1.3.2-1.3.4 函数的极值最值与导数（2知识点+7题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第二册）

1.3.2--1.3.3 函数的极值最值与导数 课程标准 学习目标 （1）借助函数的图象, 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值; 体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系。 （1）掌握函数极值的概念； （2）会利用导数求不含参或含参函数的极值。 知识点01 函数的极值与导数 1 极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【即学即练1】 （24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】对求导，得到，由题知，解得，即可求解. 【详解】因为，所以， 由题知，解得， 此时， 由，得到或，由，得到， 所以的增区间为，，减区间为， 故满足题意，所以， 故选：A. 知识点02 函数的最值 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【即学即练2】 （23-24高二下·广东佛山·期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【分析】利用求导判断函数在给定区间上的单调性，即得函数最小值. 【详解】由可得，，由解得，或， 因，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故时，. 故选：A. 【题型一：极值的概念】 例1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 【答案】D 【分析】根据导函数的图象判断出其符号分布情况，进而可求出函数的单调区间及极值点，即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 在和处取得极小值，在处取得极大值， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 变式1-1．（20-21高二下·青海海南·期中）下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据极值定义逐一分析即可. 【详解】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间 上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 变式1-2．（21-22高二下·广东佛山·期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【答案】B 【分析】根据导函数的正负性与原函数单调性的关系，结合极值的定义逐一判断即可. 【详解】由图象可知，当时，， 所以函数在上单调递减，A错误； 当时， 所以函数在上单调递增，B正确，C错误； 函数在处取得极小值，D错误． 故选：B 【方法技巧与总结】 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 【题型二：根据极值点或极值求参数】 例2．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合导函数和一元二次函数性质得，解该不等式组即可得解. 【详解】由题意可得在上有下穿变号零点，无上穿变号零点， . 故选：A. 变式2-1．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）函数在R上存在极大值的充分条件是：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，利用判别式求出的范围，然后由包含关系可得. 【详解】要使在R上存在极大值，只需有两个异号零点， 所以，即，记集合， 则在R上存在极大值的充分条件是的子集. 故选：A 变式2-2．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出方程组，解出，，验证即可； 【详解】由题意得， 因为时，有极大值， 所以，解得，， 经检验，当，时，, 故当在上单调递减， 当在上单调递减， 故在时有极大值，符合题意，所以成立． 故选：B． 变式2-3．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知函数在处取得极大值，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，求出，从而可求得解析式，进而可求出. 【详解】由，得， 因为函数在处取得极大值，所以， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以， 所以. 故选：B 【方法技巧与总结】 若在时取到极值，则 （*）；若题目指明b为极大值或极小值，根据（*）求出的值，还需要继续检验. 【题型三：求三次函数的极值】 例3．（陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，极大值为13 【分析】（1）求函数的导数，最后根据切点求切线方程； （2）利用导数求极值. 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以曲线在点处切线的方程为， 即． （2）令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： 3 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 又，所以函数的极小值为，极大值为13． 变式3-1．（24-25高三上·江苏南通·期中）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【分析】求函数的导数，求解以及，得到函数的单调区间，判断极大值点代入，从而求出极大值. 【详解】解：， 令，则，令，则或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值. 故选：D 变式3-2．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】A 【分析】对求导，就导函数中的参数,分情况讨论函数的极值情况即得. 【详解】由求导得，. ①当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，不合题意； ②当时，，故在R上单调递增，无极值，不合题意； ③当时，由可得或，由可得， 即当或时，单调递增，当时，单调递减， 故的极小值为，解得. 综上，. 故选：A. 变式3-3．已知. (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和,单调递减区间为,函数的极大值为,极小值为. 【分析】（1）根据导数运算法则求解； （2）令求其解，分区间判断导数的正负，列表确定函数单调性及极值. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为, 所以, 令,可得或, 当变化时,的变化情况如下表, 正 0 负 0 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调递增区间为和,单调递减区间为, 函数的极大值为,极小值为. 【方法技巧与总结】 1 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 2 求三次函数的极值时，其导数为，则利用求函数图像判定三次函数的单调性再判定极值. 【题型四：求不含参函数的极值】 例4．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负确定单调性，结合极值点定义即可求解， （2）根据函数的单调性，求解极值，即可求解. 【详解】（1）定义域为； ； 令  或 列表如下： 1 ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由上表知，当时，取得极大值； 当时，取得极小值. （2）方程 ， 有三个不同的实数解， 等价于函数 与直线 有三个不同的交点； 当时，，；∴； 当时，，，∴； 由（1）知，只需； 即. 变式4-1．（22-23高二上·陕西西安·期末）函数 的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】利用导函数直接求解单调区间，即可得到极小值. 【详解】由题知函数的定义域为， 则 . 令，得（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的极小值为. 故选：A 变式4-2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原函数求导，再解出极小值和极大值，求和即可. 【详解】由题意知：， 当时，单调递减；当时， 单调递增，所以的极大值为， 极小值为，故. 故选：D. 变式4-3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值，无极大值． (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的极值； （2）求得，分和，分类讨论，结合导数的符号，进而得到函数的单调区间. 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值，无极大值． （2）解：由函数，可得， 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． 变式4-4．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数的图象在点处的切线过点. (1)求实数的值； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解； （2）利用导数研究函数单调性和极值. 【详解】（1）由已知得， 则，又， 所以的图象在点处的切线方程为， 将点代入得，解得. （2），定义域为， 所以， 令，则， 易得在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以极小值为，无极大值 【方法技巧与总结】 1 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 2 求函数的极值，先求函数的单调性，再分析其极值；在解题过程中，可结合导函数的图象分析其正负性. 【题型五：求函数的最值】 例5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)单调递增区间为；递减区间为 (2) 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性求最值. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. （2）由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 变式5-1．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题可得，据此可得答案； （2）利用导数知识可判断在区间上的单调性，据此可得在区间上的最值. 【详解】（1）由题可得：， 则，故； （2）， 当时，单调递减； 当时，单调递增． 则. 故的最大值为，最小值为． 变式5-2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则， 可得，，即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. （2）定义域为，且， 若，则对任意恒成立． 所以在上单调递增，无极值，不合题意， 若，令，解得，令，解得， 可知在上单调递增，上单调递减， 则有极大值，无极小值， 由题意可得：，即. 令，，在上单调递减, 又，不等式等价于，解得. 综上的取值范围是． 变式5-3．（2019高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)求函数在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），由此利用导数性质能求出； （2）由，得，求出函数的单调区间，通过讨论求出函数在上的最小值． 【详解】（1）， 由已知得，即，解得， 当时，在处取得极小值，所以. （2）由（1）得， 则， 令得，令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ①当时，在上单调递增， ； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ； ③当时，在上单调递减， 综上，在上的最小值. 【方法技巧与总结】 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【题型六：极值、最值的综合问题】 例6（24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数. (1)求的导函数的极值； (2)不等式对任意恒成立，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围. 【答案】(1)当时,有极小值 2，无极大值. (2) (3) 【分析】（1）借助导数研究函数单调性，得到极值； （2）参变分离后，转化为函数的最值问题即可； （3）有唯一解，构造函数参变分离，有唯一解，构造函数，借助导数研究函数的单调性即可. 【详解】（1）因为函数，所以的定义域为 令，则，注意到为增函数，且， 所以当时,，单调递减； 当时,，单调递增； 所以当时,有极小值 2，无极大值. （2）由题意可知对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则 设，则 因为在区间上单调递增，所以 则在区间上单调递增，所以则 所以在区间上单调递增， 所以，所以. （3）由题意可知有唯一解， 设 注意到，当时,；当时, 所以至少有一个解. 因为有唯一解，所以有唯一解， 设，因为，所以为单调函数， 则恒成立， 设，则恒成立, 则 所以在区间上单调递增， 注意到所以当时,单调递减； 当时,单调递增； 故只需即可， 所以 变式6-1．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）设函数 (1)分析的单调性和极值； (2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围； 【答案】(1)在单调递减，在单调递增，的极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求导研究函数单调性，求出极值； （2）构造函数，求导后注意到，进而得到，，再验证充分性； 【详解】（1）易知函数，则， 令，解得， 当时，，在单调递减 时，，在单调递增， 故的极小值为，无极大值. （2）对任意的，都有成立， 即对任意的，恒成立， 令，则， 注意到：，若要，必须要求，即，亦即， 另一方面：当时，因为单调递增， 则当时，恒成立， 所以在时单调递增，故； 故实数的取值范围为. 变式6-2．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)设函数，求证：的最小值大于. 【答案】(1) (2)极小值为；无极大值. (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）求导函数，利用导数研究单调性，利用极值的定义求解即可； （3）利用导数研究函数的单调性，根据单调性求解最值函数，利用单调性求解最值函数值域即可求解. 【详解】（1）因为，所以，. 因为，所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为R.令，解得. 当x变化时，，的变化情况如下表： x 0 - 0 + 单调递减 1 单调递增 当时，取得极小值，极小值为；无极大值. （3）因为，所以. 因为函数和在R上单调递增， 所以在R上单调递增. 又，， 所以存在，使得①. 当x变化时，，的变化情况如下表： x - 0 + 单调递减 单调递增 当时，取到最小值，最小值为. 由①得，所以.设. 因为，在区间上单调递减， 所以，即.所以函数的最小值大于. 变式6-3．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和极值； （2）（i）求导可得，构建，由题意可知在内有两个变号零点，结合导数分析函数零点即可得结果；（ⅱ）由（i）可知，，且，构建，利用导数求最值即可. 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 当时，；当时，当； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）（i）由题意可得：的定义域为， 且， 设，可知在内有两个变号零点， 则， 当，；当时，； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为， 且当趋近于时，趋近于， 当时，则，可得， 可得，即当趋近于时，趋近于， 可得，解得， 所以实数的取值范围为； （ii）由（i）可知，，且， 所以， 设，显然，又， 因为，则，可知在上单调递减， 且，可得， 所以. 【方法技巧与总结】 1 求恒成立问题，可转化为最值问题，常用分离参数法； 2 对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 3 涉及最值问题，多利用数形结合，帮助寻找解题思路. 【题型七：导数在实际问题上的应用】 例7．（23-24高二下·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】(1) (2)当产量为80万箱时，所获利润最大 【分析】（1）分和两种情况讨论，分别求出函数解析式； （2）利用导数求出函数在时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意可知，销售收入为万元， 当产量不足万箱，即时， . 当产量不小于万箱，即时， . 综上可得. （2）设， 当时，， 则当时，当时， 可知在上单调递增，在上单调递减. 则， 当时，由基本不等式可知， 当且仅当，即时取等号. 又，所以当产量为万箱时，所获利润最大值为万元. 变式7-1．（24-25高三上·北京·阶段练习）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意得到，化简得到，并由实际情境得到； （2）表达出，求导得到其单调性，进而得到最大值. 【详解】（1）因为材料利用率为， 所以，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故， 综上，，； （2）铁皮盒体积， ，令，得 的变化情况如下： 20 + 0 - 在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值， 最大值为. 变式7-2．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 【答案】(1) (2)9千件 【分析】（1）分段利用“年利润年销售收入年总成本”可得所求函数的解析式. （2）分段求函数的最大值，进行比较可得结论. 【详解】（1）当时， ； 当时， . 综上：. （2）当时，，. 由 ；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 当时，. 因为，当且仅当即时取“”. 此时. 因为. 所以当年产量为千件时，年利润最大. 【方法技巧与总结】 在实际问题中，寻找到正确的函数关系是关键，求最值时要注意函数的定义域. 一、单选题 1．（21-22高二下·贵州遵义·期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 【答案】C 【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 【详解】根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C 2（23-24高三下·重庆·阶段练习）若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据极值的定义列等式求出和，然后检验此时在时是否有极小值，即可确定和的值，进而得到. 【详解】，因为在时有极小值， 所以，即，解得， 此时， 或时，，时，， 在时有极小值成立，所以，，. 故选：B. 3（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】对函数求导得，令，利用导数法求得的单调性及函数值的符号，进而求得的单调区间，求出最大值后可逐项判断正误. 【详解】因为，所以， 令，则， 所以在上单调递减． 因为，所以当时，，即； 当时，，即， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为 ， 所以． 故选：C 4（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则，故， 因为函数在上无极值， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则． 综上，． 故选：． 5（2023·全国·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解. 【详解】函数定义域为R，由，得或，即函数有两个零点，BC错误； ，当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，D错误，A符合题意. 故选：A 6（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，解方程组可得的值，验证单调性记即可得的值. 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 7（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数求出函数的最小值，由，即可求出的取值范围. 【详解】设，则恒成立，， ， 所以，当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 8（黑龙江省部分学校2024-2025学年高三上学期12月质量检测数学试题）若 为上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数与函数单调性间的关系，求得的单调区间，在同一直角坐标系中作出与，根据题设，数形结合，即可求解. 【详解】因为二次函数的图象为拋物线，开口向上，顶点为，且最小值为， 记，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是最大值点，且， 则时总有，与在同一直角坐标系下的图象如图所示， 因为 为上的减函数，由图知， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列图象一定不正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】CD 【分析】结合函数单调性与导数符号的关系以及所给图象即可判断. 【详解】当时，是单调递增的； 当时，是单调递减的． A，B中函数的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的； 而C，D中导函数为负的区间内相应的函数不是单调递减的，故C，D错误． 故选：CD. 10 （24-25高二下·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区间上的最值情况即可判断ABC，由导数的几何意义可判断D. 【详解】函数，． 由，得或，此时函数单调递增； 由，得，此时函数单调递减，C正确； 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值，A正确； 当时，单调递增，它的最大值为， 最小值为，B错误； ，，它在点处的切线方程为，D正确． 故选：ACD. 11（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】记，可得的单调性，构造，求导可得的单调性，进而可得的大小关系. 【详解】记，易知为上的增函数． 记，则． 令，得，故在上单调递增， 令，得，故在上单调递减． 又，故当时，， 当时，，即． 由，，则， 可得或或． 故选：ABC. 三、填空题 12．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值，没有极小值 ④在上单调递增 【答案】③④ 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调区间，进而确定极值情况即可得解. 【详解】观察图象知，当时，，当且仅当，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，无极小值， 因此①②错误；③④正确. 故答案为：③④ 13（24-25高二上·吉林长春·期末）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 或（舍去）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值， 故，解得， 故答案为：. 14（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，若存在实数满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】作出函数图象，由图象得出关系及范围，代入，利用导数求得最大值． 【详解】由函数的图象可知，有． 令，有， 令，有，可得函数的减区间为，增区间， 可得．故的最大值为． 故答案为：．    四、解答题 15．（23-24高二下·北京东城·期中）已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可； （2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值. （3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可. 【详解】（1）由题意可知：，则 因为曲线在处的切线方程为， 则，即，解得. （2）因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. （3）函数在，上单调递增，在上单调递减， 且， 函数在上的最大值,最小值. 16（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1) (2)的极小值为，无极大值. 【分析】（1）求出，由导数的几何意义可得，可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值； （2）利用导数分析函数的单调性，利用极值与导数的关系可求得该函数的极值. 【详解】（1）因为，则， 因为函数在处的切线方程为， 则，解得. （2）函数的定义域为， 则， 由可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数的单调减区间为，单调增区间为， 故函数的极小值为，无极大值. 17（2024高三·全国·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增区间为、，单调递减区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最大值和最小值. 【详解】（1），求导得， 令，即，解得或. 令，即，解得. 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为. （2）①当时，因为在上递减， 所以在区间上的最大值为，最小值为； ②当时，因为在上递减，在上递增，且， 所以在上的最大值为，最小值为； ③当时，因为在上递减，在上递增， 且，所以在上的最大值为， 最小值为. 综上所述，当 时，在区间上的最大值为，最小值为； 当时，在上的最大值为，最小值为； 当时，在上的最大值为，最小值为. 18（22-23高二下·全国·单元测试）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．    (1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域； (2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 【答案】(1)，定义域为 (2)当r＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π万元，此时l＝m 【分析】（1）根据圆柱和球的体积公式即可得与关系，根据题意建立与的函数关系； （2）求函数的导数，判断函数的单调性，即可求出函数的最小值． 【详解】（1）由题意可知，，∴， 又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为， 所以， 又，， 所以定义域为. （2）因为， 所以令，得，令，得， 又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m. 19. （24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值． (3)． 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （3）令，由，得，再结合的单调性可求得，然后再利用导数证明当时，即可. 【详解】（1）当时，， 故曲线在点处的切线方程为． （2）当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，无极大值． （3）令， 由得， 令，则在上单调递减， 又，故． 下面证明当时，． 易知． 设，则， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即 设，则， 当时，， 当时，， 故，则，即． 故，则． 故所求的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键构造函数，结合求出的取值范围再证明，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.2--1.3.3 函数的极值最值与导数 课程标准 学习目标 （1）借助函数的图象, 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值; 体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系。 （1）掌握函数极值的概念； （2）会利用导数求不含参或含参函数的极值。 知识点01 函数的极值与导数 1 极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 【即学即练1】 （24-25高二下·全国·随堂练习）函数在处有极小值，则的值等于（    ） A．0 B．6 C．3 D．2 知识点02 函数的最值 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【即学即练2】 （23-24高二下·广东佛山·期末）函数，的最小值为（    ） A． B． C．9 D．16 【题型一：极值的概念】 例1．（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知函数，其导数的图象如下图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．在处取得极小值 C．在处取得极大值 D．在上为增函数 变式1-1．（20-21高二下·青海海南·期中）下列函数中，存在极值的是（   ） A． B． C． D． 变式1-2．（21-22高二下·广东佛山·期末）设函数的导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）    A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值 【方法技巧与总结】 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 【题型二：根据极值点或极值求参数】 例2．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）函数在R上存在极大值的充分条件是：（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 变式2-3．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知函数在处取得极大值，则（ ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若在时取到极值，则 （*）；若题目指明b为极大值或极小值，根据（*）求出的值，还需要继续检验. 【题型三：求三次函数的极值】 例3．（陕西省榆林市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题）已知函数． (1)求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的极值． 变式3-1．（24-25高三上·江苏南通·期中）函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 变式3-2．（23-24高二下·四川宜宾·期末）已知函数的极小值为，则（    ） A．1 B． C．1或 D．0 变式3-3．已知. (1)求函数的导数； (2)求函数的单调区间和极值. 【方法技巧与总结】 1 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 2 求三次函数的极值时，其导数为，则利用求函数图像判定三次函数的单调性再判定极值. 【题型四：求不含参函数的极值】 例4．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围. 变式4-1．（22-23高二上·陕西西安·期末）函数 的极小值为（   ） A． B． C． D．不存在 变式4-2．（24-25高二上·全国·课后作业）函数的极大值与极小值之和为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 变式4-4．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数的图象在点处的切线过点. (1)求实数的值； (2)求的极值. 【方法技巧与总结】 1 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 2 求函数的极值，先求函数的单调性，再分析其极值；在解题过程中，可结合导函数的图象分析其正负性. 【题型五：求函数的最值】 例5．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 变式5-1．（24-25高三上·重庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值. 变式5-2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围． 变式5-3．（2019高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极值. (1)求的值； (2)求函数在上的最小值. 【方法技巧与总结】 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【题型六：极值、最值的综合问题】 例6（24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数. (1)求的导函数的极值； (2)不等式对任意恒成立，求k的取值范围； (3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围. 变式6-1．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）设函数 (1)分析的单调性和极值； (2)设，若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围； 变式6-2．（24-25高三上·北京丰台·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值； (3)设函数，求证：的最小值大于. 变式6-3．（24-25高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若存在两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【方法技巧与总结】 1 求恒成立问题，可转化为最值问题，常用分离参数法； 2 对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 3 涉及最值问题，多利用数形结合，帮助寻找解题思路. 【题型七：导数在实际问题上的应用】 例7．（23-24高二下·山东德州·期中）某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 变式7-1．（24-25高三上·北京·阶段练习）现有一张长为40，宽为30的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失.如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为，高为cm，体积为. (1)求出与的关系式； (2)求该铁皮盒体积的最大值. 变式7-2．（2024·四川成都·二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装千件并全部销售完，销售收入为万元，且（注：年利润年销售收入年总成本） (1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； (2)求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量. 【方法技巧与总结】 在实际问题中，寻找到正确的函数关系是关键，求最值时要注意函数的定义域. 一、单选题 1．（21-22高二下·贵州遵义·期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 2（23-24高三下·重庆·阶段练习）若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 3（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1 C．的极大值为 D．的最小值为 4（23-24高二下·吉林通化·期末）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（2023·全国·模拟预测）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 6（22-23高三上·河北保定·阶段练习）已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 7（24-25高二上·全国·课后作业）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8（黑龙江省部分学校2024-2025学年高三上学期12月质量检测数学试题）若 为上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列图象一定不正确的是（    ） A．  B．  C．   D．   10 （24-25高二下·全国·课后作业）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．它的极大值为，极小值为 B．当时，它的最大值为，最小值为 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 11（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列命题中正确的有 . ①有2个极值点 ②在处取得极小值 ③有极大值，没有极小值 ④在上单调递增 13（24-25高二上·吉林长春·期末）若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 14（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，若存在实数满足，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（23-24高二下·北京东城·期中）已知函数，若曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)求函数在上的最大值、最小值. 16（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数的极值. 17（2024高三·全国·专题练习）已知函数（，为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 18（22-23高二下·全国·单元测试）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．    (1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域； (2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 19. （24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)若恒成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$