1.3.1函数的单调性与导数（1知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

1.3.1 函数的单调性与导数 课程标准 学习目标 （1）结合实例, 借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性; 对于多项式函数, 能求不超过三次的多项式函数的单调区间 （1）掌握函数单调性与导数之间的关系 （2）会利用导数求不含参或含参函数的单调性 知识点01 函数单调性与导数 1 函数单调性与导数 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 2 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得； 解释 假如存在一区间内使得，那原函数在区间内恒等于一个常数， 即是个常数，则原函数不可能在内单调递增. 函数在某个区间内单调递减有类似结论！ 【即学即练1】 （24-25高二上·北京朝阳·期末）求函数的单调区间. 【题型一：函数与导数图象之间的关系】 例1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（24-25高二下·全国·课前预习）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A．B．C． D． 变式1-2．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 变式1-3．（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【方法技巧与总结】 1 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 2 导函数图象要看在哪个区间为正哪个区间为负，故要注意导函数零点的分布；由导函数的图象只能得到原函数的单调性，不能确定原函数图象的具体位置. 【题型二：用导数判断已知函数的单调性】 例2．（22-23高二下·四川成都·期末）函数在上是（    ） A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 变式2-1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 变式2-3．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 【题型三：利用导数求不含参函数的单调区间】 例3．（22-23高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）求下列函数的单调区间： (1)； (2). 变式3-1．（24-25高二上·全国·课后作业）求函数的单调区间． 变式3-2．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【方法技巧与总结】 1 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 2 求不含参函数的单调性的步骤： 1 求函数的定义域；② 求导函数；③ 令得减区间，令得减区间. 【题型四：由函数的单调性求参数】 例4．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 变式4-1．（23-24高二下·山东临沂·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 变式4-2．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4-4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 若原函数为增函数，即恒成立；若原函数为减函数，即恒成立. (其中不存在一区间内使得) 2 恒成立问题可以转化为最值问题，分类参数法是常见方法. 【题型五：由函数在区间上的单调性求参数】 例5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 变式5-2．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式5-3．（24-25高三上·重庆·开学考试）若函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 问题常转化为恒成立问题，但不要忘记函数区间的限制。 【题型六：函数单调性的应用】 例6．（多选）（24-25高三上·陕西西安·期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式6-2．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 变式6-3．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，为偶函数，当时，，设，则（   ） A． B． C． D． 变式6-4．（2023·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【方法技巧与总结】 1 在比较数值大小、比较函数值东西、证明不等式等方面，都可以利用导函数单调性。 2 要利用函数单调性，常要构造新函数. 【题型七：利用导数求含参函数的单调区间】 例7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 变式7-1．（21-22高三上·山西运城·阶段练习）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 变式7-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 变式7-3．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数. (1)若函数存在一条对称轴，求的值； (2)求函数的单调区间. 【方法技巧与总结】 1 求含参函数的单调性，往往要分类讨论； 2 求函数单调性，要分析导函数的“正负性”，在以下几点分类：① 是否存在零点；②若存在零点，有几个，若有两个以上，分析零点的大小；③分析零点与定义域端点. 一、单选题 1．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设在上为增函数，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·全国·课后作业）函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 4（2024·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·全国·课后作业）已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 8（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．[0,8] 二、多选题 9．（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是（    ）.    A．   B．   C．   D．   10（2024高三·全国·专题练习）下列函数在定义域上为增函数的有（   ） A． B． C． D． 11（24-25高三上·四川眉山·期中）若函数，则满足的的取值范围可能为（　　） A．    B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 13（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 14（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）若，则 ． 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）求函数的单调区间. 16（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 17（21-22高三上·山西运城·阶段练习）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 18（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中为常数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 19. （24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.1 函数的单调性与导数 课程标准 学习目标 （1）结合实例, 借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性; 对于多项式函数, 能求不超过三次的多项式函数的单调区间 （1）掌握函数单调性与导数之间的关系 （2）会利用导数求不含参或含参函数的单调性 知识点01 函数单调性与导数 1 函数单调性与导数 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 2 若函数在某个区间内单调递增，则(含等号)恒成立，但不存在一区间内使得； 解释 假如存在一区间内使得，那原函数在区间内恒等于一个常数， 即是个常数，则原函数不可能在内单调递增. 函数在某个区间内单调递减有类似结论！ 【即学即练1】 （24-25高二上·北京朝阳·期末）求函数的单调区间. 【答案】单调减区间是，单调增区间是． 【分析】由得增区间，由得减区间． 【详解】，定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 【题型一：函数与导数图象之间的关系】 例1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，是的大致图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数的正负区间判断原函数的单调区间判断即可. 【详解】当时，， ∴，故在区间上为减函数，排除AB； 当时，，∴， 故在区间上为减函数，排除D. 故选：C. 变式1-1．（24-25高二下·全国·课前预习）已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数正负与函数的单调性的关系即可得解. 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故选项D正确. 故选：D. 变式1-2．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的选项是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断， 【详解】结合图象可得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 变式1-3．（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系即可得解. 【详解】若要，则由图可知，， 故的单调增区间为，. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 2 导函数图象要看在哪个区间为正哪个区间为负，故要注意导函数零点的分布；由导函数的图象只能得到原函数的单调性，不能确定原函数图象的具体位置. 【题型二：用导数判断已知函数的单调性】 例2．（22-23高二下·四川成都·期末）函数在上是（    ） A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数 C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数 【答案】D 【分析】 由函数奇偶性的定义可判断奇偶性，由导数即可判断单调性. 【详解】， 则， 所以函数是奇函数， ， 所以在上是单调递增的. 故选：D 变式2-1．下列函数中，在内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导判断导函数在内是否大于等于0恒成立即可. 【详解】对A，，在内不满足大于等于0恒成立，故A错误； 对B，在内大于0恒成立，故B正确； 对C，，在内不满足大于等于0恒成立，故C错误； 对D，，在内不满足大于等于0恒成立，故D错误. 故选：B 变式2-2．（2024高三·全国·专题练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的单调性即可判断AC；根据二次函数和指数函数的图象与性质即可判断BD. 【详解】对于A：，则，所以在上单调递减，故A满足条件； 对于B：，函数图像抛物线开口向上，对称轴为直线，所以在上单调递增，故B不满足条件； 对于C：函数，定义域为，，由，解得， 即函数的单调递减区间为，故C不满足条件； 对于D：在定义域R上单调递增，故D不满足条件． 故选：A 变式2-3．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若函数，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域得出结果. 【详解】函数，定义域为， 由，令，解得， 则函数的单调递减区间为. 故选：C. 【方法技巧与总结】 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 【题型三：利用导数求不含参函数的单调区间】 例3．（22-23高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）求下列函数的单调区间： (1)； (2). 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为； (2)单调递减区间为和，单调递增区间为． 【分析】根据导数的正负性与原函数的单调性的关系进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为. （2）因， 由可解得；由可解得或. 故函数的单调递增区间为：； 函数的单调递减区间为：和. 变式3-1．（24-25高二上·全国·课后作业）求函数的单调区间． 【答案】减区间为，增区间为 【分析】求得，结合和的解集，即可求得函数的单调区间. 【详解】由函数，可得的定义域为，且， 令，可得，解得， 令，可得，解得， 所以的单调减区间为，单调增区间为． 变式3-2．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知函数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】（1）求出，求导得到，利用导函数几何意义得到切线方程； （2）求导，解不等式得到单调区间. 【详解】（1）∵，∴， 且，∴， ∴函数在点处的切线方程为，即． （2）∵的定义域为R， ∴由（1）得． 令，解得， ∴当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【方法技巧与总结】 1 在某个区间内，若 ，则函数在这个区间内单调递增； 若，则函数在这个区间内单调递减． 2 求不含参函数的单调性的步骤： 1 求函数的定义域；② 求导函数；③ 令得减区间，令得减区间. 【题型四：由函数的单调性求参数】 例4．（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 变式4-1．（23-24高二下·山东临沂·期中）函数的单调递减区间是，则（    ） A．6 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据是的实数根即可求解. 【详解】由可得， 由于的单调递减区间是，故和是的两个根，故，故， 故选：A 变式4-2．（2023·陕西榆林·模拟预测）若函数在其定义域内单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在上恒成立，利用基本不等式可得. 【详解】的定义域为，， 因为函数在其定义域内单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故选：B 变式4-3．（24-25高三上·山东枣庄·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段求出函数的导函数，则恒成立，参变分离求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，则； 当时，，则恒成立， 所以在上恒成立，所以； 又，综上可得的取值范围是. 故选：B. 变式4-4．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，则原问题转化为在R上恒成立，分离参数得恒成立，构造函数，结合其奇偶性以及利用导数求其最值，即可求得答案. 【详解】由于，故， 函数是定义在上的增函数， 故在R上恒成立，即恒成立， 令，为偶函数， 故考虑时的情况，，令， 即在上单调递增，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 故，故， 实数的取值范围是， 故选：B 【方法技巧与总结】 1 若原函数为增函数，即恒成立；若原函数为减函数，即恒成立. (其中不存在一区间内使得) 2 恒成立问题可以转化为最值问题，分类参数法是常见方法. 【题型五：由函数在区间上的单调性求参数】 例5．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，分析可知对任意恒成立，参变分离结合正弦函数的值域分析求解. 【详解】因为，则， 由题意可得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 又因为，则，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 变式5-1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数的单调递减区间为，则（    ） A． B． C．16 D．27 【答案】A 【分析】根据导数分析单调性，结合二次不等式的解集与系数关系求解即可. 【详解】由题意，且的解集为，故， 解得，故. 故选：A 变式5-2．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】求导，转化为，参变分离即可得解. 【详解】，求导得， 由在上单调递增，得， 又当，，则， 又时，在上单调递增， 所以实数的最大值为2. 故选：D． 变式5-3．（24-25高三上·重庆·开学考试）若函数在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上恒成立，即在上恒成立，对分，，讨论即可求解. 【详解】函数在上单调递减， 在上恒成立， ， ，即在上恒成立， 当时，不具有单调性，不符合题意； 当时，，则，即，与矛盾， 当时，，则，即，又，符合题意. 综上可得. 故选：. 【方法技巧与总结】 问题常转化为恒成立问题，但不要忘记函数区间的限制。 【题型六：函数单调性的应用】 例6．（多选）（24-25高三上·陕西西安·期中）已知正实数、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出、的大小，逐项判断即可. 【详解】由，可得， 构造函数，其中，则， 当且仅当时，等号成立， 故函数在上为增函数， 当时，，即， 因为、为正实数，所以，， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数，由可得， 所以，，A对B错， 因为对数函数在上为增函数，则，C对； 因为，则，但无法判断的大小，D错. 故选：AC. 变式6-1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】导数研究函数单调性，利用单调性解不等式求解集. 【详解】由定义域为， 因为，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：D 变式6-2．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，且、、，则、、的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求导得，即可得到在上单调递增，从而可比较函数值的大小关系. 【详解】由可得， 当时，， 所以在上单调递增， 又，所以， 即，则， 所以. 故选：D 变式6-3．（24-25高三上·江苏镇江·阶段练习）已知，为偶函数，当时，，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据为奇函数，为偶函数，得到，，再由函数单调性，即可得到，，，，根据不等式的性质，逐项判断，即可判断出结果 【详解】，，是在上递增的奇函数， 当时，，是偶函数，且单调递减， 且，， ， C不成立，D不成立；， A不成立，B成立； 故选：B． 变式6-4．（2023·四川凉山·一模）若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项. 【详解】根据题意，若，则. 设. 所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 【方法技巧与总结】 1 在比较数值大小、比较函数值东西、证明不等式等方面，都可以利用导函数单调性。 2 要利用函数单调性，常要构造新函数. 【题型七：利用导数求含参函数的单调区间】 例7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，结合切点易求得切线方程； （2）将函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，即得函数的单调性. 【详解】（1），，则， 则，即切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 变式7-1．（21-22高三上·山西运城·阶段练习）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据函数的导函数分三种情况得出函数的单调性； （2）由（1）知结合函数的单调性列不等式求参； （3）由（1）知结合函数的单调性列等式求参； 【详解】（1）由题意知. ①当时，恒成立， 所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得， 即a的取值范围是. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. 变式7-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出导函数再得出再应用点斜式得出切线方程； （2）分和两种情况分别讨论的正负，即可得出的单调性. 【详解】（1）当时，， 求导得，则， 即切线的斜率为，又， 故曲线在点处的切线方程为， 化简得． （2）求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 变式7-3．（24-25高三上·福建三明·阶段练习）已知函数. (1)若函数存在一条对称轴，求的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意结合对称性的定义运算求解即可； （2）求导，分类讨论的符号，利用导数求的单调区间. 【详解】（1）因为函数， 所以函数定义域为，且函数存在一条对称轴，故对称轴为， 所以， 即， 所以，故， 当且仅当时上式恒成立，故. （2）由题意， 当时，有且， 所以，故的单调减区间为； 当时，令， 且当时，，当时，， 所以的单调增区间为，单调或区间为； 综上，当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【方法技巧与总结】 1 求含参函数的单调性，往往要分类讨论； 2 求函数单调性，要分析导函数的“正负性”，在以下几点分类：① 是否存在零点；②若存在零点，有几个，若有两个以上，分析零点的大小；③分析零点与定义域端点. 一、单选题 1．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 2（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设在上为增函数，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题化为在上恒成立求参数范围. 【详解】由题意，在上恒成立，即恒成立， 而，故. 故选：D 3（24-25高二上·全国·课后作业）函数在上的单调性是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．在上单调递减，在上单调递增 D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再解导函数值大于0、小于0的不等式即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故选：C 4（2024·四川泸州·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导分析函数单调性，利用函数单调性解不等式可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴在上为增函数， 由得，，解得，故的取值范围是. 故选：B. 5（24-25高二上·全国·课后作业）已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为增函数，结合的定义域求解即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递增. 又， 所以解得. 故选：C 6（2024·湖北·一模）已知函数是减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导得，根据题意可得对恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由，可得， 因为函数是减函数，所以对恒成立， 即对恒成立，所以对恒成立， 所以，又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：D. 7（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数的单调性，比较大小，可得大小关系. 【详解】函数的定义域为， ，故为偶函数， 当时，，令， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增，，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立，所以在上单调递增， 因为函数为减函数，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以，，故. 故选：A. 8（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若，当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．[0,8] 【答案】D 【分析】将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增，继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解． 【详解】不妨设， 因为对一切都成立， 所以对一切都成立， 令，则．定义域为， 则原问题转化为在上单调递增； ， 当时，，在单调递增； 当时，需在上恒成立，即在上恒成立， 对于图象过定点，对称轴为， 故要使得在上恒成立， 需满足且， 解得， 综合可得，即的取值范围为,． 故选：D. 【点睛】方法点睛：遇到双变量函数不等式，需要集中变量转化为函数值大小关系，从而构造函数，转化为新函数单调性判断问题，再结合导数确定单调性即可得所求. 二、多选题 9．（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数的图象的是（    ）.    A．   B．   C．   D．   【答案】BCD 【分析】结合图象可得函数的单调区间，进而判断选项即可. 【详解】由图象可知， 当时，，则在单调递增，故CD项错误； 当时，，则在单调递减，故B项也错误； 当时，，则在单调递增. 而A选项图象均满足上述单调性，可能是的图象. 故选：BCD. 10（2024高三·全国·专题练习）下列函数在定义域上为增函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由即可判断A；利用导数研究函数的单调性判断B、C、D. 【详解】A，函数的定义域为，而， 所以函数在定义域上不是增函数； B，函数的定义域为，且，当时， 即函数的单调递减区间为，故函数在定义域上不是增函数； C，函数的定义域为且不恒为零， 所以函数在上为增函数； D，函数的定义域为，， 当且仅当时，等号成立且不恒为零， 所以函数在上为增函数． 故选：CD 11（24-25高三上·四川眉山·期中）若函数，则满足的的取值范围可能为（　　） A．    B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用得为上的奇函数，求导可得恒成立，为上的增函数，利用奇函数的性质把不等式等价变形，结合函数的单调性可解不等式. 【详解】∵，定义域为， ∴， ∴为上的奇函数. ∵，当且仅当，即时，等号成立. ∵时，， ∴恒成立，即为上的增函数. 由得， ∴，解得或，即的取值范围为. 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高二上·上海·期末）已知函数有三个单调区间，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，原函数的导函数方程必有两相异实根，计算即得实数b的取值范围. 【详解】由求导得：， 因该函数有三个单调区间，则方程必有两相异实根， 则有，解得. 故答案为：. 13（24-25高二上·全国·课后作业）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导，利用导数可知的单调增区间为，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，得，可知的单调增区间为， 若函数在区间内单调递增，依题意，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】先将化为，再根据为单调函数，得到即可． 【详解】解：令则 所以在上单调递增， 由可得， 又且在上单调递增， 则，即． 故答案为：． 四、解答题 15．（2024高三·全国·专题练习）求函数的单调区间. 【答案】的单调递增区间是和，单调递减区间是 【分析】根据导数的正负性与原函数的单调性的关系进行求解即可. 【详解】， 当或时，； 当时，. 所以，的单调递增区间是和，单调递减区间是. 16（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数，若曲线在点处的切线方程为. (1)求和的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1)；； (2)的单调递增区间为，单调递减区间为. 【分析】（1）由导数几何意义得到切线斜率进而求出b和切线方程，再由切点在曲线上又在切线上建立关于a的等量关系即可求出a. （2）求出函数定义域，求导，由导数与函数单调性的关系即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以，即，切线方程为， 所以. 所以；. （2）由（1）得，，函数定义域为， 所以当时，；当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 17（21-22高三上·山西运城·阶段练习）已知函数，. (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间内单调递减，求实数a的取值范围； (3)若函数的单调递减区间是，求实数a的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据函数的导函数分三种情况得出函数的单调性； （2）由（1）知结合函数的单调性列不等式求参； （3）由（1）知结合函数的单调性列等式求参； 【详解】（1）由题意知. ①当时，恒成立， 所以的单调递增区间是； ②当时，令，得或， 令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，得或，令，得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）由（1）知，若在内单调递减， 则，解得， 即a的取值范围是. （3）由（1）知，若的单调递减区间是， 则，解得. 18（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中为常数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）求导后，利用导数分析函数的单调性即可； （2）求导后转化为对恒成立问题，再求结果即可； 【详解】（1）∵时，， ， 令， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数 的单调递减区间为，单调递增区间为， （2）， 令对恒成立， 即，， 又∵， ∴，即. 19. （24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）当时，先求导，再求，利用点斜式即可写出切线方程； （2）分，，，四种情况，结合求导讨论即可求解． 【详解】（1）若，则，， 又，故， 所以在处的切线方程为， 即； （2），， 当时，，令，即，解得，令，解得， 所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，，在上单调递增， 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当，即时，令，解得，或，令．解得， 所以在，,上单调递增，,上单调递减． 综上：当时，所以在上单调递减，,上单调递增； 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，所以在，,上单调递增，,上单调递减． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$