第16章 二次根式单元检测卷( 培优篇）2024-2025学年人教版八年级数学下册

第16章 二次根式单元提升卷 【人教版】 考试时间：90分钟；满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 3．估计的值应该在（       ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5．在下列二次根式中：，，，．其中最大数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，且，化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 9．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．若x，y为实数，且，则 ． 12．下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 13．比较大小： （1） ； （2） ． 14．形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝ ． 15．甲容器中装有浓度为a的果汁，乙容器中装有浓度为b的果汁，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ． 16．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 三．（6分）解答题（共9小题，满分72分） 17．化简计算 (1) (2) (3) 18．（6分）已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 下面是小艺和小美的解答过程： 小艺：解：原式 当时，原式 小美：解：原式． 当时， ∴原式． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中． 20．（8分）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 21．（8分）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 22．（9分）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 23．（9分）读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 24．（10分）阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 25．（10分）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式单元提升卷 【人教版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若二次根式有意义，则x的值不可以是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记中是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，再逐个判断即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，必须， 解得：， ∵，，，， ∴只有选项A符合题意，选项B、选项C、选项D都不符合题意， 故选：A． 2．已知，为实数，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 3．估计的值应该在（       ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】C 【分析】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用二次根式乘除法运算法则计算得到结果，估算即可． 【详解】解： ， ， ， ∴的值应该在9和10之间， 故选：C． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先把原式变形为，进一步变形得到，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 5．在下列二次根式中：，，，．其中最大数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，化简后比较被开方数的大小即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式的大小比较，正确化简是解题的关键． 【详解】解：，，，． ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 6．已知，且，化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键， 根据二次根式被开方数是非负数，以及，可得，再化简即可， 【详解】解： 有意义，且， ， 故选：A 7．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 8．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 9．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时， 故该选项①正确； ②， 当，则 当则． 故选项②正确； ③， 当时， ，所以不存在， 故该选项③正确； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故该选项④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键． 10．观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．若x，y为实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式是解题的关键． 根据二次根式可得且，从而可得，，然后把，的值代入式子中进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 且， 解得：且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 【详解】解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 13．比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14．形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝ ． 【答案】 【分析】根据题目中复合二次根式的化简方法及二次根式的性质进行化简，再将化简结果运用二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的化简及运算，熟练掌握二次根式的性质及正确理解题目中复合二次根式的化简方法是解题的关键． 15．甲容器中装有浓度为a的果汁，乙容器中装有浓度为b的果汁，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ． 【答案】 【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可． 【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器中纯果汁含量为bkg， 甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg， 重新混合后，甲容器内果汁的浓度为， 重新混合后，乙容器内果汁的浓度为， 由题意可得，， 整理得，6a-6b=5ma-5mb，∴6（a-b）=5m（a-b）， ∴m=． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键． 16．任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将m的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则 ；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，，则，当时，，则，计算求解即可；由题意知，，，则，，，由为整数，可知，由题意知，当值最大时，的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 当时，， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或， 由题意知，当值最大时，的值最大， 当时，最大的值为5，此时，的最大值为； 当时，最大的值为9，此时，的最大值为； ∵， ∴满足条件的“十拿九稳数”的最大值为， 故答案为：，． 三．（6分）解答题（共9小题，满分72分） 17．化简计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先根据立方根和算术平方根的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据算术平方根的性质化简，再计算，即可求解． （3）根据平方差公式和二次根式的混合运算法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 18．（6分）已知，，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)9 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先将已知和的值进行分母有理化，得到，，再分别根据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案； （2）根据完全平方公式将原式变为，再代入（1）的值即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：由（1）可知，，， ． 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 下面是小艺和小美的解答过程： 小艺：解：原式 当时，原式 小美：解：原式． 当时， ∴原式． (1)______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小艺，； (2)，8 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握（）是解本题的关键． （1）根据二次根式的性质，判断出小艺的计算是错误的； （2）先根据完全平方公式把被开方数配成完全平方，然后根据化简，再代入计算即可． 【详解】（1）解：根据二次根式的性质， 当时， 判断出小艺的计算是错误的， 故答案为：小艺，； （2）解：原式 原式 ． 20．（8分）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 21．（8分）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 22．（9分）若三个实数x，y，z满足xyz≠0，且x+y+z＝0，则有：＝|++|． 例如：＝＝|++|＝请解决下列问题： （1）求的值． （2）设S＝++…+，求S的整数部分． （3）已知x+y+z＝0（xyz≠0，x＞0），且y+z＝3yz，当+|﹣﹣|取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】（1）；（2）2019；（3） 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2）将原式进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为||+||，再根据||+||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】解：（1）＝＝|++|＝； （2）S＝++…+， ＝++…+， ＝|1+1﹣|+|1+﹣|+…+|1+﹣|， ＝1+1﹣+1+﹣+1+﹣+…+1+﹣， ＝2019+， 故整数部分为2019； （3）由题意得， +|﹣﹣|， ＝|++|+|﹣﹣|， ＝||+||， 又y+z＝3yz， 原式＝||+||， 因为||+||取最小值， 所以﹣3≤≤3，而x＞0， 因此，， 答：x的取值范围为． 【点睛】本题考查了分式的加减法、实数的运算、二次根式的运算，解题关键是掌握数字间的变化规律，准确计算． 23．（9分）读取表格信息，解决问题． … … … … (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 【答案】(1)； (2)6 【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根据表格数据发现的规律是关键． （1）根据表格中的数据确定出，的值即可； （2）根据表格中数据得出，代入不等式计算可得的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格中的数据得：； ， ∴, 故答案为：；． （2）解：， ， ， 又 ， ∴ 解得：， 可以取得最小正整数是6, 故答案为：6． 24．（10分）阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化． （1）利用分母有理化计算即可得解； （2）先求出，，再比较即可得解； （3）根据分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，． （2）解： 同理 因为 所以． （3）解： ． 25．（10分）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$