) A． B．0 C． D． 4．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）的绝对值是 ． 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于，下列说法不正确的是（    ） A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示 C．它可以表示面积为7的正方形的边长 D．它不是实数 6．（23-24七年级下·安徽·单元测试）现给出下列各数：，，，，，将这些数在数轴上表示出来，并用“”连接． 题型三 实数的大小比较 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列四个数中最小的实数是（    ） A． B．0 C． D． 8．（23-24七年级下·安徽六安·期末）实数在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数小的是（    ） A． B． C． D． 9．比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 题型四 实数的概念和分类 10．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 11．下面对“”的描述错误的是(    ) A．是圆周率 B．圆的周长与直径的比值 C．是一个无理数 D． 12．（2024·安徽合肥·一模）下列各数中，是正数的是（    ） A． B． C．0 D． 13．把下列各数分别填入相应的横线上． 、、0、、、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数：______________________________________________． （2）分数：______________________________________________． （3）无理数：______________________________________________ 14．把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)． 有理数集合：｛                                                   …｝ 无理数集合：｛                                                   …｝ 题型五 实数的运算 15．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）计算：． 16．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 17.（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）若，则称与是关于1的平衡数，那么关于1的平衡数是 ． 18.（22-23七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 19.（2024七年级下·安徽·专题练习）计算： (1)； (2)解方程：． 20.（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 21.（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）1.现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 22.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）设是不为的有理数，我们把 称为的差倒数． 如的差倒数是 ， 的差倒数是 已知 是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推，则的值为 ． 23.（2024七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 24.用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 题型六 与实数运算相关的规律题 25.（22-23七年级下·全国·假期作业）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为2810的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．8 D．6 26.（22-23七年级上·山东东营·开学考试）观察： ，即； ，即； 猜想： 27.（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 28.观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明． 题型七 无理数的大小估算 29.（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 30.（23-24八年级下·安徽宣城·期中）满足的整数有 个． 31.（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对50进行如下操作：，这样对50只需进行3次操作后变为1，类似地，对1000最少进行（    ）次操作后变为1． A．2 B．3 C．4 D．5 题型八 无理数整数部分的有关计算 32.估算的值在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 33.（23-24七年级下·安徽池州·期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是______，的小数部分是______； (2)若，其中是整数，且，求与的值． 34.（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 一、单选题 1．（2024七年级下·安徽·专题练习）在下列四个说法中，正确的有（    ）个： ①不带根号的数一定是有理数； ②是一个负数； ③已知是实数，则； ④全体实数和数轴上的点是一一对应． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．32 D． 3．下列判断正确的个数有（     ） ①不带根号的数一定是有理数；②若，则；③比大且比小的实数有无数个；④两个无理数的和一定是无理数；⑤若，则＞ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（　　） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 5．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①3，1，的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，，2的极数为； ④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 8．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 9．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，数轴上A，B两点分别表示和，点C与点B到原点的距离相等且在原点的两侧． （1）的中点表示的数是 ． （2）的值是 ． 10．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 三、解答题 11．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 12．已知|x|＝，y是11的平方根，且>，求x+y的值． 13．把下列各数写入相应的括号中：﹣、、0.618、、、、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）． (1)正实数：{____________________}； (2)负实数：{____________________}； (3)有理数：{____________________}； (4)无理数：{____________________}． 14．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）先阅读材料，再解决问题． 材料：一节数学课上，王老师提出：“若，则”，这个说法正确吗？甲同学回答说：这个说法是正确的，但说不出理由；乙同学回答说：这个说法是错误的，例如，当时，．，但，所以这个说法是错误的．实际上，在数学中，要说明某种说法是错误的．可以像乙同学那样举出一个具体的例子，这样的例子又叫做“反例”． 问题：，都是无理数，是有理数，给出下列4种说法：①是无理数；②是无理数；③是无理数；④是无理数． (1)上述说法中，错误的是________________（填序号）； (2)对错误的说法分别举出一个“反例”加以说明． 15．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似． 例如：；． 【应用新知】 （1）填空：______；______． （2）计算：． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 17． 场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 18．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 19．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 20．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是__________； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 21．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的平方根． 22．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知实数a的平方根为的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的立方根． 23．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是和的铅球熔化后做成一个更大的铅球．（注：球的体积公式是，其中是球的半径．） (1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值） (2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分． 24．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）计算：． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2无理数和实数（8种题型基础练+能力提升练） 题型一 无理数 1．（2024·安徽滁州·一模）下列实数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项 【详解】解：A、是无理数，故本选项符合题意； B、是整数，是有理数，故本选项不符合题意； C、是分数，是有理数，故本选项不符合题意； D、是有限小数，，是有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列各数：0.13113111311113…，2018，3.14159，，5，．其中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数，根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：无理数有0.13113111311113…，，共2个． 故选：B． 题型二 实数的性质与数轴 3．（22-23七年级上·北京朝阳·期中）在同一条数轴上分别用点表示实数，则其中最左边的点表示的实数是(   ) A． B．0 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】实数与数轴 【分析】化简相应数，在数轴上表示，即可得解． 【详解】解：，， 则最左边的点表示的实数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，相反数和实数的大小比较法则，能熟记在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大是解此题的关键． 4．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）的绝对值是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】实数的性质、求一个数的绝对值 【分析】直接利用绝对值的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴的绝对值是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 5．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）关于，下列说法不正确的是（    ） A．它是一个无理数 B．它可以用数轴上的一个点表示 C．它可以表示面积为7的正方形的边长 D．它不是实数 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、实数的性质 【分析】本题考查的是实数和实数与数轴．根据实数，有理数，数轴和正方形的相关定义判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故本选项不符合题意； B、可以用数轴上的一个点表示，故本选项不符合题意； C、面积为7的正方形的边长为：，故本选项不符合题意； D、是实数，故本选项符合题意； 故选：D． 6．（23-24七年级下·安徽·单元测试）现给出下列各数：，，，，，将这些数在数轴上表示出来，并用“”连接． 【答案】图见详解， 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、化简绝对值、有理数的乘方运算 【分析】此题主要考查实数在数轴上的表示、实数的大小比较，解题的关键是正确化简有理数的大小，并标明在数轴上对应的点． 先化简题目中的五个数的值，然后比较大小，再在数轴上表示出各数，根据在数轴上表示的数，从左到右依次增大，据此解答即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴数轴如图所示， 题型三 实数的大小比较 7．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）下列四个数中最小的实数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小的相关知识点是本题的解题关键，根据正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小的法则进行比较； 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是． 故选A． 8．（23-24七年级下·安徽六安·期末）实数在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查了利用数轴比较实数的大小，根据数轴得到的范围，根据其范围进行比较即可判定求解，掌握实数与数轴的关系是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得， ∴选项中比实数小的是， 故选：． 9．比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型四 实数的概念和分类 10．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】实数概念理解、实数的分类 【分析】无限不循环小数是无理数，无理数和有理数统称实数，根据定义进行逐项判断即可． 【详解】、根据无理数的定义，无理数都是无限小数，故本选项正确； 、有理数不只是有限小数，例如无限循环小数也是有理数，故本选项错误； 、无限小数不一定都是无理数，其中无限循环小数为有理数，故本选项错误； 、实数可以分为正实数和负实数和，故本选项错误； 故选：． 【点睛】此题考查了有理数，无理数，实数的定义，解题的关键在于正确区分各名词的含义． 11．下面对“”的描述错误的是(    ) A．是圆周率 B．圆的周长与直径的比值 C．是一个无理数 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】无理数、实数概念理解 【分析】圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母表示，是一个无限不循环小数，它的近似值是，据此进行分析解答即可． 【详解】解：A、圆周率用字母表示，说法正确，不符合题意； B、圆周率是圆的周长和它直径的比值，说法正确，不符合题意； C、圆周率是一个无限不循环小数，也就是无理数，说法正确，不符合题意； D、的近似值是，而不是等于，说法错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周率的含义，准确理解圆周率的含义是关键． 12．（2024·安徽合肥·一模）下列各数中，是正数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，根据正数是大于0的数进行求解即可． 【详解】解：由正数的定义可知四个数中，只有是正数， 故选：A． 13．把下列各数分别填入相应的横线上． 、、0、、、、、、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0） （1）整数：______________________________________________． （2）分数：______________________________________________． （3）无理数：______________________________________________ 【答案】见解析 【难度】0.94 【知识点】实数的分类 【分析】根据实数的分类进行填空即可． 【详解】解：，， （1）整数：{、0、、、…} （2）分数：{、、、、…} （3）无理数：{、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）、…} 【点睛】本题主要考查了实数、无理数、有理数之间的关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数． 14．把下列各数分别填在相应的集合中：，，，，，，，，，(每两个1之间依次多1个0)． 有理数集合：｛                                                   …｝ 无理数集合：｛                                                   …｝ 【答案】，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0) 【难度】0.85 【知识点】实数的分类、无理数 【分析】根据实数的分类完成填空即可求解． 【详解】解： 有理数集合：｛，，，，，…｝ 无理数集合：｛，， ，(每两个1之间依次多1个0)｝ 故答案为：，，，，，…；，， ，(每两个1之间依次多1个0)． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类，无理数的定义是解题的关键． 题型五 实数的运算 15．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）计算：． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、化简绝对值、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，先开方，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式     ． 16．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查了有理数的运算，把代入数值转换机中计算即可求出所求，解题的关键是掌握有理数的运算顺序及数值转换机的运算程序． 【详解】当时， ， ∵是有理数， ∴倒回运算， ∴， 故选：． 17.（22-23七年级下·安徽淮北·阶段练习）若，则称与是关于1的平衡数，那么关于1的平衡数是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据题意列式计算即可； 【详解】∵， ∴称与是关于1的平衡数， ∴那么关于1的平衡数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查新定义下的实数的运算，正确理解题意是解题的关键． 18.（22-23七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　） A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】根据实数的乘法解决此题． 【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克． 该饮料中蛋白质的含量不少于克． 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键． 19.（2024七年级下·安徽·专题练习）计算： (1)； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【难度】0.85 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、实数的混合运算、利用平方根解方程 【分析】本题考查了平方根、 实数的运算、利用平方根解方程， 主要考查学生的运算能力， 题目比较好， 第 （1） 小题是一道比较容易出错的题目 ． （1） 先算乘方和开方得出，把除法变成乘法得出，根据实数的乘法法则进行计算即可； （2） 开方得出，，求出两个方程的解即可 ． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 开方得：， 即，， 解得：，． 20.（24-25七年级上·浙江舟山·期中）如图所示为一个数值转换器． (1)当输入的的值为49时，输出的的值是______； (2)若输入有效的值后，始终无法输出的值，请写出所有满足要求的的值：______； (3)若输出的值是，请写出两个满足要求的的值：______． 【答案】(1) (2)0和1 (3)5，25（5的偶次方都对） 【难度】0.85 【知识点】程序设计与实数运算、无理数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的计算和无理数的判断，正确理解给出的运算方法是关键． （1）根据运算规则即可求解； （2）根据0的算术平方根是0，1的算术平方根是1即可判断； （3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数． 【详解】（1）解：当时，取算术平方根，不是无理数， 继续取算术平方根，是无理数，所以输出的y值为； （2）解：因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； 所以当，1时，始终输不出y值． （3）解：的算术平方根为25， 的算术平方根5， 5的算术平方根为， ∴或或（5的偶次方）都满足要求． 21.（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）1.现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． （1）当，且时， ； （2）若， ； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】加减消元法、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． （1）当，且时，分别求出和即可． （2）根据条件列出方程组即可求出的值． 【详解】（1）当，且时， ， ， ． 故答案为：． （2）根据题意可得： ， 解得， ． 故答案为：． 22.（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）设是不为的有理数，我们把 称为的差倒数． 如的差倒数是 ， 的差倒数是 已知 是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数字类规律探索、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了定义新运算，数字规律，根据差倒数的计算方法，分别求出值，找出规律即可求解． 【详解】解：根据题意，，，，，， ∴每三个循环一次， ∵， ∴的值为， 故答案为： ． 23.（2024七年级上·全国·专题练习）设x、y是有理数，并且x、y满足等式，求 ． 【答案】或1/1或 【难度】0.85 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查了实数混合运算的应用，根据已知等式求出x与y的值，即可求出的值． 【详解】解：∵x、y是有理数，并且x、y满足等式， ∴，， 解得：，， 则或． 故答案为：或1． 24.用电器的电阻、功率与它两端的电压之间有关系：．有两个外观完全相同的用电器，甲的电阻为，乙的电阻为．现测得某用电器的功率为，两端电压在，该用电器到底是甲还是乙？ 【答案】甲 【难度】0.85 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】根据，得到，分别求出甲乙的电压，故可求解． 【详解】∵ ∴ ∴，，该用电器是甲． 【点睛】此题主要考查了实数的运算在实际问题中的应用，锻炼了学生估计无理数大小的能力，本题还用到物理中的电功率的知识． 题型六 与实数运算相关的规律题 25.（22-23七年级下·全国·假期作业）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…根据上述算式中的规律，你认为2810的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】经过观察如果2的次数除以4，余数为1，那末尾数就是2；如果余数是2，那末尾数是4；如果余数为3，那末尾数是8；如果余数是0，那末尾数是6．用810÷4＝202…2，余数是2故可知，末尾数是4． 【详解】2n的个位数字是2，4，8，6循环， 所以810÷4＝202…2， 则2810的末位数字是4． 故选：B． 【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律题，找到2n的末位数的循环规律是解题的关键． 26.（22-23七年级上·山东东营·开学考试）观察： ，即； ，即； 猜想： 【答案】 【难度】0.94 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】由，得，据此即可求解． 【详解】解：由，得 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了与实数运算有关的规律题．根据题意确定规律是解题关键． 27.（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察下列计算： 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： …… 根据以上规律，完成下列问题： (1)写出第四个等式： ． (2)猜想第 n个等式（用含 n的代数式表示），无需说明理由． (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了数字的变化类，解题的关键是得出第n个等式为：． （1）根据前三个式子写出第4个式子即可； （2）根据前三个式子猜想、归纳出该类式子的规律即可； （3）根据归纳的规律进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… ∴第n个等式为：， 故答案为：； （3）解： ． 28.观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【难度】0.85 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）猜想：第n个等式为， 证明：等式左边， 等式右边， ∴等式左边等式右边，即． 【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． 题型七 无理数的大小估算 29.（23-24八年级下·安徽淮北·期末）估算的结果在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】无理数的大小估算、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查无理数的估值计算．根据题意可得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴的结果在3和4之间， 故选：C． 30.（23-24八年级下·安徽宣城·期中）满足的整数有 个． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】无理数的大小估算 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，解题时首先正确估计无理数的大小，然后再进一步找出满足范围的整数． 先求出的近似值，再根据的取值范围找出的整数解即可． 【详解】解：， 满足的整数是共4个． 故答案为4． 31.（23-24七年级下·安徽合肥·期末）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对50进行如下操作：，这样对50只需进行3次操作后变为1，类似地，对1000最少进行（    ）次操作后变为1． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确表示不大于x的最大整数． 表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可． 【详解】解：， ∴对1000最少进行4次操作后变为1， 故选：C． 题型八 无理数整数部分的有关计算 32.估算的值在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】直接得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】∵4＜＜5， ∴7＜3＋＜8， ∴3＋的值在7−8之间． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 33.（23-24七年级下·安徽池州·期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是______，的小数部分是______； (2)若，其中是整数，且，求与的值． 【答案】(1)，； (2)10，． 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，得出，则的小数部分是；因为，所以，则的小数部分是； （2）因为，所以，先得出的整数部分是9，的小数部分是，根据，其中是整数，且，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是2， ∴的小数部分是； ∵ ∴ ∴ ∴的整数部分是2， 则 即的小数部分是； （2）解：∴ ∴ ∴ ∴的整数部分是9， 则 ∴的小数部分是 ∵，其中是整数，且， ∴， ∴ 34.（23-24七年级下·安徽合肥·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2) 【难度】0.85 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】（1）利用立方根的定义、算术平方根的定义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值． （2）将a、b、c的值代入代数式求值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，8的立方根是2， ∴， 解得：； ∵的算术平方根是4，16的算术平方根是4， ∴，即， 解得：； ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，无理数的估算，代数式求值．掌握其基本知识点是解题的关键． 一、单选题 1．（2024七年级下·安徽·专题练习）在下列四个说法中，正确的有（    ）个： ①不带根号的数一定是有理数； ②是一个负数； ③已知是实数，则； ④全体实数和数轴上的点是一一对应． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数，掌握实数的分类以及全体实数和数轴上的点是一一对应关系是解决本题的关键． 根据有理数、无理数、实数的定义即可解答． 【详解】解：①不带根号的数不一定是有理数，例如：是无理数，故错误； ②是一个正数，故错误； ③已知是实数，则，正确； ④全体实数和数轴上的点是一一对应，正确． 所以正确的有2个． 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）下列各数中，最小的数是（    ） A． B． C．32 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】实数的大小比较、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、无理数的大小估算 【分析】本题考查求平方，绝对值，无理数的估值，先根据求平方，绝对值，并对进行估值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最小的数是． 故选：A 3．下列判断正确的个数有（     ） ①不带根号的数一定是有理数；②若，则；③比大且比小的实数有无数个；④两个无理数的和一定是无理数；⑤若，则＞ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】实数的分类、无理数、实数的大小比较、实数的混合运算 【分析】 本题综合考查了有理数、无理数、实数的定义及实数大小比较的法则．有理数是整数与分数的统称，无理数就是无限不循环小数，有理数与无理数统称为实数．①根据无理数的定义即可判定；②根据实数的性质和平方运算法则即可判定；③根据无理数的性质即可判定；④根据无理数的性质即可判定；⑤根据有理数、无理数、实数的定义及实数大小比较的法则即可判定． 【详解】 解：①有理数是整数与分数的统称，如不带根号，但不是有理数，故说法错误； ②如果，那么，但是，故说法错误； ③比大且比小的实数有无数个，故说法正确； ④如与的和是0，而0是有理数，故说法错误； ⑤若，则＞，故说法正确． 故正确的有2个． 故选B． 4．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法： ①当输出值y为时，输入值x为3或9； ②当输入值x为16时，输出值y为； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y； ④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值． 其中错误的是（　　） A．①② B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】根据运算规则即可求解． 【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误； ②输入值x为16时，，故②说法正确； ③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误； ④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确． 其中错误的是①③． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 5．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”，例如：1，，1，因为，，所以1，，1的“极数”为，则下列说法中，正确的个数为（    ） ①3，1，的“极数”是36； ②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数； ③存在2个数m，使得m，，2的极数为； ④调整，，1这三个数的位置，一共能得到5种不同的极数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】根据定义计算，，结合，可判断①正确；根据定义计算， 结合x，y，0的“极数”为0，必须是负数，则或，故x和y中至少有1个数是负数，判定②正确；根据m，，2，计算得，，结合极数为，则或，解得或（舍去），故判定③错误；分，，1，，1，；，，1，，1，；1，，，1，，， 计算判断即可． 本题考查了新定义运算，分类思想，不等式的意义，熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：根据定义计算，，结合， 故①正确； 根据定义计算， 结合x，y，0的“极数”为0，必须是负数， 则或， 故x和y中至少有1个数是负数， 故②正确； 根据m，，2，计算得，，结合极数为， 则或， 解得或（舍去）， 故③错误； 当，，1时，，极数为6； 当，1，时；，极数为2； 当，，1时，，极数为4； 当，1，时；，极数为； 当1，，时，，极数为4； 当1，，时， ，极数为6； 有4种不同的结果， 故④错误． 故选B． 6．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）规定取的整数部分，例如：，，，则的值等于（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】无理数整数部分的有关计算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了无理数的估算，有理数的加减混合运算，正确理解题意是解题的关键．根据的定义，分别求出的值，再代入计算即可． 【详解】， ， ， ， ， ，， 至的值均为1，至的值均为2，至的值均为3，至的值均为4，至的值均为5，至的值均为6， ． 故选：A． 二、填空题 7．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义．根据无理数的定义，结合所给数据即可求解． 【详解】解：，， ， 在实数，，，，…，，，中，有理数有个， 无理数有（个）， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）的相反数是 ，绝对值等于的数是 ， 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】实数的性质、相反数的定义、绝对值的意义 【分析】本题考查了实数、相反数和绝对值，根据相反数和绝对值的概念即可得出答案． 【详解】解：的相反数是，绝对值等于的数是，， 故答案为：，，． 9．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）如图，数轴上A，B两点分别表示和，点C与点B到原点的距离相等且在原点的两侧． （1）的中点表示的数是 ． （2）的值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题考查实数与数轴，两点间的距离： （1）根据中点公式进行计算即可； （2）求出和的长，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上A，B两点分别表示和， ∴的中点表示的数是； 故答案为：； （2）∵点C与点B到原点的距离相等且在原点的两侧， ∴点表示的数为， ∴； 故答案为：． 10．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算： ， ． （2）若，写出满足题意的的整数值 ． 【答案】 3 4 4，5，6，7，8 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，新定义： （1）根据新定义可得，估算出，即可得到； （2）根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，； ∵， ∴， ∴， 故答案为：3；4； （2）∵， ∴，即， ∴满足题意的的整数值为4，5，6，7，8． 故答案为：4，5，6，7，8 三、解答题 11．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是______； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)0 (3) 【难度】0.65 【知识点】实数的性质、求一个数的平方根、实数与数轴、利用算术平方根的非负性解题 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）根据点B在数轴上的位置可知，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：； （2）解：由数轴可知：， ，， 原式 ； （3）解：与互为相反数， ， ，， ，， ，， ， ∵8的平方根为， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、相反数的定义、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 12．已知|x|＝，y是11的平方根，且>，求x+y的值． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、实数的性质、实数的大小比较 【分析】根据绝对值的化简，得到x=或x= -；y是11的平方根，得到y=或y= -，比较大小后，计算和值． 【详解】∵|x|＝，y是11的平方根， ∴x=或x= -； y=或y= -， ∵>， ∴x=，y= -或x= -，y= -， ∴x+y=或x+y=． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，平方根的定义即如果一个数的平方等于a，称这个数为a的平方根，其中a是非负数；实数的大小比较，正确理解平方根的定义，灵活进行大小比较是解题的关键． 13．把下列各数写入相应的括号中：﹣、、0.618、、、、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）． (1)正实数：{____________________}； (2)负实数：{____________________}； (3)有理数：{____________________}； (4)无理数：{____________________}． 【答案】(1)、0．618、、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2） (2)﹣、 (3)﹣、0.618、、、0 (4)、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2） 【难度】0.65 【知识点】有理数的定义、无理数、实数的分类 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括正有理数和正无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{、0．618、、、0．1212212221…（两个1之间依次增加一个2）}； （2）负实数：{﹣、}； （3）有理数：{﹣、0．618、、、0}； （4）无理数：{、、0．1212212221…（两个1之间依次增加一个2）}， 故答案为：（1）、0．618、、、0．1212212221…（两个1之间依次增加一个2）； （2）﹣、； （3）﹣、0．618、、、0； （4）、、0．1212212221…（两个1之间依次增加一个2）． 【点睛】本题主要考查了实数相关概念，解决问题的关键是熟练掌握实数，有理数，无理数，整数，分数，正数，负数的定义和结构． 14．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）先阅读材料，再解决问题． 材料：一节数学课上，王老师提出：“若，则”，这个说法正确吗？甲同学回答说：这个说法是正确的，但说不出理由；乙同学回答说：这个说法是错误的，例如，当时，．，但，所以这个说法是错误的．实际上，在数学中，要说明某种说法是错误的．可以像乙同学那样举出一个具体的例子，这样的例子又叫做“反例”． 问题：，都是无理数，是有理数，给出下列4种说法：①是无理数；②是无理数；③是无理数；④是无理数． (1)上述说法中，错误的是________________（填序号）； (2)对错误的说法分别举出一个“反例”加以说明． 【答案】(1)①③④ (2)①反例：当，时，是有理数； ③反例：当，时，是有理数； ④反例：当，时，是有理数 【难度】0.65 【知识点】无理数、实数的混合运算 【分析】本题考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键． （1）利用题中提到的“反例”，逐一判断即可得到答案； （2）说明见解析． 【详解】（1）解：∵，都是无理数，是有理数， ①当，时，为有理数，故是无理数错误； ②是无理数，此说法正确； ③当，时，是有理数，故是无理数错误； ④当，时，为有理数，故是无理数错误， 故答案为：①③④． （2）解：①反例：当，时，是有理数； ③反例：当，时，是有理数； ④反例：当，时，是有理数． 15．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似． 例如：；． 【应用新知】 （1）填空：______；______． （2）计算：． 【答案】（1）1；；（2）． 【难度】0.65 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查实数的新定义运算，根据题意解答是解题的关键． （1）根据，分别求出、的值即可； （2）把与的实部、虚部分别相加，求出的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：1；． （2）． 16．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【难度】0.65 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 17．某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【难度】0.65 【知识点】平方根的应用、实数运算的实际应用 【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案； （2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解． 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系． 18．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 19．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【难度】0.65 【知识点】与实数运算相关的规律题、用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 20．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是__________； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3； (2)或2． 【难度】0.65 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算的大小确定m、n的值，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， ∴的小数部分， ∴， 是1的平方根， 解得或． 21．（23-24七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是1． (1)求a，b的值． (2)若，且是整数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、求一个数的立方根、加减消元法 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握基本知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）， ， 由（1）得，， . 的平方根是， 的平方根是． 22．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知实数a的平方根为的整数部分为b． (1)求a，b的值； (2)若的小数部分为c，求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求一个数的立方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，以及平方根的性质，解题的关键是 一个正数的平方根互为相反数． （1）根据一个正数的平方根互为相反数求，通过估算求； （2）求出，再代入求值计算即可． 【详解】（1）解：∵实数a的平方根为，， ∴， 解得， ∴， 即， ∵的整数部分为b， ∴； （2）∵b，c分别是的整数部分和小数部分， ∴， ∴， ∴的立方根为． 23．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是和的铅球熔化后做成一个更大的铅球．（注：球的体积公式是，其中是球的半径．） (1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值） (2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分． 【答案】(1) (2)整数部分是，小数部分是 【难度】0.65 【知识点】无理数整数部分的有关计算、立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根及无理数的估算， （1）设大铅球的半径为，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据球的体积公式建立关于的方程，然后根据立方根的定义求解即可； （2）先确定半径位于哪两个相邻的整数之间，即可得出结论； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个大铅球的半径是， 依题意，得：， 解得：， ∴这个大铅球的半径是； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是． 24．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）计算：． 【答案】34 【难度】0.65 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算、求一个数的立方根 【分析】本题考查乘方，绝对值，求立方根与平方根等实数的运算． 先根据乘方，绝对值，求立方根与平方根等进行求值，再用实数的加减运算即可解答． 【详解】解： ． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$